lingo模型实例

例.使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如下表。,单位销地,LINGO模型举例：,数学模型为：目标函数min,使用LINGO软件，编制程序如下：model:!6发点8收点运输问题;sets:warehouses/wh1.wh6/:capacity;vendors/v1.v8/:demand;links(warehouses,vendors):cost,volume;endsets!目标函数;min=sum(links:cost*volume);!需求约束;for(vendors(J):sum(warehouses(I):volume(I,J)=demand(J);,!产量约束;for(warehouses(I):sum(vendors(J):volume(I,J)=capacity(I);!这里是数据;data:capacity=605551434152;demand=3537223241324338;cost=626742954953858252197433767392712395726555228143;enddata,end,然后点击工具条上的按钮即可,例1.4.1背包问题某人打算外出旅游并登山，路程比较远，途中要坐火车和飞机，考虑要带许多必要的旅游和生活用品，例如照相机、摄像机、食品、衣服、雨具、书籍等等，共n件物品，重量分别为ai，而受航空行李重量限制，以及个人体力所限，能带的行李总重量为b，n件物品的总重量超过了b，需要裁减，该旅行者为了决策带哪些物品，对这些物品的重要性进行了量化，用ci表示，试建立该问题的数学模型这个问题称为背包问题(KnapsackProblem),解：若引入0-1型决策变量xi，xi=1表示物品i放入背包中，否则不放，则背包问题等价于如下0-1线性规划：假设现有8件物品，它们的重量分别为1,3,4,3,3,1,5,10(kg)，价值分别为2,9,3,8,10,6,4,10(元)，假如总重量限制不超过15kg，试决策带哪些物品，使所带物品的总价值最大,编写LINGO程序如下：MODEL:SETS:WP/W1.W8/:A,C,X;ENDSETSDATA:A=134331510;C=2938106410;ENDDATAMAX=SUM(WP:C*X);!目标函数;FOR(WP:BIN(X);!限制X为0-1变量;SUM(WP:A*X)=15;END求解得到结果：带16号物品，总价值为38,选址问题,某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai,bi)(单位：公里),水泥日用量di(单位：吨）,假设：料场和工地之间有直线道路,用例中数据计算，最优解为,总吨公里数为136.2,线性规划模型,决策变量：cij(料场j到工地i的运量）12维,选址问题：NLP,2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和运量cij，在其它条件不变下使总吨公里数最小。,决策变量：cij，(xj,yj)16维,非线性规划模型,LINGO模型的构成：4个段,集合段（SETSENDSETS）,数据段（DATAENDDATA）,初始段（INITENDINIT）,目标与约束段,局部最优：89.8835(吨公里),LP：移到数据段,边界,例3基金的优化使用(参见2001年竞赛C题),(1)问题的提出假设某校基金会得到了一笔数额为M万元的基金，打算将其存入银行，校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额相同，且在n年末仍保留原基金数额银行存款税后年利率见下表：校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额，请在M=5000万元、n=5年的情况下设计具体存款方案,(2)问题的分析:假定首次发放奖金的时间是在基金到位后一年，以后每隔一年发放一次，每年发放的时间大致相同，校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额，且在n年末仍保留原基金数额M，实际上n年中发放的奖金总额全部来自于利息如果全部基金都存为一年定期，每年都用到期利息发放奖金，则是没有优化的存款方案，每年的奖金数为50000.018=90万元显然，准备在两年后使用的款项应当存成两年定期，比存两次一年定期的收益高，依此类推目标是合理分配基金的存款方案，使得n年的利息总额最多,定义收益比a（本金+利息)/本金。于是存2年的收益比为a2=1+2.16%2=1.0432经分析得到两点结论：1.一次性存成最长期，优于两个（或两个以上）较短期的组合（中途转存）。2.当存款年限需要组合时，收益比与组合的先后次序无关。存款年限及相应的最优收益比,(3)建立模型把总基金M分成5+1份，分别用x1,x5,x6表示，其中x1,x5分别表示计划用于第i年发放奖金的一部分初始基金（单位:万元），x6表示用来使5年末本息合计等于原基金总数的那部分初始基金用S表示每年用于奖励优秀师生的奖金额，用ai表示第i年的最优收益比目标函数为maxS约束条件有3个：各年度的奖金数额相等；初始基金总数为M；n年末保留原基金总额M于是得到模型如下：,目标函数：MAXS约束条件：这是线性规划模型，可以用LINGO软件求解令M=5000、n=5，程序为MAX=S;1.018*x1=S;1.0432*x2=S;1.07776*x3=S;1.07776*1.018*x4=S;1.144*x5=S;1.144*x6=M;M=5000;x1+x2+x3+x4+x5+x6=M;,(4)优化结果最优存款方案：x1,x5,x6分别为132.8317129.6230125.4664123.2479118.20164370.629(单位：万元)每年度的奖金数额为135.2227万元。,例:某班8名同学准备分成4个调查队(每队两人)前往4个地区进行社会调查,假设这8名同学两两之间组队的效率如下表,问:如何组队可以使总效率最高?,model:sets:students/s1.s8/;pairs(students,students)|2#gt#1,BENEFIT,MATCH;EndsetsDataBENEFIT=9342156173521442921552876234enddata,objectiveMAX=SUM(PAIRS(I,J):BENEFIT(I,J)*MATCH(I,J);constraintsFOR(STUDENTS(I):SUM(PAIRS(J,K)|J#EQ#I#OR#K#EQ#I:MATCH(J,K)=1);FOR(PAIRS(I,J):BIN(MATCH(I,J);,BIN(x):限制x为0或1,注:,建模实例与求解,最短路问题下料问题露天矿的运输问题钢管运输问题,最短路问题,求各点到T的最短路,8,9,7,6,5,4,1,3,2,10,9,6,5,3,6,9,7,15,11,9,1,8,7,5,4,10,5,7,!最短路问题;model:data:n=10;enddata,sets:cities/1.n/:F;!10个城市;roads(cities,cities)/1,21,32,42,52,63,43,53,64,74,85,75,85,96,86,97,108,109,10/:D,P;endsets,data:D=65369751191875410579;enddata,F(n)=0;for(cities(i)|i#lt#n:F(i)=min(roads(i,j):D(i,j)+F(j);for(roads(i,j):P(i,j)=if(F(i)#eq#D(i,j)+F(j),1,0);end,计算的部分结果为：Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueN10.00000F(1)17.00000F(2)11.00000F(3)15.00000F(4)8.000000F(5)13.00000F(6)11.00000F(7)5.000000F(8)7.000000F(9)9.000000F(10)0.000000,P(1,2)1.000000P(1,3)0.000000P(2,4)1.000000P(2,5)0.00000P(2,6)0.000000P(3,4)1.000000P(3,5)0.000000P(3,6)0.000000P(4,7)0.000000,P(4,8)1.000000P(5,7)1.000000P(5,8)0.000000P(5,9)0.000000P(6,8)1.000000P(6,9)0.000000P(7,10)1.000000P(8,10)1.000000P(9,10)1.000000,问题1.如何下料最节省?,例钢管下料,问题2.客户增加需求：,节省的标准是什么？,由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？,按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。,切割模式,合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸,钢管下料,为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？,合理切割模式,2.所用原料钢管总根数最少,钢管下料问题1,两种标准,1.原料钢管剩余总余量最小,xi按第i种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,7),约束,满足需求,决策变量,目标1（总余量）,按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米,最优解：x2=12,x5=15,其余为0；最优值：27,整数约束：xi为整数,当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标,目标2（总根数）,约束条件不变,最优解：x2=15,x5=5,x7=5,其余为0；最优值：25。,xi为整数,按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米,虽余料增加8米，但减少了2根,与目标1的结果“共切割27根，余料27米”相比,钢管下料问题2,对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式,增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。,现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。,决策变量(15维),xi按第i种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3),r1i,r2i,r3i,r4i第i种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量,满足需求,模式合理：每根余料不超过3米,整数非线性规划模型,钢管下料问题2,目标函数（总根数）,约束条件,整数约束：xi,r1i,r2i,r3i,r4i(i=1,2,3)为整数,增加约束，缩小可行域，便于求解,原料钢管总根数下界：(最佳切割方式),特殊生产计划(简单切割方式)：对每根原料钢管模式1：切割成4根4米钢管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；模式3：切割成2根8米钢管，需8根。原料钢管总根数上界：31,模式排列顺序可任定,需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根,每根原料钢管长19米,LINGO求解整数非线性规划模型,Localoptimalsolutionfoundatiteration:12211Objectivevalue:28.00000VariableValueReducedCostX110.000000.000000X210.000002.000000X38.0000001.000000R113.0000000.000000R122.0000000.000000R130.0000000.000000R210.0000000.000000R221.0000000.000000R230.0000000.000000R311.0000000.000000R321.0000000.000000R330.0000000.000000R410.0000000.000000R420.0000000.000000R432.0000000.000000,模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6米钢管，共10根；模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5米和1根6米钢管，共10根；模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管，共8根。原料钢管总根数为28根。,0,y,x,VOR2x=629,y=375,309.00(1.30),864.3(2.0),飞机x=?,y=?,VOR1x=764,y=1393,161.20(0.80),VOR3x=1571,y=259,45.10(0.60),北,DMEx=155,y=987,飞机与监控台（图中坐标和测量距离的单位是“公里”）,实例:飞机精确定位问题,第1类模型:不考虑误差因素,超定方程组，非线性最小二乘！,量纲不符！？,第2类模型:考虑误差因素(作为硬约束),Minx;Miny;Maxx;Maxy.,以距离为约束，优化角度误差之和（或平方和）；或以角度为约束，优化距离误差.,非线性规划,？,？仅部分考虑误差!角度与距离的“地位”不应不同！,有人也可能会采用其他目标，如：,误差非均匀分布！,误差一般服从什么分布？,正态分布！,不同的量纲如何处理？,无约束非线性最小二乘模型,归一化处理！,飞机坐标(978.31，723.98),误差平方和0.6685(4),角度需要进行预处理，如利用Matlab的atan2函数,值域(-pi,pi),第3类模型:考虑误差因素(作为软约束);且归一化,小技巧:LINGO中没有atan2函数,怎么办？,可以直接利用tan函数！,同前面的模型/结果,飞机坐标(980.21，727.30),误差平方和2.6与前面的结果有所不同,为什么?哪个模型合理些?,最后:思考以下模型:,露天矿生产的车辆安排(CUMCM-2003B),钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。,卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%1%称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。从长远看,卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。,所用卡车载重量为154吨，平均时速28.卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。,每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60,每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60m的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：,1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。,请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。,某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场1.3万吨、倒装场1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。,铲位和卸点位置的二维示意图,各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下:,各铲位矿石、岩石数量(万吨)和矿石的平均铁含量如下:,问题分析,与典型的运输问题明显有以下不同：这是运输矿石与岩石两种物资的问题；属于产量大于销量的不平衡运输问题；为了完成品位约束，矿石要搭配运输；产地、销地均有单位时间的流量限制；运输车辆只有一种，每次满载运输，154吨/车次；铲位数多于铲车数意味着要最优的选择不多于7个产地作为最后结果中的产地；最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。,近似处理：先求出产位、卸点每条线路上的运输量(MIP模型)然后求出各条路线上的派出车辆数及安排,(混合整数规划MIP),模型假设,卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；在铲位或卸点处由两条路线以上造成的冲突问题面前，我们认为只要平均时间能完成任务，就认为不冲突。空载与重载的速度都是28km/h，耗油相差很大；卡车可提前退出系统，等等。,符号,xij：从i铲位到j号卸点的石料运量（车）单位：吨；cij：从i号铲位到j号卸点的距离公里；Tij:从i号铲位到j号卸点路线上运行一个周期平均时间分；Aij：从i号铲位到j号卸点最多能同时运行的卡车数辆；Bij：从i号铲位到j号卸点路线上一辆车最多可运行的次数次；pi：i号铲位的矿石铁含量p=(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31)%qj:j号卸点任务需求，q=(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000吨cki：i号铲位的铁矿石储量万吨cyi：i号铲位的岩石储量万吨fi:描述第i号铲位是否使用的0-1变量，取1为使用；0为关闭。,(近似),（1）道路能力(卡车数)约束（2）电铲能力约束（3）卸点能力约束（4）铲位储量约束（5）产量任务约束（6）铁含量约束（7）电铲数量约束（8）整数约束,.,xij为非负整数,fi为0-1整数,优化模型,model:titleCUMCM-2003B-01;sets:cai/1.10/:crate,cnum,cy,ck,flag;xie/1.5/:xsubject,xnum;link(xie,cai):distance,lsubject,number,che,b;endsets,data:crate=30282932313332313331;xsubject=1.21.31.31.91.3;distance=5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.271.900.991.901.131.272.251.482.043.093.515.895.615.614.563.513.652.462.461.060.570.641.761.271.832.742.604.213.725.056.104.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50;cy=1.251.101.351.051.151.351.051.151.351.25;ck=0.951.051.001.051.101.251.051.301.351.25;enddata,!目标函数;min=sum(cai(i):sum(xie(j):number(j,i)*154*distance(j,i);!max=sum(link(i,j):number(i,j);!max=xnum(3)+xnum(4)+xnum(1)+xnum(2)+xnum(5);!min=sum(cai(i):!sum(xie(j):!number(j,i)*154*distance(j,i);!xnum(1)+xnum(2)+xnum(5)=340;!xnum(1)+xnum(2)+xnum(5)=341;!xnum(3)=160;!xnum(4)=160;,!卡车每一条路线上最多可以运行的次数;for(link(i,j):b(i,j)=floor(8*60-(floor(distance(i,j)/28*60*2+3+5)/5)-1)*5)/(distance(i,j)/28*60*2+3+5);!b(i,j)=floor(8*60/(distance(i,j)/28*60*2+3+5);!t(i,j)=floor(distance(i,j)/28*60*2+3+5)/5);!b(i,j)=floor(8*60-(floor(distance(i,j)/28*60*2+3+5)/5)*5)/(distance(i,j)/28*60*2+3+5);!每一条路线上的最大总车次的计算;for(link(i,j):lsubject(i,j)=(floor(distance(i,j)/28*60*2+3+5)/5)*b(i,j);,!计算各个铲位的总产量;for(cai(j):cnum(j)=sum(xie(i):number(i,j);!计算各个卸点的总产量;for(xie(i):xnum(i)=sum(cai(j):number(i,j);!道路能力约束;for(link(i,j):number(i,j)=lsubject(i,j);!电铲能力约束;for(cai(j):cnum(j)=0;,!关于车辆的具体分配;for(link(i,j):che(i,j)=number(i,j)/b(i,j);!各个路线所需卡车数简单加和;hehe=sum(link(i,j):che(i,j);!整数约束;for(link(i,j):gin(number(i,j);for(cai(j):bin(flag(j);!车辆能力约束;hehe=20;ccnum=sum(cai(j):cnum(j);end,计算结果（LINGO软件）,计算结果（派车）,结论：铲位1、2、3、4、8、9、10处各放置一台电铲。一共使用了13辆卡车；总运量为85628.62吨公里；岩石产量为32186吨；矿石产量为38192吨。,此外：6辆联合派车（方案略）,最大化产量,结论：（略）,目标函数变化此外：车辆数量（20辆）限制（其实上面的模型也应该有）,要铺设一条的输送天然气的主管道,如图一所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有,。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。,一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂,在指定期限内能生产该钢管的最大数量为,个单位，钢管出厂销价1单位钢管为,万元，如下表：,钢管运输问题（CUMCM-2000B),1单位钢管的铁路运价如下表：,1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。,钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点,（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。,，而是管道全线）。,常用解法:二次规划先计算最小运费矩阵两种运输方式（铁路公路）混合最短路问题是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法,fi表示钢厂i是否使用；为一个单位钢管从运到的最小费用xij是从钢厂i运到节点j的钢管量;yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量向两边铺设的费用为;为购运总费用路段的长度（即需铺设的钢管数量）为,其他优化赛题,飞行管理问题空洞探测问题钻井布局问题抢渡长江问题等等,作业:用LINGO软件求解1.露天矿生产的车辆安排2.钢管运输问题,LINGO在数值计算中的应用,LINGO的特色功能是求解规划问题，即在一定约束条件下求某个目标函数的最大值或最小值。如果我们充分利用它的强大运算能力，也能在数值计算方面找到其用武之地。,一、解非线性方程（混合）组,LINGO把非线性方程组的每一个方程看成是一个等式约束条件，把不等式看成不等式约束条件，把方程（混合）组看成是只有约束条件而没有目标函数的特殊规划，满足所有约束条件的解通常称为可行解，它就是方程组的解。用LINGO求解方程组的优点是不需要初始值，且计算结果的精度通常能达到10-7.,例.解非线性方程组,解：第一个方程的图象是一条直线，第二个方程的图象是一个椭圆，方程的解是两者的交点。该方程有两组解,在LINGO的模型窗口内输入程序：x1+2*x2=3;2*x12+x22=5;求解得：x1=1.488034,x2=0.7559830；该方程组还有另一组解(x10)，因LINGO默认变量非负，负根求不出来，如果想求出来，可以通过附加约束条件来解决：bnd(-1,x1,0);再次求解，得到另一组解：X1=-0.8213709,X2=1.910685。精度达到10-7。,例.已知方程组,其中x,y是变量，u是常数，问u在什么范围内时该方程组有解？若u=1.2，求该方程组的解。解：将约束条件代入第二个方程得2600y2196。要判断u在什么范围内时该方程组有解，可以把方程组看成约束条件，求能够满足约束条件的u的最大值和最小值。,即可求出u在什么范围内时该方程组有解。在LINGO模型窗口输入min=u;y=7500*u/13/(u+1300);x2+y2=2600*y-900;2600*y=2196;求解得到u的最小值为0.7805724。类似地，在LINGO模型窗口输入max=u;y=7500*u/13/(u+1300);x2+y2=2600*y-900;2600*y=2196;,求解得到u的最大值为1.90599。综上所述，当0.7805724u1.90599，方程组有解。当u=1.2时要求方程组的解，只需输入：u=1.2;y=7500*u/13/(u+1300);x2+y2=2600*y-900;2600*y=2196;求解得到x=21.97852，y=0.5320533.注意到方程组中变量x仅以x2出现，关于x是偶函数，故当x=21.97852是方程组的解时，x=-21.97852必然也时方程组的解。,二、求函数的极值,求函数极值时，如果没有约束条件，则LINGO极值问题看成是没有约束条件的特殊规划。如果对变量的范围有限制，则把该限制作为约束条件，极值问题就是一个普通的规划问题。用LINGO求极值的优点是不需要初始值。,例.求函数的极小值点和极小值：,解：本题只有目标函数没有约束条件。输入语句：min=cos(x2)-x-y+2*x2-2*x*y+y2+log(1+y2);求解得到结果：x=1.561665,y=1.613946时，目标函数的最小值为-0.2148464如果对自变量的取值范围有限制，例如nxm，则用语句bnd(n,x,m);实现因LINGO默认变量非负，如果极小值在某个自变量为负值时取得，也用函数bnd限定该自变量的取值范围，如bnd(-2,y,-1)限定-2y-1,三、曲线拟合,1.曲线拟合的概念设观测数据为（xi，yi），i=1,2,.,n，希望用一条相对光滑的曲线y=f(x)来近似表示变量y与x的关系，不要求它通过每一个节点，但要求数据点与曲线之间的距离尽可能小，称f(x)为拟合函数或经验公式.,拟合曲线f(x)中往往含有若干待定常数ak(k=1,2,.m)，称为回归系数，记为向量A=a1,a2,.,am，则曲线方程可记为f(A,x)，其具体形式可由散点图或通过建立数学模型来确定,2.最小二乘法,确定待定常数的常用方法是最小二乘法。以xi代入f(x)，得到f(xi)，它与yi并不相等，需要定出一种规则来衡量曲线f(x)与节点的接近程度，令称为均方误差，确定待定常数A的原则是使Q最小，称为最小二乘原理，该方法称为最小二乘法，求出使Q(A)取得最小值的A称为最小二乘解。于是问题转化为求多元函数的极小值。,如果拟合函数y=f(x)的