2013年三垂直模型相关练习(含答案).doc

2013年三垂直模型相关练习一选择题（共13小题）1（2010雅安）如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（）A5BCD2（2007玉溪）如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A50B62C65D683（2012郯城县一模）如图，已知直线l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cos=（）ABCD4如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一直角边与最上面的直线重合然后绕直角顶点顺时针旋转30，恰好B点在中间的一条直线上，A点在下面的一条直线上上、中两平行线间的距离是m，中、下两平行线间的距离是n，那么n：m等于（）A：1B（1）：1C（+1）：1D2：5如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）A7.5B6.5C4.5D46如图，ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，D=E=90，则下列结论正确的个数有（）CD=AE；1=2；3=4；AD=BEA1个B2个C3个D4个7如图所示，ABBC，CDBC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AEBD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）A4cmB8cmC9cmD10cm8（2012乐山）如图，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个9（2013拱墅区一模）如图，在ABC中，已知C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：四边形CEDF有可能成为正方形；DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF的面积是定值；点C到线段EF的最大距离为其中正确的结论是（）ABCD10在直角三角形ABC中，C=90，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，则AC的长为（）A2B3C4D11两个全等含30、60角的三角板ADE与三角板ABC按如图所示放置，E、A、C三点在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，分别连接ME、MC，那么MEC等于（）A30B60C45D8012（2006菏泽）如图，D为ABC的AB边上的一点，DCA=B，若AC=cm，AB=3cm，则AD的长为（）AcmBcmC2cmDcm13如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A6B5CD二填空题（共4小题）14（2012绥化）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BFa于点F，DEa于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为_15（2010攀枝花）如图所示，在ABC中，AB=AC=2，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：BE=AF，SEPF的最小值为，tanPEF=，S四边形AEPF=1，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论始终正确是_16（2013昆都仑区一模）如图所示，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF在此运动变化过程中，有下列结论：DEF是等腰直角三角形四边形CEDF不可能为正方形四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化点C到线段EF的最大距离为其中正确的有_（填上你认为正确结论的所有序号）17如图，RtABC中，AC=BC，ACB=90，CF交AB于E，BDCF，AFCF，DF=5，AF=3，则CF=_三解答题（共6小题）18（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状19（2005扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分）在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题20（2002崇文区）已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD求证：S四边形EDFC=SABC21（2000河南）如图，在等腰RtABC中，C=90，D是斜边AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H，交AE于G，求证：BD=CG22如图，已知在CDE中，DCE=90，CD=CE，直线AB经过点C，DAAB，EBAB，垂足分别为A、B，试说明AC=BE的理由解：因为DAAB，EBAB（已知）所以A=（_）因为DCA=A+ADC（_）即DCE+RCB=A+ADC又因为DCE=90，所以_=ECB在ADC和ECB中，所以ADCECB（_）所以AC=BE（_）23在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，不必说明理由；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，问DE、AD、BE具有怎样的数量关系，不必说明理由；2013年三垂直模型相关练习参考答案与试题解析一选择题（共13小题）1（2010雅安）如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（）A5BCD考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形1053389专题：计算题；压轴题分析：由三角形ABC为等腰直角三角形，可得出AB=BC，ABC为直角，可得出ABD与EBC互余，在直角三角形ABD中，由两锐角互余，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，及AB=BC，利用AAS可得出三角形ABD与三角形BEC全等，根据全等三角形的对应边相等可得出BD=CE，由CE=3得出BD=3，在直角三角形ABD中，由AD=2，BD=3，利用勾股定理即可求出AB的长解答：解：如图所示：ABC为等腰直角三角形，AB=BC，ABC=90，ABD+CBE=90，又ADBD，ADB=90，DAB+ABD=90，CBE=DAB，在ABD和BCE中，ABDBCE，BD=CE，又CE=3，BD=3，在RtABD中，AD=2，BD=3，根据勾股定理得：AB=故选D点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键2（2007玉溪）如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A50B62C65D68考点：全等三角形的判定与性质1053389专题：压轴题分析：由AEAB，EFFH，BGAG，可以得到EAF=ABG，而AE=AB，EFA=AGB，由此可以证明EFAABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得BGCDHC，GC=DH，CH=BG故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积解答：解：AEAB且AE=AB，EFFH，BGFHEAB=EFA=BGA=90，EAF+BAG=90，ABG+BAG=90EAF=ABG，AE=AB，EFA=AGB，EAF=ABGEFAABGAF=BG，AG=EF同理证得BGCDHC得GC=DH，CH=BG故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）163463=50故选A点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识作辅助线是本题的关键3（2012郯城县一模）如图，已知直线l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cos=（）ABCD考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义1053389分析：过点D作DEl1于点E并反向延长交l4于点F，根据同角的余角相等求出=CDF，根据正方形的每条边都相等可得AD=DC，然后利用“AAS”证明ADE和DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的长度，然后根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式计算即可得解解答：解：如图，过点D作DEl1于点E并反向延长交l4于点F，在正方形ABCD中，AD=DC，ADC=90，+ADE=90，ADE+CDF=18090=90，=CDF，在ADE和DCF中，ADEDCF（AAS），DF=AE，相邻两条平行直线间的距离都是1，DE=1，AE=2，根据勾股定理得，AD=，所以，cos=故选A点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出全等三角形以及所在的直角三角形是解题的关键4如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一直角边与最上面的直线重合然后绕直角顶点顺时针旋转30，恰好B点在中间的一条直线上，A点在下面的一条直线上上、中两平行线间的距离是m，中、下两平行线间的距离是n，那么n：m等于（）A：1B（1）：1C（+1）：1D2：考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形1053389专题：计算题分析：过A作ADCE，交CE于点D，过B作BECE，交DC于点E，可得出一对直角相等，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到AC=BC，ACB=90，利用平角的定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADC与三角形CEB全等，由全等三角形的性质得到CE=AD，而AD=m+n，可得出CE=m+n，在直角三角形CBE中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到BC=2m，利用勾股定理列出m与n的关系式，整理后即可求出n：m的值解答：解：过A作ADCE，交CE于点D，过B作BECE，交DC于点E，ADC=CEB=90，又ABC为等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，ACD+BCE=90，又BCE=30，ACD=EBC=60，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），AD=CE=m+n，又在RtBEC中，BCE=30，BE=m，CB=2EB=2m，利用勾股定理得：BC2=CE2+BE2，即（2m）2=（m+n）2+m2，整理得：n2+2mn2m2=0，方程两边同时除以m2，得（）2+2（）2=0，解得：=1或=1（舍去），则n：m=（1）：1故选B点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，含30直角三角形的性质，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键5如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）A7.5B6.5C4.5D4考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质1053389专题：计算题分析：先根据正方形的性质得到ABD=90，AB=DB，再根据等角的余角相等得到CAB=DBE，则可根据“AAS”判断ABCBDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=3，S3+S4=3.5，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5解答：解：如图，图中的四边形为正方形，ABD=90，AB=DB，ABC+DBE=90，ABC+CAB=90，CAB=DBE，在ABC和BDE中，ABCBDE（AAS），AC=BE，DE2+BE2=BD2，DE2+AC2=BD2，S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，S1+S2=1，同理可得S2+S3=3，S3+S4=3.5，S1+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5故选A点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了勾股定理和正方形的性质6如图，ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，D=E=90，则下列结论正确的个数有（）CD=AE；1=2；3=4；AD=BEA1个B2个C3个D4个考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1053389专题：推理填空题分析：根据直角三角形的性质推出2=3，然后利用AAS证明ABE和CAD全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断解答：解：D=90，1+3=90，ABC是等腰直角三角形，A为直角顶点，1+2=18090=90，AB=AC，2=3，在ABE和CAD中，ABECAD（AAS），CD=AE，AD=BE，1=4，故小题正确，小题错误，小题错误，小题正确，所以结论正确的有共2个故选B点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形直角边相等的性质，根据直角三角形的性质得到2=3是证明三角形全等的关键，也是解题的突破口7如图所示，ABBC，CDBC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AEBD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）A4cmB8cmC9cmD10cm考点：全等三角形的判定与性质1053389分析：运用等角的余角相等，得出A=BFE，从而得到，ABEBCD，易求解答：解：ABBC，CDBC，ABC=ACD=90AEB+A=90AEBDBFE=90AEB+FBE=90A=BFE，又AB=BC，ABEBCD，BE=CD=4cm，AB=BCE为BC的中点AB=BC=2BE=8cm故选B点评：本题综合运用了等角的余角相等，三角形全等的判定，性质等知识需注意当题中出现两个或两个以上垂直时，一般要从中找到一对相等的角8（2012乐山）如图，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1053389专题：压轴题分析：作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证CDF和ADE全等，从而可证EDF=90，DE=DF所以DFE是等腰直角三角形；当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2 ，此时点C到线段EF的最大距离解答：解：连接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，DFE是等腰直角三角形故此选项正确；当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；如图2所示，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EFAB时，AE=CF，E，F分别是AC，BC的中点，故EF是ABC的中位线，EF取最小值=2 ，CE=CF=2，此时点C到线段EF的最大距离为EF=故此选项正确；故正确的有2个，故选：B点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键9（2013拱墅区一模）如图，在ABC中，已知C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：四边形CEDF有可能成为正方形；DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF的面积是定值；点C到线段EF的最大距离为其中正确的结论是（）ABCD考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1053389分析：当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证CDF和ADE全等，从而可证EDF=90，DE=DF所以DFE是等腰直角三角形；由ADECDF，就有SADE=SCDF，再通过等量代换就可以求出结论；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离解答：解：当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确；连接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB；在ADE和CDF中，ADECDF（SAS）；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，DFE是等腰直角三角形故此选项正确；ADECDF，SADE=SCDFS四边形CEDF=SCED+SCFD，S四边形CEDF=SCED+SAED，S四边形CEDF=SADCSADC=SABC=4四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EFAB时，AE=CF，E，F分别是AC，BC的中点，故EF是ABC的中位线，EF取最小值=2，CE=CF=2，此时点C到线段EF的最大距离为EF=故此选项正确故选D点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键10在直角三角形ABC中，C=90，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，则AC的长为（）A2B3C4D考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质1053389专题：数形结合分析：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OMCF，先证明RTACBRTBFD，然后分别表示出OM、CM的长度，在RTOCM中利用勾股定理可得出答案解答：解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OMCF，则可得OM是梯形ACFD的中位线，ABC+FBD=CAB+ABC=90，CAB=FBD，在RTACB和RTBFD中，RTACBRTBFD，AC=BF，BC=DF，设AC=x，则OM=，CM=，在RTOCM中，OM2+CM2=OC2，即2（）2=18，解得：x=4，即AC的长度为4故选C点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，难度较大11两个全等含30、60角的三角板ADE与三角板ABC按如图所示放置，E、A、C三点在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，分别连接ME、MC，那么MEC等于（）A30B60C45D80考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理1053389专题：计算题分析：连结AM，利用三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30、60角的三角板得到2=3=60，AD=AB，EAD=30，DE=AC，易得DAB为等腰直角三角形，则AMBD，1=45，4=45，则EDM=CAM=45+60=105，由M点为BD的中点，AM=DM=BM，于是可根据“SAS”判断DEMACM，所以ME=MC，6=5，由于AMD=90，即6+EMA=90，得到5+EMA=90，即EMC=90，可判断MEC为等腰直角三角形，根据等呀沤珠槿艳三角形的性质即可得到MEC=45解答：解：连结AM，如图，三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30、60角的三角板，2=3=60，AD=AB，EAD=30，DE=AC，DAB=90，DAB为等腰直角三角形，AMBD，1=45，4=45，EDM=CAM=45+60=105M点为BD的中点，AM=DM=BM，在DEM和ACM中，DEMACM（SAS），ME=MC，6=5，AMD=90，即6+EMA=90，5+EMA=90，即EMC=90，MEC为等腰直角三角形，MEC=45故选C点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的性质12（2006菏泽）如图，D为ABC的AB边上的一点，DCA=B，若AC=cm，AB=3cm，则AD的长为（）AcmBcmC2cmDcm考点：相似三角形的判定与性质1053389分析：先判断ADC与ACB相似，再利用相似三角形对应边成比例求解即可解答：解：A=A，DCA=B，ADCACB，AD：AC=AC：AB，AC=cm，AB=3cm，AD：=：3，解得AD=2cm故选C点评：此题主要考查相似三角形的判定及性质13如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A6B5CD考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质1053389专题：压轴题分析：如图，过点G作GPAD，垂足为P，可以得到BGFPGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG，根据勾股定理可求EG的长，进而求出每个小正方形的边长解答：解：如图所示：正方形ABCD边长为25，A=B=90，AB=25，过点G作GPAD，垂足为P，则4=5=90，四边形APGB是矩形，2+3=90，PG=AB=10，六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，1+2=90，1=FGB，BGFPGE，GB=5AP=5同理DE=5PE=ADAPDE=15，EG=5，小正方形的边长为故选D点评：本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键二填空题（共4小题）14（2012绥化）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BFa于点F，DEa于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为13考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质1053389专题：压轴题分析：根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得AFBAED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13解答：解：ABCD是正方形（已知），AB=AD，ABC=BAD=90；又FAB+FBA=FAB+EAD=90，FBA=EAD（等量代换）；BFa于点F，DEa于点E，在RtAFB和RtAED中，AFBAED（AAS），AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13故答案为：13点评：本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系15（2010攀枝花）如图所示，在ABC中，AB=AC=2，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：BE=AF，SEPF的最小值为，tanPEF=，S四边形AEPF=1，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论始终正确是考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义1053389专题：综合题；压轴题分析：根据全等三角形的判定和等腰三角形的性质，对题中选项一一证明，得出正确结果解答：解：连接PAAB=AC，BAC=90，P是BC的中点，PA=PC，APC=90，PAE=PCF=45FPE=APC=90，CPF=APEPA=PC，PAE=PCF，CFPAEPAE=CFABAE=ACCF，BE=AF，故始终正确；CFPAEP，PE=PFEPF=90，EPF为等腰直角三角形PEF=45tanPEF=1，故错误；PA=BP，B=PAF，BE=AF，EBPPAFSEBP+SAEP+SPAF+SCFP=SABC，SAEP+SPAF=S四边形AEPFS四边形AEPF=SABC=（222）=1，故正确；SEPF的最小值为，故正确；EP+BEBP，BP=AP=CP，BPEP以P点为圆心，EP为半径的圆不会与A、B、C三点相交，即点E不会与A、B重合故正确故选点评：本题把全等三角形的判定和等腰三角形的性质结合求解综合性强，难度较大考查学生综合运用数学知识的能力16（2013昆都仑区一模）如图所示，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF在此运动变化过程中，有下列结论：DEF是等腰直角三角形四边形CEDF不可能为正方形四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化点C到线段EF的最大距离为其中正确的有（填上你认为正确结论的所有序号）考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的判定1053389分析：作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证CDF和ADE全等，从而可证EDF=90，DE=DF所以DFE是等腰直角三角形；当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离解答：解：连接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，DFE是等腰直角三角形故此选项正确；当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；如图2所示，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EFAB时，AE=CF，E，F分别是AC，BC的中点，故EF是ABC的中位线，EF取最小值=2，CE=CF=2，此时点C到线段EF的最大距离为 EF=故此选项正确；故正确的有故答案为：点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键17如图，RtABC中，AC=BC，ACB=90，CF交AB于E，BDCF，AFCF，DF=5，AF=3，则CF=8考点：全等三角形的判定与性质1053389分析：根据全等三角形的判定定理ASA证得AFCCDB，然后由全等三角形的对应边CD=AF，从而求得CF=AF+DF=5+3=8解答：解：BDCF，ACB=90，AFCF，DCB+DBC=DCB+ACF=90，DBC=ACF；CAF=BCD（等角的余角相等）；在AFC和CDB中，AFCCDB（ASA），CD=AF=3，CF=CD+DF=3+5=8故答案是：8点评：本题考查了全等三角形的判定与性质判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角三解答题（共6小题）18（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定1053389专题：压轴题分析：（1）根据BD直线m，CE直线m得BDA=CEA=90，而BAC=90，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）与前面的结论得到ADBCEA，则BD=AE，DBA=CAE，根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF=FAE，利用“SAS”可判断DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边三角形解答：证明：（1）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（sas），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF为等边三角形点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质19（2005扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分）在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题考点：全等三角形的判定与性质1053389专题：证明题；压轴题；探究型分析：（1）根据已知可利用AAS证明ADCCEB，由此可证DE=AD+BE；（2）根据已知可利用AAS证明ADCCEB，由此可证DE=ADBE；（3）根据已知可利用AAS证明ADCCEB，由此可证DE=BEAD解答：解：（1）ADC=ACB=BEC=90，CAD+ACD=90，BCE+CBE=90，ACD+BCE=90CAD=BCEAC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE又AC=BC，ACDCBECE=AD，CD=BEDE=CECD=ADBE（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE，又AC=BC，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CDCE=BEAD点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论20（2002崇文区）已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD求证：S四边形EDFC=SABC考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1053389专题：证明题分析：连接CD，由等腰直角三角形