高考立体几何计算题的归类分析.doc

本文发表在哈尔滨师范大学的数理化学习（高三版）2013年4期上高考立体几何计算题的归类分析 济南第三职业中等专业学校 吴金革 每年的立体几何高考试题中都有计算题，通过柱体、锥体、台体、球体或不规则的多面体，来考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算推理能力. 立体几何的计算问题，一般包括几何体的表面积和体积、两条异面直线所成的角、一条直线和一个平面所成的角、两个平面的所成的角（二面角）. 本文对立体几何计算题的类型进行以下归纳，希望对同学们有所帮助.1.几何体的表面积图1例1 （2012年辽宁高考）一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的表面积为_. 解：由几何体的三视图知，该几何体为一个长方体挖去一个圆柱，而长方体的长宽高依次为，圆柱的底面半径和高都为，所以该几何体的表面积为长方体的表面积减去圆柱的两个底面圆的面积，再加上一个圆柱的侧面积，即 ,故填.点评：三视图在高考中一般是以选择题、填空题的形式出现，考查几何体的表面积、体积的计算问题，此类问题解题的关键是根据三视图确定几何体为柱、锥、台、球或其组合体的形状，然后根据面积和体积公式解决.2.几何体的体积例2 （2012年湖北高考）如图2,过动点作,垂足在线段上且异于点,连接,沿将折起,使 (如图3所示). 图2图3（1）当的长为多少时,三棱锥的体积最大；（2）当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.解: （1）法1:在如图2所示的中，设 ，则. 由，知，为等腰直角三角形，所以. 折起后(如图3)，且是面内两条相交直线，所以平面. 又,所以. ，当且仅当，即时,等号成立，故当时,三棱锥的体积最大. 法2: 同法1,得. 设，则. 由，得.当时，是增函数；当时，是减函数. 所以当时，取得最大值. 故当时,三棱锥的体积最大. (2)略.点评：求锥体体积的问题，传统方法是通过转换顶点和底面，确定锥体底面面积和高，求出体积，也可利用割补法求解，若用向量法，先计算底面的法向量，再由顶点与底面上一点对应向量和底面的法向量计算出顶点到底面的距离，然后求锥体体积. 而本题是把锥体的体积表示为一个函数，通过均值定理或导函数的性质分析解决问题，考查学生对立体几何、函数、不等式的综合应用能力.图43.两条异面直线所成的角例3（2011年上海高考）如图4，已知是底面边长为的正四棱柱，高，（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求四面体的体积.图5解：（1）法1：如图5，连结， 异面直线与所成角为，在中，由余弦定理，得.图6异面直线与所成角为.法2：如图6，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，.异面直线与所成角为.（2） 略.点评：两条异面直线所成的角，首先要明确范围为，其次通过平移转化到一个三角形中，再解此三角形即可；若用向量法，通过建坐标系，确定相应向量的坐标，求两向量夹角的余弦，从而得出异面直线所成的角.图74.一条直线与一个平面所成的角例4（2011年湖南高考）如图7，在圆锥中，已知，的直径，点在弧上，且，为的中点（1）证明：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值解:（1）略.（2）法1 ：如图8，由（1）知，平面，又平面， 平面平面.作于，则平面.连结，则是在平面上的射影，图8是直线和平面所成的角在中， 由，得.在中，.法2：如图9，连结，则. 在中，. 图9以分别为轴，建立如图18所示的空间直角坐标系，则， ，. ，. 设平面的法向量为，则 取，.设直线和平面所成角为，. 点评：首先线面角的范围是，其次传统方法是在直线上找到一点，向平面作垂线，得出此直线与它的射影所成角即为所求线面角，然后解三角形即可；若用向量法，先求平面的法向量，再用直线上线段对应的向量与法向量夹角的余弦的绝对值，确定线面角的正弦值，从而得出线面角.3.二面角例5（2012年山东高考）在如图10所示的几何体中，四边形为等腰梯形，平面， 图10（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值解:（1）略.图11（2）法1：如图11，连结，则，建立空间直角坐标系，不妨设，则，.，.设平面的一个法向量为，则 取，得.又是平面的一个法向量， 则，二面角的余弦值为. 图12法2：如图12，建立空间直角坐标系，不妨设，则，. ，.设平面的一个法向量为，则 取，得. 下同法1.图13 法3：如图13，建立空间直角坐标系，不妨设，则，.设平面的一个法向量为，则 取，得.下同法1.图14法4：如图14，建立空间直角坐标系，不妨设，则，.设平面的一个法向量为，则 取，得.下同法1.法5：如图15，易知为菱形，建立空间直角坐标系，不妨设，则， ，.设平面的一个法向量为，则 取，得.下同法1.图16法6：如图16，易知为菱形，建立空间直角坐标系，不妨设，则， ，.设平面的一个法向量为，则 取，得.下同法1. 图17法7：如图17，取的中点，连结，.又平面，平面，., 平面，平面. . 因此是二面角的一个平面角. 在等腰中，. 又，在中，. 二面角的余弦值为.图18法8：如图18，连结，不妨设，二面角的大小为. 平面，在平面上的射影为. 在中， . 在中， . .（或在中，.由三角形面积的海伦公式，得.）. 二面角的余弦值为. 点评：二面角的范围是，传统方法（法7）是利用三垂线定理作出二面角的一个平面角，通过解三角形解决，它包含一作辅助线、二证明两直线与二面角的棱垂直、三指出二面角的平面角、四计算角的大小等步骤（简称一作、二证、三指、四算）；若