数学花园探秘迎春杯六年级决赛试卷及详解.pdf

100 2017 年年“数学花园探秘数学花园探秘”科普活动 小学高年级组决赛试卷 科普活动 小学高年级组决赛试卷 A （测评时间：（测评时间：2017 年 年 1 月 月 1 日 日 8:009:30） 一填空题（每小题 一填空题（每小题 8 分，共 分，共 40 分）分） 2. 一个边长为 100 厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的 “海螺” ，那么这个图形的周长是 厘米（取 3.14） 3. 在 2016 年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军统计 4 局比赛 中中国队的得分，发现前 2 局的得分之和比后 2 局的得分之和少 12%，前 3 局的得分之和 比后 3 局的得分之和少 8%已知中国队在第 2 局和第 3 局中各得了 25 分，那么中国队 在这 4 局中的得分总和为 分 4.右面三个算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数 字；那 么四位数“ 李白杜甫 ” 5. n 个数排成一列，其中任意连续三个数之和都小于 30，任意连续四个数之和都大于 40，则 n 的最大值为 二填空题（每小题 二填空题（每小题 10 分，共 分，共 50 分）分） 6.算式 的计算结果是 7. 有一个四位数，它和 6 的积是一个完全立方数，它和 6 的商是一个完全平方数；那么 这个四位数是 8. 在空格里填入数字 16，使得每行、每列和每个 23 的宫（粗线框）内数字不重复若虚线框 A,B,C,D,E,F 中各自数字和依次 分别为 a,b,c,d,e,f，且 ab，c d，ef那么第四行的前五个数 字从左到右依次组成 的五位数是 101 20 C P 17 9. 抢红包是微信群里一种有趣的活动，发红包的人可以发总计一定金额的几个红包，群里相应 数量的 成员可以抢到这些红包，并且金额是随机分配的一天陈老师发了总计 50 元的 5 个红包，被孙、成、饶、赵、乔五个老师抢到陈老师发现抢到红包的 5 个人抢到的金额 都不一样，都是整数元的，而且还恰好都是偶数孙老师说：“我抢到的金额是 10 的倍 数” 成老师说：“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半” 饶老师说：“乔老师抢 到的比除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和还多” 赵老师说：“其他所有老师抢到的 金额都是我的倍数” 乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的 3 倍” 已知这些老师里只有 一个老师没说实话，那么这个没说实话的老师抢到了 元的红包 D 10. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB:BC:DA=3:1:2，DAB= CBA=60 图中所有三角形的面积都是整数如果三角形 PAD 和 三角形 PBC 的面积分别为 20 和 17，那么四边形 ABCD 的面积最 大是 三填空题三填空题（每小题（每小题 12 分，共分，共 60 分）分） A B 11. 有一列正整数，其中第 1 个数是 1，第 2 个数是 1、2 的最小公倍数，第 3 个数是 1、2、 3 的最小 公倍数，第 n 个数是 1、2、n 的最小公倍数那么这列数的前 100 个数 中共_个不同的值 12. 如图，有一个固定好的正方体框架， A、B 两点各有一只电子跳蚤同时开 A始跳 动已知电子跳蚤速度相同，且每歩只能 沿棱跳到相邻的顶点，两 只电子跳蚤各跳 了 3 歩，途中从未相遇的跳法共有 种 13. 甲以每分钟 60 米的速度从 A 地出发去 B 地，与此同时乙从 B 地出 发匀速 去 A 地；过了 9 分钟，丙从 A 地出发骑车去 B 地，在途中 C 地 追上了甲甲、乙相遇时，丙恰好到 B 地；丙到 B 地后立即调头，且速 度下降为原来速度的一半；当丙在 C地追上乙时，甲恰好到 B 地那么 AB 两地间的路程为 米 102 14. 在一个 88 的方格棋盘中放有 36 枚棋子，每个方格中至多放 一枚棋子，恰好使最外层所有方格中均没有棋子规定每一步操作 可选择一枚棋子，跳过位于邻格（具有公共边的方格）的棋子进入 随后的空格中，同时拿掉被跳过的棋子（如下图所示）；若邻格中没有 棋子，则不 能进行操作那么最后在棋盘上 最少剩下 枚棋子 15. 你认为本试卷中一道最佳试题是第 题（答题范围为 0114） ； 你认为本试卷整体 的难度级别是 （最简单为“1” ，最难为“9” ，答题范围为 19） ； 你认为本试卷中一道最难试题是第 题； （答题范围为 0114） （所有答题范围内的作答均可得分，所有的评定都将视为本人对本试卷的有效评定，不作答或者 超 出作答范围不得分） 103 2017 数学花园探秘科普活动小高决赛 A 解析 1.答案：64 解析：原式=（63 2-1 63 ）+(1- 1 63 )=63+1=64 2.答案：2384 解析：500+1 5 2 （100+200+300+400+500）=2384 3.答案：94 解析：注意到前三局比前两局多 25 分，后三局比后两局多 25 分，所以中国队得 分总和为 25+（ 1 8% - 1 12% ）12%（1+1-12%）=94 分。 4.答案：9285 解析：首先，比较两个式子，由白与诗不同可推知甫=5；其次， 李白 + 杜甫 97+86=183，所以，背=1，诗不超过 7；再次由第三个式子知李-杜=1，白不超过 2，诗不小于 6.注意到白与背不同，所以，白=2，诗=7. 李白 + 杜甫 =177， 李白 - 杜甫 =7，所以 李白 =92， 杜甫 =85 5.答案：5 解析：注意到连续三个数之和小于 30，任意连续四个数之和大于 40.所以若 n 6，则第四、五、六个数均大于 10，推知矛盾。而 12，12，5，12，12 满足要求，所以 n 的最大 值为 5. 6.答案：7776 解析：注意到这个数和 6 的积也是一个完全平方数，所以一定是一个六次方数， 所以这个四位数是 6 6的倍数。注意到 65=7776，所以这个四位数是 7776 7.答案：32 解析： 8.答案：31462 104 9.答案：16 解析：注意到饶老师和乔老师的话是矛盾的，所以其余三位老师的话都是诚实的， 推知孙老师抢得 20 元，成老师抢得 8 元，找老师抢得 2 元。 如果乔老师是诚实的，那么乔老师抢到 5 元，不是偶数。故乔老师没说实话，所以乔老师抢得至 少 16 元。注意到 5 个人抢得的金额都不一样，所以乔老师抢得 16 元。 10.答案：36 解析：注意到只有 n 的质因数仅一种时，第 n 个数才会大于第 n-1 个数，其他 情况下低 n 个数和第 n-1 个数相同。1 到 100 中有质数 25 个，质数的二次方 4 个，质数的三次 方 2 个，质数的四次方 2 个，质数的五次方、六次方各 1 个，所以这列正整数中共有 1+25+4+2+2+1+1=36 个不同的值。 11.答案：1620 解析：线段图见右：注意到从丙追上甲到甲乙相遇，丙走 CB，甲走 CD； 从甲乙相遇到丙追上乙，丙伴宿走 BC，甲走 DB，乙走 CD。所以 BD=2CD,乙的速度为每分钟 60 2=30 米，甲走 CB 时，丙走了 CB 并半速走 BC，所以丙的速度为每分钟 603=180 米。 所以 AB 两地路程为（60+30）9（180-60-30）180=1620 米 12.答案：2 解析：注意到如下操作： 所以每次可以将一个“L”形的四个棋子中去掉 3 个，另一个回到原格。所以将 36 枚棋子按图中 的分组依次去掉，最后剩下右下的 13 的棋子，再操作一次即可剩下 2 枚。 下面证明最少剩下 2 枚棋子 105 如下图对期盼进行三染色，则每次操作时，有两种颜色格内的棋子数减 1，第三种颜色格内的棋 子数加 1，而开始时三种颜色格内的棋子数均相等，所以每次操作后三种颜色格内的棋子数奇偶 性相同，而最后棋子不可能一枚不剩，所以最少剩下 2 枚棋子。 13.答案：147 解析：延长 AD,BC 交于点 Q，连接 PQ，DAB=CBA=60，所以三角形 ABQ 为 正三角形。由于 AB:BC:DA=3：1：2，所以 PCQD 的面积为 202+172=44.而三角形 QCD 面积占 QAB 面积1 3 2 3 = 2 9 ,ABCD 面积是 QCD 面积的（1- 2 9 ） 2 9 = 7 2 倍。注意到 ABCD 中各三角形面积