（基础数学专业论文）复finsler流形的复超平面.pdf

复f i n s l e r 流形的复超平面 中文摘要 设m 为复n 维复流形，f 为m 上的强拟凸的复f i n s l e r 度量 1 】，称 ( m ，f ) 为强拟凸的复f i n s l e r 流形设m 为m 的复n 一1 维复子流形，记歹 为f 在m 上诱导的复f i n s l e r 度量，称( 州，厂) 为复f i n s l e r 流形( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面本文在论文【1 2 】，【1 3 】的基础上进一步研究了k a e h l e rf i n s l e r 的复超平面的某些几何性质，主要结果为( 参见定理2 4 ，定理2 6 - 定理2 8 ， 定理3 7 ) ： 定理a 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，( 朋，一为( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面，则( m ，一的第二基本形式留( ，) 的系数g 殇；七可表示为 纵= 三鼠筹铲 定理b 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，( 川，刀为( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面，且( m ，厂) 不是全测地的，则 为；七= 七 的充分必要条件是 m j = 0 定理c 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，( 朋，一为( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面，且( 朋，歹) 不是全测地的，d 为( m ，f ) 的复r u n d 联络，则 m j = 0 的充分必要条件是td 在( 朋，一上的诱导复线性联络v 与( 朋，一 的内蕴复r u n d 联络v 4 相同 定理d 设( m ，f ) 为复b e r w a l d 流形，( m ，厂) 为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面若( m ，歹) 是全测地的，且 m j = o ，vi ，j = 1 ，扎一1 ， 则( m ，厂) 也是复b e r w a l d 流形 1 复f i n s l e r 流形的复超平面 定理e 设( m ，f ) 是被赋予复r u n d 联络的强拟凸的局部复m i n k o w s k i 流形，( m ，厂) 是( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面，满足 ( i ) 在廊上，磁= i l = 尬= o ，v i ，z ，k 1 ，n 一1 ) ； ( i i ) 在m 的任何一个点上， ( 髟2 ) 是非退化的 则丁是朋上的h e r m i t i a n 度量 关键词：k a e h l e rf i n s l e r 流形；复f i n s l e r 超平面；复m i n k o w s k i 流 形 2 复f i n s l e r 流形的复超平面 a b s t r a c t l e tmb eac o m p l e xm a n i f o l do fc o m p l e xd i m e n s i o nna n dfb eas t r o n g l y p s e u d o c o n v e xc o m p l e xf i n s l e rm e t r i co nm 【1 】t h ep a i r ( m ，f ) i sc a l l e da s t r o n g l yp s e u d o c o n v e xc o m p l e xf i n s l e rm a n i f o l d l e t 朋b eac o m p l e xs u b - m a n i f o l do fmw i t hc o m p l e xd i m e n s i o nn 一1 ，i e ，mi sac o m p l e x h y p e r s u r f a c e 0 fm d e n o t e 厂t h er e s t r i c t i o no fft om ，w h i c hi sa l s oc a l l e dt h ei n d u c e d c o m p l e xf i n s l e rm e t r i cb yfo n 朋( m ，厂) i sc a l l e dac o m p l e xf i n s l e rh y - p e r s u r f a c eo f ( m ，乃b a s e do nt h ew o r ko f 【1 2 】，【1 3 】，t h ea u t h o rs t u d i e si nt h i s p a p e rs o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fc o m p l e xf i n s l e rh y p e r s u r f a c eo fak a e h l e r f i n s l e rm a n i f o l d t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r e ( c f t h e o r e m2 4 ，t h e o - r e m2 6 - t h e o r e m2 8 ，t h e o r e m3 7 ) ： t h e o r e mal e t ( m ，f ) b eak a e h l e rf i n s l e rm a n i f o l d ， ( 朋，一b e ac o m p l e xf i n s l e rh y p e r s u r f a c eo f ( m ，f ) t h e nt h ec o e f f i c i e n t s 易；七o ft h e s e c o n df u n d a m e n t a lf o r m 历( ，) f o r ( 朋，一a r eg i v e nb y 孙= 丢岛筹等 t h e o r e mbl e t ( m ，f ) b eak a e h l e rf i n s l e rm a n i f o l d ，( 朋，一b e ac o m p l e xf i n s l e rh y p e r s u r f a c eo f ( m ，f ) w h i c hi sn o tt o t a l l yg e o d e s i c t h e n t h ef o l l o w i n ge q u a l i t y 百易津= 七 h o l d si fa n do n l yi f m j = 0 t h e o r e mcl e t ( m ，f ) b eak a e h l e rf i n s l e rm a n i f o l d ，( m ，厂) b ea c o m p l e xf i n s l e rh y p e r s u r f a c eo f ( m ，f ) w h i c hi sn o tt o t a l l yg e o d e s i c l e td b et h ec o m p l e xr u n dc o n n e c t i o na s s o c i a t e dt o ( m ，f ) t h e nm j = 0i fa n d o n l yi ft h ei n d u c e dc o m p l e xl i n e a rc o n n e c t i o nvb ydo n ( 朋，一c o i n c i d e s w i t ht h ei n t r i n s i cc o m p l e xr u n dc o n n e c t i o nv + a s s o c i a t e dt o ( 朋，一 3 t h e o r e mdl e t ( m ，f ) b eac o m p l e xb e r w a l dm a n i f o l d ，( 朋，一b e ac o m p l e xf i n s l e rh y p e r s u r f a c eo f ( m ，f ) i f ( m ，厂) i st o t a l l yg e o d e s i ca n d 坞= o ，vt ，j = 1 ，n 一1 ， t h e n ( m ，厂) i sac o m p l e xb e r w a l ds u b m a n i f o l d t h e o r e mel e t ( m ，f ) b eas t r o n g l yp s e u d o c o n v e xl o c a l l yc o m p l e x m i n k o w s k im a n i f o l de n d o w e dw i t hc o m p l e xr u n dc o n n e c t i o n l e t ( 朋，) b e ac o m p l e xf i n s l e rh y p e r s u r f a c eo f ( m ，f ) w h i c hs a t i s f i e s ( i ) 尴= 晦= 尬= 0o n 肋vi ，：，k 1 ，n 一1 ) ( i i ) t h em a t r i x ( 形2 ) i sn o n s i n g u l a ra te v e r yp o i n to fm t h e n 笋i sah e r m i t i a nm e t r i co nm k e y w o r d s ：k a e h l e rf i n s l e rm a n i f o l d ；c o m p l e xf i n s l e rh y p e r s u r f a c e ； c o m p l e xm i n k o w s k im a n i f o l d 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人c ：娩紊需 年月日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ： 年月日 电秘范 复f i n s l e r 流形的复超平面 引言 设m 为复流形，所谓复f i n s l e r 流形( m ，f ) ，是指在m 上的每一点 p m 的全纯切空间，o m 上均指定了个复m i n k o w s k i 范数 f 0 ，钞) = l 尹，vu t p p l , 0 m 。 从而复f i n s l e r 流形是h e r m i t i a n 流形的推广 多复变函数论中的许多全纯不变度量，如复流形上的k o b a y a s h i 度量和 c a r a t h 6 0 d o r y 度量，均是复f i n s l e r 度量，它们在研究多复变的几何函数论中 起着重要的作用 在通常情况下，复流形上的k o b a y a s h i 度量和c a r a t h 6 0 d o r y 度量并不具 有良好的光滑性，难以利用微分几何工具来研究 然而，著名数学家l e m p e r t 4 1 发现，在c 珏中的光滑有界强凸区域上， k o b a y a s h i 度量和c a r a t h 6 0 d o r y 度量相同，且均是f i n s l e r 意义下的光滑度 量这个重要的发现使得在适当的光滑性假设下可以从复微分几何的角度来 研究复f i n s l e r 几何，从而导致近些年来，国际上逐渐对复f i n s l e r 几何产生 全新的兴趣 1 】， 7 】 由于复f i n s l e r 度量与实f i n s l e r 度量之间的关系远没有像h e r m i t i a n 度 量与r i e m a n n 度量之间的关系那么密切【1 】，且复f i n s l e r 度量的基本张量通 常不仅依赖流形上的坐标，还依赖于方向，这导致复f i n s l e r 几何的研究与实 f i n s l e r 几何的研究在许多方面存在着本质的不同 以子流形理论为例设m 为礼维复流形，具有一个强拟凸的复f i n s l e r 度 量f ，朋是m 的m 0 且f ( z ，u ) = 0 的充分必要条件是t ，= o ； ( 3 ) va c + ，( z ， ) t 1 , 0 m ，有f ( z ，a v ) = | a i f ( z ，钉) ； ( 4 ) h e r m i t i a n 矩阵 一 溉沪( 篇) ( 1 1 ) 在m 上正定则称f 为复流形m 上的强拟凸的复f i n s l e r 度量 若m 上赋予了一个强拟凸的复f i n s l e r 度量f ，则称( m ，f ) 为强拟凸 的复f i n s l e r 流形 定义1 1 2 设m 为n 维复流形，f 为m 上的强拟凸的复f i n s l e r 度 量若m 为m 的n 一1 维复子流形，且歹为f 在m 上诱导的复f i n s l e r 度量，则称( m ，一为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面 设f ：朋_ m 为朋到m 的全纯侵入若w = ( w 1 ，w 铲1 ) 为 朋的局部全纯坐标，则记( w ，7 7 ) = ( w 1 ，w 铲1 ，矿，矿_ 1 ) 为全纯切丛 t 1 , o j ，4 上的诱导全纯坐标 7 复f i n s l e r 流形的复超平面 本文假定指标的取值范围为 1 q ，p ，y ，p ，o r ，7 ，sn ；1 i ，j ，k ，l ，8 ，n 一1 ， 并便用爱凼斯坦求和约定，层f j 上f 指标相同的表不在指标的变化范围内求和 记 以：= 西0 ，以：= 杀，瓦：= 杀，菇：= 杀， a ：= 赤衙= 丽0 ，珏o - - 刍，珏嘉 由于，：州一m 是全纯侵入映射，则在局部全纯坐标下，可表示为 矿= 硝伽镜a 乩，叫乩扩1 i r a n k ( 篆) = n 。 因此，对于w 朋，在w 点的切映射( ) 们：砭，o 州一碥。0 ) m 是单射， 从而局部地我们可设，：朋- m 是全纯嵌入显然，对于叩= 叩t 侥，f 在m 匕的诱导复f i n s l e r 度量厂的局部表示为 y ( w ，7 7 ) ：= f ( z ( 叫) ，( ) 。叩) ，( 1 2 ) 其中) 。刁= ( v a 文) = ( 矿群以) ，彰= 筹，的基本张量为 g i j ( w ，卵) = 雪胡( z ( 叫) ，( ) 埘7 7 ) 彤b g ， ( 1 3 ) 这里霹为召尹的共轭 记 磁= 淼，b 5 = ，i b a 懿= 矿矿磁 容易验证 馥= 霹良+ 磁以，侥= 霹以，( 1 4 ) d z 。= 辫d w 。，d v 。= b 笋d r f + b 晶咖 ( 1 5 ) 熟知，f 的基本张量豇辱在t 1 ，o 府的垂直子丛y ( 廊) 上定义了一个 h e r m i t i a n 度量，记为蚕，从而使( v ( m ) ，互) 成为一个h e r m i t i a n 全纯向量 丛若记v ( m + ) 为v ( m ) 在砌上的限制，那么由反= 毋瓦可知， v ( 砌) cv ( 府) cv ( 廊) 8 复f i a s l e r 流形的复超平面 容易验证 g i 3 = 雪( 侥，o j ) ( 1 6 ) 选取v ( m ) 的基底 反= b 尹瓦，b = b 。瓦 ，使得 雪( a ，b ) = 0 ，( 1 7 ) o ( b ，b ) = 1 ( 1 8 ) y ( 肪+ ) 的这样一组标架 反，b ) 称为是y ( 砑) 沿肋的适用标架值得注意 的是b 未必是全纯向量场，即b 口未必是局部的全纯函数记( 上翠b 。) 为自然 基底 瓦) 到v ( 府+ ) 的特殊基底 反，b 的过渡矩阵，并记( 或鼠) 为( 砑b 。) 的逆矩阵，则有 或霹= 嘭， ( 1 9 ) 磁b 。= 0 ， ( 1 1 0 ) 玩b 7 = 0 ，( 1 1 1 ) 玩b a = 1 ，( 1 1 2 ) 钟昂+ b 。昂= 筇( 1 1 3 ) 显然，由式( 1 8 ) 和( 1 1 2 ) 可知， 玩= 弧厅b 卢( 1 1 4 ) 1 2( m ，f ) 上的复r u n d 联络 由于m 为复流形，因此它的全纯切丛7 r ：t 1 , 0 m m 具有一个自然的 复流形结构记t 1 ，o 砑为府的全纯切丛， 咒( 肪) 为t i , o 畅的水平子丛， v ( 廊) 为t 1 o 勋的垂直子丛，y ( 廊) 也是t 1 ，o 露的n 维全纯向量子丛，以 下记x c v ( m ) ) 为y ( 庇) 的c 截面，死廊为丁1 ，o 廊的复化丛，墨府为 府的对偶丛由于z r * t l , o m2v ( m ) ，因此由文【2 】2 性质3 2 可知，有 9 复f i n s l e r 流形的复超平面 定理1 2 1 ( f 2 】) 设( m ，f ) 为强拟凸的复f i n s l e r 流形，则存在唯一的复 f i n s l e r 联络d ：z ( y ( m ) ) - 刀( mov ( m ) ) ，满足 ( 1 ) d 是( 1 ，0 ) 型的； ( 2 ) d 是水平度量相容的； ( 3 ) d ”= d t ，； ( 4 ) d a 满足d a ( 可口文) = 0 满足定理1 2 1 的复f i n s l e r 联络最初由r u n d 5 【6 】得到，称为复r u n d 联络，其联络形式为 嵋= r z ；p d 夕， ( 1 1 5 ) 其中 r ：；卢= 以( 嵋) ， ( 1 1 6 ) 称为d 的水平联络系数，而 n z = 蚕亍1 幽岛( f 2 ) ， ( 1 1 7 ) 称为足由f 确定的复非线性联络系数，它满足 嵋( z ，入 ) = 入嵋( z ， ) ( 1 1 8 ) 由此可知，与f 相联系的复非线性联络的水平联络系数关于方向口是0 次齐 次的利用复非线性联络系数 名，可定义向量场 瓦= a ：。一小堙净p ，6 u 口= d v a + d - 瑶d z 卢( 1 1 9 ) 熟知， 文，瓦】为t 1 ，o 砑的局部标架场，而 d z 。，如8 】为 瓦，瓦) 的一组对 偶标架场采用这种标架的好处是它们在m 上的局部全纯坐标变换诱导出的 t 1 ，o m 上的局部全纯坐标变换下，具有比自然标架更为简单的变换规律【1 】 由于复r u n d 联络的水平联络系数与c h e r n - f i n s l e r 联络的水平联络系 数相同，因此定义在m 上的张量场关于复r u n d 联络和关于c h e r n - f i n s l e r 联络的水平协变微分相同但由于复r u n d 联络的垂直联络系数为零，从而复 1 0 复f i n d e r 流形的复超平面 r u n d 联络是垂直度量相容的充分必要条件是岛( 雪胡) = 0 ，亦即f 来自m 上的h e r m i t i a n 度量 1 3复f i n s l e r 子流形上的诱导联络和内蕴联络 设d 为( m ，f ) 上的复r u n d 联络，v + 为( 朋，一上的复r u n d 联络， v 为d 在( 朋，一上诱导的复线性联络，留( ，) 为( 朋，厂) 的第二基本形 式，a y 为( m ，一关于法截面vex ( v ( x 4 ) 上) 的w e i n g a r t e n 基本张量， v 上为d 关于( 朋，) 的法向复线性联络，则有g a u s s 方程 d x y = v x y + 留( x ，y ) ，v x x ( t c x ，1 ) ，ye 石( y ( 肠) ) ，( 1 2 0 ) 和w e i n g a r t e n 方程 d x v = - a v x + v 支vv x x ( t c x ，f ) ，v x ( v ( x 4 ) 上) ( 1 2 1 ) 设( m ，f ) 为强拟凸的复f i n s l e r 流形，( m ，厂) 为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面，则由文【1 3 】可知( 朋，一的复非线性联络系数m 为 川= 磁( 鼹+ 磁嵋) ( 1 2 2 ) 以下记 民= 仇一人名巩，6 矿= d 矿+ 肿d 叫j ，( 1 2 3 ) 并用畦，6 矿分别表示以和6 矿的共轭显然 以，反) 为t 1 ，o 肠的局部标架， 而 d w 七，万矿) 为 以，反) 的对偶标架 由文【1 3 】中的定理3 1 可知，( m ，上的复r u n d 联络v 的水平联 络系数巧；七为 巧；七= 或( 歇+ 霹磁r ；p ) + 蟛h k ， ( 1 2 4 ) 这里我们已记 m j = ? a 昏v b 。b r b ；g ，h j = b o ( b 昌+ 嵋骘) 1 1 复f i n s l e r 流形的复超平面 由文 1 3 】中的性质3 2 可知，( m ，f ) 上的复r u n d 联络d 在( 朋，一 上诱导的复线性联络v 的联络系数谚；膏为 谚；奄= 壤( 啄+ 写霹r 钰) ， ( 1 2 5 ) 且( 朋，厂) 的第二基本形式历的系数够；k 为 霸；知= ( 琢+ g b 譬r ：；卢) ( 1 2 6 ) 熟知一个强拟凸的复f i n s l e r 流形( m ，f ) 是k a e h l e rf i n s l e r 流形的充 分必要条件是它的c h e r nf i n s l e r 联络的水平联络系数r 钿关于下指标对称 【1 】，即r ；p = r 器；1 ，由此立得 性质1 3 1 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，其上的复f i n s l e r 联络 为复r u n d 联络，则 苟；k = 虢；j ，易；k = 级o ( 1 2 7 ) 记 d & b = 一反+ z 七b ，( 3 1 0 ) d 靠b = 一彩t o , + 只露b ， b = 一娣侥+ 玩b ， d b = 一磁侥+ 玩b 则由文 1 3 】中的性质3 4 ，可得 ：= 一磁陬( b 1 ) + b 8 b 拿r ：；p 】，l = 一域晚( b 1 ) ， 磁= 一b ；v s k ( b 7 ) ，= 一域魂( b 7 ) ， 黜= 岛【瓯( b 7 ) + b 口b 譬r ：；口】，。曩露= 目颤( b 1 ) ， 巩= 岛鼠( b 1 ) ，玩= 鼠魂( b 1 ) 1 2 复f i n s l e r 流形的复超平面 1 4复f i n s l e r 超平面的g a u s s ，c o d a z z i 和r i c c i 公式 设( m ，f ) 为强拟凸的复f i n s l e r 流形，( 朋，一为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面设孟为d 的曲率张量，熟知应的非零曲率分量为【1 3 】 兄( 以，彩) 巩= 确；。以，r ( 瓦，妨) 岛= 。声以，兄( 瓦，锄) 珥= 砀；a 以，( 1 2 8 ) 其中 j ；口= 一勃( r ；口) ，吆。声= 一妇- ( - 7 0 ；。) ，j 砀；。= 一锄( r i 口) ( 1 2 9 ) 设r 为诱导联络v 的曲率张量，记兄的曲率分量为 r ( 文，如) 巩= 琏澎a l ，r o , ，o j ) o 七= r 囊a ， r 0 , ，鸯) 仇= 冗：；巧a ， r o , ，岛) 巩= r ；t a ， 冗上( 磊，岛) b = 兄巧b ，r 上( 瓯，岛) b = 冗乞扭b ， r 上( 反，5 3 ) b = r 七i 3 b ，r 上( 盈，岛) b = 冗与；t b 由文【1 3 】中的定理4 3 ，立得 定理1 4 1 设( m ，f ) 为强拟凸的复f i n s l e r 流形，其上的复f i n s l e r 联 络为复r u n d 联络d ，( 州，一为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面，则( 朋，厂) 的g a u s s 方程为 ( b ? h j 一骘甄) 砀；。磁磅 霹b ；敏b 舟巩砖 ( 霹考龟；胡+ b ：】 h j b 口而；口) s 。7 磅 b ：b ；a 乏“b k yo l ， 冗：= ；巧+ 级弼一玩；j 卅，( 1 3 0 ) 兄；十巩； 彰， ( 1 3 1 ) 磁；疗+ 玩一彰， ( 1 3 2 ) 确；i + 玩； 彰； ( 1 3 3 ) a - c o d a z z i 方程为 ( 彤马一露凰) 葫；。矽磅= ：j j 一彩i ；一礞砟， 霹骘砀；。b 7 磅= 确l j 一蚓。一礞酬， ( 霹霹龟；a 声+ 霹屿砀；a ) b 1 磅= 彰旺一弼旷礞硎+ 葛磁， 霹骘龟；胡b 1 磅= 彰畸一蚓。一礞卅； 1 3 复f i n s l e r 流形的复超平面 b c o d a z z i 方程为 ( b t h j 一露凰) 矿而；n b ：饬= 玩；州 一玩；t b + 锨；l 弓 ， 群骘而；a 磁召，= 一纸巾， ( 彤霹霹a 声+ b t h 3 b 声砀；。) 磁伤= 一巩蚓了， 霹骘砀；口磁玩= 一巩；删 r i c c i 方程为 ( s t u j 一骘凰) 矿而；口b 1 玩= 砖+ 略玩j 一哟玩两 毋骘砀；a b l 饬= 冗专厂矽玩函 ( 彤霹龟；口声+ b t h 3 b 声兄- - 俩( 7 口) b 1 玩= 冗切一蝣玩加 霹芎砭口声b 7 岛= r 专厂剪玩疹 1 4 复f i n s l e r 流形的复超平面 第二章复f i n s l e r 超平面的几何性质 我们定义 m = 嘶h b n b 5 或 m j r = 。弘b 。b 磁， m ；= 毋m _ 容易验证，m j ，m j 蟛均是h e r m i t i a n 张量，且 坞矿= 0 ，坞一= 0 ，嵋矿= 0 定理2 1 设( m ，一为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面， ( 1 ) o j ( 玩) = o ，v 歹= 1 ，n 一1 ，口= 1 ，佗； ( 2 ) x = 岛( 俨) 以y ( m ) ； ( 3 ) m j = 0 ，= 1 ，礼一1 证明用岛作用式( 1 1 4 ) ，得 8 j 0 = 。h 妒b 于是 岛( 玩) b 。= m j 再用岛作用式( 1 1 1 ) ，并注意到上擎不依赖于矿，得 岛( 玩) 霹= 0 将式( 2 7 ) 与域缩并，并利用式( 1 1 3 ) ，( 2 6 ) 得 即 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 则以下条件等价， 0 = 岛( 玩) 彤或= 龟( 玩) ( 霹一b 。岛) = 岛( 岛) 一坞岛， 岛( 玩) = 坞玩 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 1 5 一复墅璺堕鎏丝竣复塑垩查 上6 又由 1 3 】中定理3 1 的证明过程，可知 岛( 召：) = m j b n ( 2 9 ) 用岛作用式( 1 1 0 ) ，并利用式( 1 t 2 ) 和( 2 9 ) ，得 删+ 舀：岛( b 。) = 0 ( 2 1 0 ) 将式( 2 1 0 ) 与霹缩并，并利用式( 1 1 3 ) ，得 霹u j = - o s ( b 1 ) 十b 1 b a 岛( b 8 ) 亦即 岛( b 。) = 一霹鸩一b a u s ( 2 1 1 ) 于是 x ：o j ( b n ) 鼠= 一( 毋鸩+ b 坞) 瓦= 一m j 0 , 一u s b ( 2 1 2 ) 由式( 2 6 ) 和( 2 8 ) ，可知 岛( 召。) = 0 铮m s = o ，w = 1 ，佗一l ；o z = 1 ，住 由式( 2 1 2 ) ，可知 x = 0 j ( b 。) 文y ( 砌) 铮m s = o ，= 1 ，n 一1 得证 - 定理2 2 设( 朋，一为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面，则以下条件等价t ( 1 ) 岛( 或) = 0 ，vt ，歹= 1 ，钆一l ，q = 1 ，住； ( 2 ) x = 岛( b a ) 文y ( 砌) 上； ( 3 ) 蟛= 0 ，v i ，j = l ，竹一1 证明由式( 2 9 ) ，可知若m j = 0 ，则必有岛( 瑗) = 0 反之，若岛( 或) = 0 ，将式( 2 9 ) - qb a 缩并，并利用式( 1 1 2 ) ，可得u j = 0 由式( 2 t 2 ) ，可 知若嘲= 0 ，则有 x = 岛( b a ) 氖= 一坞b v ( 崩) 星墨垒型竺煎垄丝复枣垦垩亘 -_，_。_。_-_-。_。一一一 反之，若x = 0 j ( b 。) 瓦，则同样由式( 2 1 2 ) ，可知m j o , = 0 ，于是必有 m j = 0 - 推论2 3 设坞，鸩的定义为式( 2 1 ) 和( 2 3 ) ，则 m j = m j = o ，vi ，j = 1 ，礼一1 的充分必要条件是 岛( b 。) = o ，vj = 1 ，n 一1 ，o t = 1 ，礼 由前面易；k 和风的表达式，可知 踢；七矿= 风 ( 2 1 3 ) 以下记 h o = h k u 知，屿七= 去岛反( 日o ) 定理2 4 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，( 川，厂) 为( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面，则( 朋，一的第二基本形式的系数劬；k 可表示为 = 丢召7 筹铲( 2 1 4 ， 证明由于 朋= 或( 鼹十磁n z ) 将上式与霹缩并并利用群磁+ b 7 玩= 醒，得 b ： 囔= b 吾k + b 2 雌一b 1 b 。0 b 款+ b 2 n 暑、) = b & + b 2 哺一酽h k 从而 b ：帆+ 驴h k = 醚k + b 囊喝 将上式与矿缩并，得 b 1 h o = 磁十嵋扩一心矿b ；7 1 7 复f i n s l e r 流形的复超平面 从而 反( b 7 凰) = 2 b ；+ r ：；卢彤扩+ 嵋劈一反( 川矿) 霹， 4 8 j ( b 7 编) = 2 弼+ 茸( r ：；p ) 譬彰扩+ r ：；卢毋霹+ r ：；卢譬群一反岛矿) 写 将上式与岛缩并并利用等式目b 7 = 0 ，得 岛反岛( b 1 凰) = b v 2 b 弓+ ( r ：；卢+ ；。) 霉霹+ 茸( r ：；p ) 巧霹叫( 2 1 5 ) 由于在k a e h l e rf i n s l e r 流形( m ，f ) 上，恒有 磁卢= 口， 由此得 文( r ：；，) 卢= 魂( r ：；卢) 一r z ；，= 魂( ；。) 一聪；，= 茸( 孵) 一1 1 z ；，= 0 从而 目筹铲- 2 i 引理2 5 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，( z 4 ，) 为( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面，则 踢；七：啄一( m k h j + 坞巩) 一丢凰 屿尥+ 反( 坞) 】 ( 2 1 6 ) 证明由于 但 于是 岛( 风) = 岛( 岛) ( + 磁呀) + 岛( 琢+ 骘娣r ：；p ) 岛( 岛) = 坞岛 8 j 0 h k 、= m h k + 国j 津 1 8 复f i n s l e r 流形的复超平面 因此 o j ( g o ) = 岛( 凰) 7 7 l + h j = m j h m + 踢；z + h j = 2 马+ 鸩凰( 2 1 7 ) 但由式( 2 1 4 ) ，可得 踢；七= 1 2 j k + 丢岛岛( 凰) 鼠( b r ) + 丢岛岛( b 1 ) 反( 凰) + 丢鼠凰岛反( b r ) ( 2 1 8 ) 由于 岛岛( ) = 一0 j ( 目) b 7 = 一坞，( 2 1 9 ) 于是 仇( 岛) o j ( b 1 ) + 岛晚岛( 矽) = 一晚( 坞) 又因为 仇( 岛) = 尥目，o j ( b 7 ) = 一霹蟛一矽坞， 于是有 鼠仇岛( 矽) = m j m k 一仇( m a ( 2 2 0 ) 将式( 2 1 7 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 代入( 2 1 8 ) 后整理即得( 2 1 6 ) i 熟知，当( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形时，( 朋，芦) 关于复r u n d 联络的 第二基本形式历( ，) 的系数满足丘叻；k = 善既；j 若( 朋，一为k a e h l e rf i n s l e r 流形( m ，f ) 的全测地复子流形，则由 1 2 】定理6 3 可知，b t h o = 0 ，于 是由定理2 4 得踢；知= 0 ，再由( 2 1 3 ) 得h k = 0 ，由此并利用式( 2 1 6 ) 得 踢；k = 呜七= 0 反之，则有 定理2 6 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，( 朋，一为( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面，且( 朋，一不是全测地的，则 的充分必要条件是 踢；七= 七 m j = 0 1 9 复f i n s l e r 流形的复超平面 证明显然，若m j = 0 ，则由式( 2 1 6 ) ，可得踢；k = 七反之，将式 ( 2 1 6 ) 与矿缩并，注意到此时坞矿= 0 ，且巩( 坞) 矿= 一慨，于是 1 踢；七矿= 凫矿一丢凰坞 因此若踢；k = 七，则必有凰m j = 0 但由于( 朋，厂) 不足全测地的，因此 凰0 ，故必有m s = 0 i 定理2 7 设( m ，f ) 为k a e h l e rf i n s l e r 流形，( m ，厂) 为( m ，f ) 的复 f i n s l e r 超平面，且( m ，一不是全测地的，d 为( m ，f ) 的复r u n d 联络，则 心= 0 的充分必要条件是d 在( 朋，一上的诱导复线性联络v 与( m ，一 的内蕴复r u n d 联络v 相同 证明由于两个联络相同的充分必要条件是它们的联络系数相同，而由 式( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) ，可得 刀；七一苟；k = 坞凰 ( 2 2 1 ) 于足联络v 与v 相同的充分必要条件为 蟛h k = 0 ，v i ，j ，k = 1 ，仃一1 ( 2 2 2 ) 将式( 2 2 2 ) 与矿缩并，得 心h o = 0 ，v i ，j = 1 ，n 一1 ( 2 2 3 ) 但( m ，厂) 不是全测地的复子流形，于是上如0 ，从而( 2 2 3 ) 成立的充分必 要条件是蟛= 0 i 定理2 8 设( m ，f ) 为复b e r w a l d 流形，( m ，厂) 为( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面若( m ，厂) 是全测地的，且 蟛= 0 ，vi ，j = 1 ，礼一1 ( 2 2 4 ) 则( m ，歹) 也足复b e r w a l d 流形 复f i n s l e r 流形的复超平面 证明由定理，若喇= 0 ，则巧；知= 磅；七，从而由( 朋，刁的g a u s s 公 式( 1 3 1 ) 和( 1 3 3 ) ，有 一a ( 窍活) = 碍址= 霹群砀；。q 磁一霸；七， 一岛( 巧；知) = 硪七= 磁群砀；口霹磅一踢；知群 由于( m ，f ) 是复b e r w a l d 流形，于是联络系数r 罨n 的局部表示不依赖于方 向( 秒。) ，即有 ；口= 一彩( e ；口) = o ，嘞；n = _ 彩( r 孑；。) = 0 ， 又因为( m ，一是全测地的，故踢；知= 0 ，由此可得 1 9 i ( 刀；七) = 研( 乃；七) = 0 这表明巧；七的局部表示不依赖于方向( ) ，于是( 朋，厂) 为复b e r w a l d 流 形 复f i n s l e r 流形的复超平面 第三章局部复m i n k o w s k i 超平面 本章考虑更为特殊的复f i n s l e r 流形，即局部的复m i n k o w s k i 空间，这 意味着复流形上的复f i n s l e r 度量f 的局部表示f 只与流形上的方向( v n ) 有 关，而与复流形上的位置坐标( ) 无关 定义3 1 设( m ，f ) 是强拟凸的复f i n s l e r 流形，若在局部全纯坐标系 下， f 只与方向扣。) 有关，而与位置( 扩) 无关，即f ( z ，移) = f ( ) ，则称 ( m ，f ) 是强拟凸的局部复m i n k o w s k i 流形 性质3 2 设( m ，f ) 是被赋予复r u n d 联络的强拟凸的局部复m i n k o w s k i 流形，则有 ( 1 ) d 如勃= d 如勃= d b = d 如= 0 ，v q ，p = 1 ，佗； ( 2 ) 障，以 = 阻，瓦 = 鼠，岛 = 乳，如 = 阻，魂 = 瓦，岛 = 0 ，v 肛，q ，p = 1 ，n ； ( 3 ) t ( x ，y ) = 0 ，n ( x ，y ) z = 0 ，以，k z x ( t c m ) 证明注意到f 只与方向向量v 有关，由复非线性联络系数n g 的定义 式( 1 1 7 ) ，得 n 鲁= 0 于是，由( 1 1 6 ) ，d 的水平联络系数r g ；p = 0 根据复r u n d 联络d 的联 络形式( 1 1 5 ) 知( 1 ) 成立由以的定义式( 1 1 9 ) ，得到瓦= 以，根据导数 的可交换性，( 2 ) 成立 由于t ，冗是张量，由( 1 ) ( 2 ) 立得( 3 ) - 定理3 3 设( m ，f ) 是被赋予复r u n d 联络的强拟凸的局部复m i n k o w s k i 流形，( m ，厂) 是( m ，f ) 的复f i n s l e r 超平面，则( 朋，厂) 的 复f i n s l e r 流形的复超平面 g a u s s 方程为 a - c o d a z z i 方程为 磁；巧 心曩 琏；巧 确； 彰d ：i j 一； 彰污一弼。 彰。疗一蟛； b c o d a z z i 方程为 r i c c i 方程为 一玩；i 弼+ 玩j 卅， 一玩汪彰， 一级；t 弼， 一玩再彰； 彰由 秀酬， 豫酬一鸹酬， 霉卅； 占巩；幻= 丘巩洲， 纸； 污= 玩；由哆= 玩；面方= 0 ； 球j = 一哝鼠i + 或国哺 磁= 矽玩洳 r 与= 蝣玩加 砖= 蜉玩疹 证明观察定理1 4 1 ，只需证明五= o ，七= 0 由性质3 2 得到，矗= 0 ，于= 0 利用文【1 3 】定理3 6 ，得 乃知= 戤霹霹码。= 0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 复f i n s l e r 流形的复超平面 得证 考虑第二章定义的h e r m i t i a n 张量磁，磁，m j ，有 引理3 4 酬= 聪，卅= 晦 证明由于=