（凝聚态物理专业论文）一类新压缩相干态pqk的量子统计性质.pdf

中国科学技术大学硕：l 学位论文 摘要 我们找到一类新的压缩相干态l p ，g ) 。表象，它具有很好的量子统 计行为，例如，用ip ，g ) ，可以直接构造h u s i m i 算符，对应相空间中 的h u s i m i 分布函数。发现。( p ，g ，k ) = i p ，g ) 。( p ，q i ，即h u s i m i 算符是此 压缩相干态的投影算子。它的w i g n e r 函数的边缘分布在“q 一方向”和 “p 一方向是高斯型的，分别是e x p - i c ( q 一g ) 2 和e x p - ( p 一p ) 2 。我们 还导出a h ( p ，舀，k ) 的w e y l 编序形式和正规编序形式，为研究h u s i m i 分 布的各种性质提供了算符描述，而且形式简洁精练。压缩相干态 p ，9 ) ，也为我们进一步研究h u s i m i 算符的各种性质和应用提供了表 象空间，从而发展了相空间中的h u s i m i 分布函数理论。 该文主要内容如下： 第一章：简单介绍常用的表象。 第二章：主要介绍量子相空间的两种主要分布函数- - w i g n e r 分布 函数并u h u s i m i 分布函数。 第三章：简要介绍有序算符内的积分技术( i w o p ) 与应用。 第四章：用有序算符内的积分技术( i w o p ) 研究此压缩相干态 p ，q 。表象的各种性质及其应用。 中国科学技术人学硕i j 学位论文 关键词：w i g n e r 分布函数，h u s i m i 分布函数，h u s i m i 算符，w e y l 编序，正规编序，i w o p 技术 中国科学技术人学硕士学位论文 a b s t r a c t w e f i n dan e w k p a r a m e t e rs q u e e z e dc o h e r e n ts t a t e p ，g ) ，r e p r e s e n t a t i o n w h i c h p o s s e s s e sw e l l b e h a v e dq u a n t u m s t a t is t i c a lf e a t u r e s ，i e ，u s i n gi tw ec a nd i r e c t l yc o n s t r u c t t h es o c a ll e dh u s i m io p e r a t o ra h ( p ，g ，盯) c o r r e s p o n d i n gt ot h e h u s i m id i s t r i b u t i o nf u n c t i o n si np h a s e s p a c e w es h o w h ( p ，g ，盯) = i p ，g ) ，。( p ，9 1 i e ，t h e h u s i m io p e r a t o ra c t u a l l yi sa s q u e e z e dc o h e r e n ts t a t ep r o j e c t o r i t sw i g n e rf u n c t i o n s m a r g i n a l d i s t r i b u t i o ni nt h e q - d i r e c t i o n a n d “p d i r e c ti o n ” ist h eg a u s si a nf o r m e x p - k ( q 一g ) 2 a n d e x p _ 士( p ，一p ) 2j ，r e s p e c t i v e l y a tt h es a m et i m e ，t h ew e y lo r d e r e d f o r ma n dt h en o r m a l l yo r d e r e df o r mo fah 0 ，g ，盯) a r ed e r i v e dt h a t p r o v i d e s u sw i t ha n o p e r a t o r v e r s i o nt oe x a m i n ev a r i o u s p r o p e r t i e so ft h eh u s i m id i s t r i b u t i o n ，w h i c hi s c o n c i s ea n d n e a t i ns od o i n g ，an e wo p e r a t o r r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yw h i c h u n d e r l i e st h eh u s i m id i s t r i b u t i o ni se s t a b l i s h e da n d t h e t h e o r yo fh u s i m id i s t r i b u t i o ni np h a s es p a c eg e t sd e v e l o p e d t h ep ，g ) 。s t a t ea l s op r o v i d e sag o o dr e p r e s e n t a t i v es p a c ef o r f u r t h e rs t u d y i n gv a r i o u sp r o p e r t i e so ft h eh u s i m io p e r a t o r t h em a i nc o n t e n to ft h isp a p e risa r r a n g e da sf o ll o w s ： i nc h a p t e ri ，w es h a l1s h o r tl yi n t r o d u c ec o m m o nr e p r e s e n 中困科学技术人学颂i 学位论义 t a ti o n s i nc h a p t e ri i ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eq u a n t u mp h a s e s p a c e a n di t st w ok i n d sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s - - w i g n e r d i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n dh u s i m id i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i nc h a p t e ri i i ，w es h a llb r i e f l yi n t r o d u c et h et e c h n i q u eo f i n t e g r a t i o nw i t h i na no r d e r e dp r o d u c t ( i w o p ) o fo p e r a t o r sa n d i t sa p p li c a t i o n s i nc h a p t e r1 v ，b yu s i n gt h et e c h n i q u eo fi n t e g r a ti o nw it h i n a no r d e r e dp r o d u c t ( i w o p ) o fo p e r a t o r sw ew i11s t u d yt h ev a r i o u s p r o p e r t ie sa n dit sa p p li c a t i o n so ft h isn e w 盯一p a r a m e t e r s q u e e z e dc o h e r e n ts t a t eip ，q kr e p r e s e n t a t i o n k e y w o r d s ：w i g n e rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，h u s i m i d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，h u s i m io p e r a t o r ，w e y lo r d e r i n g ， n o r m a lo r d e r in g ，t h et e c h niq u eo fi w o p 中国科学技术大学硕= 卜学位论文 致谢 本文是在导师范洪义教授的悉心指导下完成的，从论文的选题， 到论文的完成，范老师都给予了无私的帮助和具体的指导。在此，谨 向范老师表示最诚挚的敬意和衷心的感谢! 感谢范老师在这么短的时 间内花费大量的心血和精力来指导我，使我能够顺利地完成毕业论 文。在此期间，范老师对科学的热忱，严谨的治学态度，丰富的创造 性和敏锐的洞察力以及他正直的为人对我今后无论是在做人，做事， 还是做学问上都产生了深刻的影响，使我受益终生! 另外实验室的唐绪兵，吴吴，王彤彤，杨艳丽，曹贺林和汪敏等同 学都给予了大力的帮助和指导，在此也向他们表示一并致谢。 刘述光 2 0 0 6 年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章常用表象 1 1 坐标、动量表象和粒子数表象 1 】 令q 、j d 分别为厄密的坐标和动量算符，且满足海森堡正则对 易关系( 壳为普朗克常数) 2 【q ，p 】- 肮 假设q 和尸的本征态分别是ig ) 和ip ) ，则有 且 q l g ) = qq ) ，( g i g ) = 8 ( q - q ) ； p l p ) = p i p ) ，( p i p ) = 8 ( p - p ) ； ( 卅i 孚蓦( 9 f 我们所熟知的完备性关系是 f ：d q iq ) ( q = 1 ， 1 1 1 2 1 3 ( p l q = i 危石d ( p l 1 4 f d pp ) ( p l = = 1 用q 和p 定义湮灭算符口和产生算符a ，口是口的厄米共轭， 。= 去i 席丽p卵忑| 、t 缈2 丽l 扛去 麇一i 丽p 则易有 叩+ = 1 定义粒子数算符n = a t 日，它的本征态记为l 门) ，则有 ( nn 甩) = i 口i 舱) 1 2 o 门) 中的最低一个态i o ) 为基态，则必然有口i o ) = 0 。容易证明 1 5 1 6 门) 张成的空间是完备的 3 1 而且 日i 以) = 石卜1 ) ，a t1 , 7 ) = 而h1 ) 基态i o ) 的波函数( g i o ) 可由下式给出 吲小如i 击 麇+ 去p = 去( 庠“匹珈d q ) 。) 其中c 是归一化常数，可以由下式定出 _ ( 0 1 0 ) = m9 ) ( 荆i 斗1 2 弘p 一小c 1 2 层 所以 矧o ) - 唧愕1 7 1 0 99 2 ( 笔) i 3 以下为方便起见，取自然单位( 壳= = m = 1 ) ，则由( 1 7 ) ，( 1 5 ) 和式( 1 1 3 ) 得 钏妒击弘叫( g f 由 中国科学技术大学硕 学位论文 3 = 志由( g - 甜m - g f ) ( g t 1 1 5 2 亏 2 ”门! 万旧p 利用厄米多项式得表达式 片。( 9 ) = e 譬( g 一暑) ”e 一譬 或 啪一矿e - q 2 = 【善 则( 1 1 4 ) 式变为 ( g i 门) = 一g p 2 h 。( q ) 1 14 1 15 2 9 ) ”“ 1 1 6 由( 1 8 ) 和( 1 17 ) ，可以写出坐标本征态iq ) 的f o c k 表象 9 ) 5 萎i n ) ( 甩i g ) = n = o l ，2 ) 赢j 7 e 2 日一( g ) = 0、f ，m 1 1 = 万1 4e x p 一譬+ 互g 口+ 一譬) i 。， 其中用了厄米多项式的母函数公式 主掣t = e x p ( 2 ) 厶一n = o ，21 、。7 类似可以导出动量本征态的f o c k 表象为 小批n = o i = 7 r - i 4 e - 7 幺。i a t 0扣p )n 2 v 玎唧卜争厢+ 讣 注意当恢复m ，0 9 ，h 后，i g ) 和l p ) 的表达式应分别是 1 17 1 18 1 1 9 1 2 0 赤 中国科学技术人学坝。l 学位论义 4 萨( 爿4 唧一n p ) = a + 一 譬 | 0 ) 1 ) - = 4e x p 一毛+ 压纠+ 和m 2 1 2 相干态的定义与若干性质 归一化的相干态 4 ，5 表达式是 z ) = 。( z ) i 。) = e x p 一吉i z l 2 + z a t d ( z ) = e x p z 。+ + z 日 ， 其中z 是复数，a d ( z 1 有下列性质： 0 ) 。( z ) 。( z ) = 。( z + z ) e x p 圭( z z ”一z z ) ， d ( - z ) = d 一( z ) = d + ( z ) ， d 。i ( z ) a d ( z ) = 日+ z z ) 是湮灭算符口的本征态 z ) 是无穷多个粒子态的叠加 z ) = ( z ) a + d ( z ) = a + + z 以iz ) = z iz ) 甩) 与坐标本征态不同，相干态是非正交的，易证 ( z i z ) 相干态的另一个重要性质 辟i z ) ( z i r1 硝x p 卜【l 是超完备性 = 妻了r 办了d 臼 ，其证明如下： p r 2 y j ，一 n n ，n + n p j ( n 一 ) 口 4 n ! 门! 胛) ( ，2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1 3 0 生瓶。(1 p 1，j z z+ 、l-j 2 z 中固科学技术人学坝l j 学位论文 = 揪甩i = 1 1 31 ( 在第三章中将看到，用i w o p 技术可以简化此证明) 。 参考文献 1 范洪义，量子力学表象与变换论，上海科技出版社，1 9 9 7 2 d i r a cp a m t h ep r i n c i p l e so fq u a n t u mm e c h a n i c s ，o x f o r d ： c l a r e n d o np r e s s ，1 9 3 0 3 f o c kvz e i t sf t l rp h y s ，1 9 2 8 ，4 9 ：3 3 9 4 j r k l a u d e ra n db s s k a r g e r s t a m ，c o h e r e n ts t a t e s ，w o r l ds c i e n t i f i c 19 8 5 5 r j g l a u b e r1 9 6 3p h y s r e v 1 3 02 5 2 9 ；r j g l a u b e r1 9 6 3p h y s r e v 13 12 7 6 6 中固科学技术人学嵌i w - 位论文 第二章量子相空间分布函数【1 】 量子力学相空间是一个经典力学的概念，在相空间中我们可以同 时使用坐标和动量来描述一个物理体系的状态。这一概念可以通过某 种将测不准关系内置其中的方式而移植到量子力学中，相空间的优点 在于，在量子体系中，我们可以通过适当的分布函数重新得到直观的 经典力学图像。即相空间为我们尽可能地用经典语言来描述量子现象 提供了一个框架。它仅需要处理常数方程，而不牵涉到算符，这是最 重要的优点。因此其在统计物理 2 ，量子光学 3 ，4 ，碰撞理论 5 ，6 ， 非线性物理 7 ，8 等领域得到越来越广泛的应用。 量子相空间分布函数是量子相空间理论中最重要的组成部分，它 即是相空间理论的基础，也是实际应用中的最主要的工具之一。尤其 是w i g n e r 分布函数，是量子相空间理论的奠基性工作，也是至今应用 得最广泛的工作。为此，本章将主要介绍量子相空间的分布函数。 2 1 量子相空间分布函数 为了处理的方便，我们仅就二维相空间，即有二个对称的自变量 ( q ，p ) 的情况进行讨论。但是所以结果均可直接推广到多维相空间 情形。另外，若无特别申明，本文的推导中所用的符号，各变量均以 下标字母c 代表经典情形。而用下标字母q 代表量子情形。 2 1 1 量子相空间分布函数 在经典统计力学中，粒子的运动常用相空间的分布函数f 。( q ，p ) 来描述。相应于粒子运动的任一力学量函数a 。( q ，p ) 的平均值可以通 中固科学投术人学硕卜学位论文 过下式进行计算 ( 爿) 。? = 胁，勿如( 卯) 六j ( 卯) 然而，在量子力学中微观粒子的运动状态是用波函数或密度算符 来刻画的。有关力学量算符的平均值，例如相应于上述经典力学量函 数a c ( q ，p ) 的力学量算符j d ( 蚕，j i 弓) 的平均值，可用下列公式求之 或 ( 1 ) 。= ( 甲l 五a ( 西，p ) l 甲) = d r y 五q ( 西，j j 弓) 甲 ( 五) 。= 0 盼q ( 香，p ) p ( 西，p ) 式中甲代表所讨论体系的波函数，而p ( 蜃，p ) 代表密度算符；t r 表示求 算符的迹的符号，它有三重意义。如果所讨论的体系是束缚态，则t r 表示求在分立基函数表示下算符的对角元素之和；如果体系的状态是 纯自由态，贝l j t r 代表求在连续基函数表示下算符的对角元素的积分； 如果所讨论的体系既有束缚部分，又有自由态部分，贝l j t r 代表的意义 是以上两种情况的混合，既要求在分立基函数表示下算符的对角元素 部分之和，又要求在连续基函数表示下算符的对角元素部分的积分。 由于量子力学测不准关系的限制，在实际计算( 2 2 ) 式时，通常是 或者使用坐标表象，或者使用动量表象，一般不能两者兼而有之。 建立量子相空间分布函数理论的目的就在于试图构造一个类似 于经典分布函数f 。( q ，p ) 的量子分布函数f 。( q ，p ) ，使得量子平均值的 计算由( 2 2 ) 式变成 ( j ) 。= 驴陋q ，p ) p ，p ) 中国科学技术大学硕士学位论文 = 似伽彳a 0 ，p ) 矗( 卯) 而又不违反关于坐标和动量之间的测不准关系。( 2 3 ) 式中力学量函 数a o ( q ，p ) 是通过用坐标变量q y f d 动量变量p 直接取代原来量子力学算 符乞0 ，p ) 中的相应坐标算符香和动量算符p 而得到的。初看起来似乎 是不可能的! 实际上，( 2 3 ) 式的正确与否依赖于对量子分布函数f o ( q ，p ) 的定义。不难断言，f q ( q ，p ) 和f 。( q ，p ) 肯定不同，因为测不准关系已 经蕴含在厶( q ，p ) 的定义之中。 假定我们能够找到这样的量子分布函数f 0 ( q ，p ) ，那么在量子相 空间分布函数理论中，所以的计算将只涉及到经典连续量，而不再使 用算符及其运算，这是量子相空间分布函数理论的最突出的特点。现 在我们先讨论一下量子相空间分布函数理论的一个重要缺陷，实际 上，这也是目前已建立的所以量子相空间理论的共同缺陷，只是这种 缺陷的表现形式和导致的后果有所不同而已。n w i g n e r 9 在1 9 3 2 年 建立第一个量子相空间分布函数时，就已经发现它并不是唯一的。既 然量子相空间分布函数的定义不是唯一的，那么它也就不会象经典分 布函数那样代表的是一种几率分布。另外，就w i g n e r 分布函数本身而 言，还有一个不符合几率分布的性质，即非正定性。这就使人们在对 其解释上，只能将其看作是一种准概率分布函( q u a s i d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ) 。进一步分析可以发现，这种准几率行为是由量子力学所 测不准关系，即某些力学量算符之间所非对易性造成的。例如，按照 ( 2 3 ) 式，算符 a o ( 辱，p ) = e x p ( i a o + f 励) 中国科学披术人学坝：卜学位论文 的平均值可表示为 t r e x p ( i a z t + 场) p ( 辱，p ) 】 = 协，中e x p o 叼+ i 励比g ，p ) 式中口和为任意实数。另一方面，算符 a og ，p ) = e x p g 西) e x p ( 沥) 的平均值可表示为 护 e x p ( f 西) e x p ( f 廖) p ，p ) 】 由于 = 胁d pe x p ( i o q ) e x p ( i f l p ) f c ) ( 伽) = 胁弦e x p ( i c z q + i f l p ) f q ( q ，p ) e x p g 两+ 伽) = e x p ( i a x ；) e x p ( i 5 3 ) e x p 俘) e x p ( i a z ) e x p ( i 移) 因此，( 2 4 ) 式和( 2 5 ) 式左边的值是不同的。这就使我们得出两 式右边的分布函数一定是不同的，尽管积分中的指数函数相同。这就 显示了量子分布函数的不唯一性。但是似乎不应该认为这是量子相空 旬分布函数理论本身的缺陷，而是由量子力学固有的特征所造成的， 因为由经典力学到量子力学所做的算符对应本身就不具有唯一性。可 以看出，在量子相空间理论中，不同的算符与相应经典力学量函数之 、司的对应规则，将导致定义不同的量子相空间分布函数( 见下表) 。 因此，只有当先确定了算符对应规则，相应的量子相空间分布函数的 定义才能随之唯一地确定。 中国科学技术大学硕二卜学位论文 分布函数对应规则g 函数参考文 献 w i g n e r 分布函数 1 9 】， w e y l ( e q q + 印he i 4 。l + 嘲) 1 0 】 标准序分布函数一，疔翻 11 s t a n d a r d ( e q o + 咖_ p i 暂e j 驴) e 2 反标准序分布函数 a n t i s t a n d a r d ( p 前+ 咖e i 黟p 啊 勃 1 2 】， ( k i r k w o o d 分布函数) 8 1 3 正则序分布函数 n o r m a i ( 8 t 两+ i 咖p 菇+ p z 占) 生+ h , u c a r z盟 3 ， ( g l a u b e r s u d a r s h a n e4 p 。 4 = e2 4 p 函数) 反正则序分布函数 a n t i n o r m a l ( 8 嚼+ 恸he - z b ez 3 + ) 一生一! 竺生一汀 4 ( q 函数) e 4 。 4 = e 2 广。义反正则序分布 g e n e r a l i z e da n t i n o r m a l 一生一皇兰! 一 1 4 函数( h u s i m i 分布 0e | 鼢| 而he j ie u 妒 p 4 一。 4 = e 2 函数) 2 1 2 量子相空间分布函数的一般定义 c o h e n 1 5 曾经根据已有的量子相空间分布函数的结果，经推 广得到了如下一般量子相空间分布函数的定义， 彤( g ，p ) = 嘉弘p m 州砌 办如伽p ( _ 峥荆 捌d 口m + 钏g l 譬) g ，f 1 ) e x p i a ( q 一g ) 一i f l p 】 2 6 式中g 仁，) 为一待定函数。选择不同的9 0 ，) 对应于定义不同的 对应规则，当然也就对应于不同的量子相空间分布函数尼( 9 ，川。 算符 因 此，我们在劈( g ，p ) 中用上标g 来强调量子相空间分布函数对定义g 函 数的依赖性。对于纯态 中国科学技术人学坝l j 学位论文 量子相空间分布函数的定义式( 2 6 ) 简化为 f e ；( q ，p ) 杀m ( 卜譬 甲( g7 + 譬 g 丘，f 1 ) e x p i c z ( q7 9 ) 一i p p 其中甲是描述该体系微观运动状态的波函数。 2 2w i g n e r 分布函数 由上节的讨论可知，量子相空间分布函数的定义不是唯一的，因 此，原则上其类型有无穷多种。实际上，c o h e n 的一般定义并不代表 绝对意义上的一般，它仅仅是目前已经提出的几种量子相空间分布函 数的概括和总结。当然其它形式和结构的定义也是可能存在的，但都 必须满足一个人为的具有实用意义的附加原则，即简单且富有深刻的 物理内涵。在这一节中，我们将介绍w i g n e r 分布函数理论及其性质。 2 2 1w i g n e r 分布函数 w i g n e r 分布函数是著名物理学家w i g n e r 1 在研究对统计热力学 体系进行量子修正时提出来的。现在仍然是最常用的量子相空间分布 函数之一。它确实具有简单并且物理内涵丰富的特点，在量子力学和 量子统计中具有广泛的应用。其定义可以c o h e n 公式( 2 6 ) 取g ，) = 1 给出，记为( g ，p ) 。于是，有 彤( g ，p ) 中国科学技术大学硕士学位论文 1 2 = 嘉口+ c o 够+ c o 由( g + 譬h 9 一譬) e x p i a ( q 一g ) 一i p p 】 = 去! 妒( g + 譬h 9 一譬) e x p ( _ 伽) 一一+ 缈a o 刮舶_ g ，) e x p ( 孚) 2 a h + _ m 唰g 一秘p ( 半 2 8 其中为乃密度算符。可以看出，w i g n e r 分布函数等价于在c o h e n 定义 ( 2 6 ) 式中使用w e y l 1 6 算符对应规则 e x p ( i c r 萄+ j 廖) 舒e x p ( i c e q + i 励) 。 换句话说，w i g n e r 分布函数是 主l w e y l 对应规则决定的一种特殊分布函 数。对于纯态体系 w i g n e r 分布函数为 g ，p ) p = i 甲) ( 甲 = 去一+ 妒0 0 ( g 一州g + 分p ( 半) 2 2 2w i g n e r 分布函数的性质 2 9 可以证明，w i g n e r 分布函数具有以下几条重要的性质： 1 边缘条件 ； 每w i g n e r 分布函数( g ，p ) 对动量p 的整个变化空间进行积分， 便得到在坐标空间中的概率分布 ，d p f 罗( q ，p ) 中国科学技术大学硕：l = _ 学位论文 1 3 = ! ! 砌( g + 孚l p f g 一手) 万c g 7 ) = ( q i p i q ) = p ( q ) 2 1 0 或者对坐标q 的整个变化空间进行积分，得到其动量空间中的概率分 布为 d p f 罗( q ，p ) = m 由去( g 刊g 一和p ( 半) = 弦( p 吲p7 ) 万0 7 一p ) = ( p i p p ) = p ( p ) 在上式中我们用到了下面的结果 如7 ip ，) ( p7 i = ， 其中j 代表单位算符，以及 即 汀胁( 2 耐h 华) 2 1 1 另外，还可以验证，w i g n e r 分布函数是实的，并且是归一化的， f 子( q j p ) 七f f w ( q ，p ) 】 t r ( 白户 d qc d p 皑( q ，p ) ；】 2 用坐标空间和动量空间波函数表示i 拘w i g n e r 量子相空间分布函数的关 由于坐标空间中的波函数甲( g ) 和动量空间中的波函数甲( p ) 之间 存在着f o u r i e r 变换 ) = 丽1 一+ p o o 唧( 警) 吣) 2 2 因此，对于纯态体系很容易得到用动量波函数表示的w i g n e r 分布函 数 ( g ，p ) = 2 d q v 堆( q 一孚) v ( q + 孚) e x p ( 兰乒) = 击e 叫p 一粕p + 譬m p ( 芈) 2 1 3 对于一般的密度算符p ，则有 f ”q 1 7 ( q ，p ) = 击e d q ( q + 酬q 一动唧c 半， = 赤 d p 。 e x p c 兰产，2 。4 3 态间跃迁概率 ) n w i g n e r 分布函数表示的体系在两态一和甲：之间的跃迁概率为 f 2 ：2 两南e d q d pf 进 q p m ，p j 2 15 式中硝( g ，p ) 和硝( g ，p ) 分别对应于状态甲和甲：的w i g n e r 分布函数。 显然，如果一和甲，两态正交，则有 中国科学技术火学硕：卜学位论文 15 二_ - = 二二二一 ： 0 qe d pf 狮p ) f w ( q ，p ) = 0 。 ：i s _ $ 晓n w i g n e r 分布函数在相空间中并不是处处为正。后来， w i g n e r 1 0 曾经严格证明，如何满足边缘条件的实量子分布函数在相 空间中均可能取负值。 4 力学量算符 根据w 色y l 算符对应规则及w i g n e r 分布函数的定义， i - 3 煺 算符乞( 审，p ) 所对应的相空间函数可表示为 a 苫( q ，p ) = 胁( q + 啦啦蚴州帮 2 舶 于是，该力学量算符的平均值计算公式在w i g n e r 分布函数所定义的 量子相空间中的形式为 t r ( | i 五q ) = e d qb a 轴啪，引 2 。7 广义地说，两个力学量算符气( 香，b ) , na q ( 毒，p ) 乘积的迹在w i g n e r 相空 间中的表达式为 t r ( a qb q ) 1“什茸 = 盎j _ 二d ql 。d p ( q ，p ) b o ( q ，p ) 2 1 8 其中民( q ，p ) 龊w i g n e r w e y l 意义下算符邑g ，多) 的力学量函数，即由 定义( 2 1 6 ) 式得到的力学量函数。 2 2 3 含有时间变n ：l 均w i g n e r 分布函数 以上讨论的w i g n e r 分布函数是定态的，即不含有时间变量的情 中固科学技术人学坝i ：学位论文1 6 况。本小节将研究含有时间变量( 非定态) i 拘w i g n e r 分布函数。 含有时间变量的w i g n e r 分布函数的定义可由含有时间变量的密 度算符得到 ( 9 ，p ，f ) = 去l 彬( g + 譬恤) | 9 一譬) e x 一仰) = 去m 川妒m 叫) e x p ( 牟 = 去引g + 剩g 一秘p ( 孚) = 去引p + 私k ) 唧( 半) 对于纯态体系 w i g n e r 分布函数为 p = i 甲o ) ) ( 甲o ) ( g ，p ，f ) 一一+ o o ( g 一纠甲( g + 料x p ( 半) 2 1 9 = 去弘+ ( p 一钏( p + 引唧( 半 2 加 其中v ( q ，r ) 满足含有时间变量的坐标表象薛定谔方程 腩知= 一笔等砒恤。 而0 ，f ) 满足含有时间变量的动量表象薛定谔方程 流如力= 摩y 心肛 2 2 l 2 2 2 中田科学技术人学坝l j 学位论义 1 7 这里表示粒子的质量，v ( q ) 则是体系的相互作用势能，矿卜易 是 体系在动量表象中的相互作用势能算符。 将含有时间变量的w i g n e r 分布函数的定义( 2 2 0 ) 式，对时间t 求偏导，并利用薛定谔方程( 2 2 1 ) 得到 晏( g ，p ，f ) = 赤弘一争+ ( g 一引导甲( g + 引一甲( g + 引等甲+ ( g 一铆 川( q + 手) 一矿( g 一妒( g 一纠甲( 9 + 铆唧( 半) 22 3 如果v ( q ) 可展成t a y l o r 级数，则 y ( g + 手) 一矿( g 一分薹南( 矿1 器， 另外，有 一秘( g 一钏等甲( g 刊一甲( g 刊争( 旷铆 ) e x 义半j 刊印z 瓦。一w ( ) 将上述两式代入( 2 2 3 ) 式，经整理后可以得到含有时间变量l 拘w i g n e r 分布函数的动力学方程 ；( g ，p ，f ) o t 面pa gs o 一( 伽+ 薹揣功矿0 2 n + 1 ) 雾舶) 2 刨 可以看出，w i g n e r 分布函数的动力学方程在形式上与经典 i ，i o u v i l l e 方程存存一定的类似件。 中闺科学技术人学颂| 1 学位论义 2 2 4w i g n e r 分布函数的应用 由( 1 8 ) 式可以看到w i g n e r l n 数通过量子态的密度算符来定义， 由于密度算符对应的密度矩阵包含了量子态的概率分布及相位等信 息，n w i g n e r l n 数通过量子态的密度算符来定义，因此，w i g n e r i n 数 和密度矩阵一样包含了量子态的所以信息，计算和测量量子态的 w i g n e r l n 数即可获得量子态在演化过程中的信息和性质。 n i 比w i g n e t 函数的计算和测量对研究量子态的演化过程有着重要意义。 为了直观起见，我们计算出几种常见的量子态的w i g n e r 函数 a ) 真空场 矽。( q ，p ) = 一1 ex p ( 一q2 一p2 ) b 、) 相干场 真空态w i g n e r l n 数 | l f ，i ) ( 叮，p ) = e p 【一( q 一早n ) 2 一( p p o ) 21 中困科学投术人学坝l j 学位论义 q o = 1 ，p o = o5 一已2 f ( p po ) 2j q o = p o = o ，孝= - 0 2 5q o = p o = o ，孝= 0 4 2 3h u s i m i 分布函数 我们知道，w i g n e r 分布函数并不代表一个真正的相空间分布函数， 因为其在相空间中并不处处为正。但是，由其定义来看，它确实与体 系的密度算符有关，故称其为准概率分布函数。为了克服其在相空间 中并不处处为正的缺点，使其变成在相空间中处处为正的概率分布函 数，则必须牺牲一些其他性质，如边缘条件等。h u s i m i 1 4 采取将 w i g n e r 分布函数加权平均的方法得到了第一个在相空间处处为正的 g g 一 = p 态 n r 酡 g 鲕 ( 压 矿。 中国科学技术大学硕士学位论文 概率分布函数。 2 3 1h u s i m i 分布函数的定义 h u s i m i 分布函数的定义为 ，喜0 c i p 、) = 去e 由m a p j 乏, ( q ，p 。) p _ 警一警 。 2 2 5 式中1 为粒子质量，k 为任意正定参数。可以看出，定义中所使用的 g a u s s 函数代表的是满足下式最小测不准关系的g a u s s 波包 面面= 睾 苴由 、 面；压巧= 浮 由于任意参数盯的存在，故上述h u s i m i 分布函数的定义给出的是一类 相空间正定概率分布函数，如果令参数盯等于体系的谐振子频率，则 h u s i m i 分布函数约化成在量子光学中广泛使用的q 分布函数。实际 上，k = 0 9 的波包也叫相干态( c o h e r e n ts t a t e ) 波包 17 。如果选取参 数盯，使得 面；赤 中国科学技术火学硕：卜学位论文 面= 半 小于相应的相干态g a u s s 波包的值，但仍保持 面面= 粤 则构成另一类波包，即压缩态( s q u e e z e ds t a t e ) g a u s s 波包。 在使用h u s i m i 分布函数计算力学量函数的相空f q 平均值时，首先 需要确定与h u s i m i 分布函数相伴随的算符对应规则。由c o h e n 定义 ( 2 6 ) 式，取 舭，f i ) = e x p 一器一学 2 舶 则下述h u s i m i 分布函数的定义与( 2 2 5 ) 式等价，即 ( g ，p ) = 击肛0 缈治( 香，p j c x p ( 嘲+ 沥) g 似刃 e x p ( - i a 舀一汗) = 赤e d 口e 枷驺( 盼) e x p ( 5 ) e x p ( 山) ) e x p ( - i 面一诤) 2 2 7 式中 拈赤“脚埘) 2 2 8 占+ = 丽i ( 一脚一纠 2 2 9 心口压一厚2 珈 中国科学技术大学坝： ：学位论文 显然，- 与h u s i m i 分布函数相伴随的算符对应规贝| j ，要比与w i g n e r 分布 函数相伴随的算符对应规则复杂得多。这里，首先需要将任意力学量 乞( 西，p ) 中的坐标算符辱和动量算符p 转化成( 2 2 8 ) 式中所定义的算 符6 和i + ，记为幻够，6 + ) ，并规定在匀g ( 6 ，6 + ) 中算符占总是在i + 之前， 这叫做算符的反正规化( a n t i n o r m a lo r d i n g ) 。反之，叫做正规化 ( n o r m a lo r d i n g ) 。因此，与h u s i m i 分布函数相伴随的算符对应规则， 定义为在力学量算符露( 6 ，6 + ) 中用经典函数 与= j 夏去香i ( l c q + i p 2 31 乒赤旷 2 3 2 分别取代占和；+ ，得到经典力学量函数掣 ，孝) 。力学量算符五q ( 西，p ) 在 相空间中用h u s i m i 分布函数表示所平均值公式为 t t ( 6 矗o ) = e d q2 d p a c ( ，亏) 玷( q ，p ) = r d q f d p a 芝万杀( q + i “疆菰1 ( p k q i p ) 】货h p ) 2 3 3 实际上，可以直接用f 和孝作变量，并定义复孝空间中的积分元 为 d ：亏：d 芎) d 【i m 亏) = 1 d q d 矿p 其中r e 和i m 分别代表对个复数取其实部和虚部，则复孝空间中的 h u s i m i 分布函数彤g ，孝) 与硝( g ，p ) 之间的关系可通过归一化条件 中国科学技术大学硕l ? 学位论文 j - j d 二号省( ，三+ ) = d q d p 省( q ，p ) = l 求出 路( 专，号木) = 2 螂( q ，p ) 综合( 2 3 4 ) 和( 2 2 8 ) 两式，我们立即可以得到 继毽， = 1 舻2 伽( 5 ，6 + ) e x p ( - u + 占) e x p + ) ) e x p ( u 孝一u 孝) 默每口) = 脾2 鼠，偕，f ) 彤( 孝，毒一) 苴审 、 d ：l j = d ( r ev ) d ( 1 m 厶，) 2 3 2h u s i m i 分布函数的应用 2 3 4 2 3 5 2 3 6 在实际使用中，更多地是使用h u s i m i 分布函数彤( g ，p ) ，而不是 使用彤学，f ) ，不过彤营，孝) 分布函数在理论分析中应用较广。 由h u s i m i 分布函数的定义( 2 2 5 ) 式，我们可以对压缩态参数k 作这样的理解：当盯很小时，相应的 面；去 很大，毯, , z e a l 味着w i g n e r 分布函数沿坐标q 方向的快速变换将会被“平 坦”l 拘g a u s s l g l 数“擦掉”，而沿动量p 方向上的结构细节将显示出来。 反之亦然。因此，盯可以看成是“粗粒化”参数，它决定了在相空问 中w i g n e r 分布函数沿坐标q 和动量p 方向上的相对分辨率。总之， h u s i m i 分布函数在相空间中的结构 e g w i g n e r 分布函数简单的多，但 却含有* 口w i g n e r 分布函数等量的物理信息。正是由于这个优点，使得 h u s i m i 分布函数特别适合于研究复杂体系的量子动力学。 中国科学技术大学硕： 学位论文 参考文献 1 李前树，胡旭光，量子相空间中的反应散射理论，科学出版社， 2 0 0 0 2 m o y a l ，j e ，p r o c c a m b r i d g ep h il o s s o c 4 5 ( 1 9 4 9 ) ：9 9 3 g l a u b e rrj p h y sr e v 1 3 1 ( 1 9 6 3 ) ：2 7 6 6 4 g l a u b e rrj i nq u a n t u mo p t i c sa n de l e c t r o n i c s ，e d i t e db y c d e w it t ，a b l a n d i na n dc c o h e n t a n n o u d ji ( g o r d o na n d b r e a c h ，n e wy o r k ，19 6 5 ) 5 l e