（运筹学与控制论专业论文）关于bs模型和lévy型股票价格模型的推广研究.pdf

摘要 在期权定价中，著名的b s 期权定价公式是基于完全市场，波动率和无 风险利率都是常数的情况下给出的。但是在现实世界中，无风险利率通常是 随机的，本文在第三章研究了在随机利率下标准b s 模型的推广问题，并给出 了相应的期权定价公式。 在b s 模型中，股票价格过程是南布朗运动驱动的。我们知道，股票价 格的变化受许多因素的影响，尤其是重大的事件。因此，更合理的假设是： 股票价格是带跳的。在本文第四章，我们先回顾了经典跳扩散模型，并由此 研究了随机波动率下的股票价格模型，证明了存在概率测度，在此测度下， 股票价格的折现过程是鞅。 关键词b s 模型，期权定价，布朗运动，l 6 v y 过程 a b s t r a c t i no p t i o np r i c i n g , t h ec e l e b r a t e db - sf o r m u l aw a sg i v e ni nc o m p l e t em a r k e tw h e n b o t ht h er i s k l e s sr a t ea n dt h ev o l a t i l i t ya r cc o n s t a n t s b u ti nt h er c a lw o r l d ，t h er i s k l e s s r a t ei su s u a l l ys t o c h a s t i c s ot h i sp a d g l g e n e r a l i z e dt h eb sm o d e lw h e nt h er i s k l e s s r a t ew a ss t o c h a s t i ci nc h a p t e r3 ，a n dg a v et h er e l a t e do p t i o np r i c i n gf o r m u l a 1 nb sm o d e l t h es t o c kp r i c ep r o c e s si sd r i v e nb yb r o w nm o t i o n w ek n o w , t h e c h a n g eo fs t o c kp r i c ei si n f l u e n c e db ym a n yf a c t o r s ，p a r t i c u l a r l yt h eg r e a te v e n t s s o t h e m o r e r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n i s o n e t h a t a l l o w s j u m p s i n c h a p t e r 4 0 f t h i s p a p e r , w e l o o k e db a c kt h ec l a s s i ci u m p - d i f f u s i o nm o d e l ，a n ds t u d i e dt h es t o c kp r i c em o d e lw i t h s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ，p r o v e dt h a tt h e r ee x i s t e dp m b a b i h t ym e a s u r eu n d e rw h i c h , t h e d i s c o u n t e ds t o c kp n c ep r o c e s sw a sam a r t i n g a l e k e y w o r d s b sm o d e l ，o p t i o np r i c i n g ，b r o w nm o t i o n ，“ p r o c e s s 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使角学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名 日期： 第1 章引言 众所周知，西方发达国家由于金融市场开展得早、发展得快，因而金 融数学的研究起步也早。最早可追溯到1 9 0 0 年法国数学家b a c h e l i e r ( 巴里 埃) 的论文“投机的理论”中首次用布朗运动来描述股票价格的变化； 而1 9 5 2 年m a r k o w t z ( 马柯维茨h m ) 的著名论文“投资组合选择”则成为 金融数学的第一个突破论文首次从数理统计的思想出发，用风险投资的 收益率的方差作为风险的度量，并提出了用于投资分析的均值一方差分析 方法；1 9 5 8 年m o d i g l i a n if ( 莫迪里亚尼) 和m i l l e rm h ( 米勒) 等的”套利理 论”为日后的金融数学的发展( 如套利定价思想和期权定价的鞅方法) 产 生了重要影响：6 0 年代中期在马柯维茨的均值方差分析基础上，由s h a r p e wf ( 夏普) 、l i n t n e r j ( 林特纳) 和m o s s i nj ( 毛新) 给出了著名的资本资产定价模 型( c a p m ) ，这被称为“华尔街的第一次革命”，马柯维茨和夏普并因此荣 获1 9 9 0 年度的经济学奖 1 9 7 3 年，b l a c k f 和s c h o l e s m 提出了第一个期权定价公式。作为数学家 的b l a c k 苯于期权的研究始于他试图利用资本资产定价模型来解决股票“认 股证”的定价问题。股票的认股证在本质上和期权类似，它们都赋予持 有者一种权利，可以在特定的时间内以合同中规定的价格购买或出售一 定数量的股票，但没有义务必须执行。b l a c k 之所以选择认股证为研究对 象，是因为当时认股证市场比期权市场更活跃、有效。他认为认股证与 其相应的股票在任何时刻和价格下，都应遵循资本资产定价模型，即回 报与其各自的风险成比例。通过求解适应此假设的微分方程，他发现： 认股证的价格与股票的期望回报，或其他任何资产的回报无关! 这与人们 的知觉似乎矛盾。后来与经济学家s c h o l c s 合作，得出重要结论：风险和回 报不出现在定价公式中。这说明不同股票收益的差异被风险的差异抵消 了，因此再对期权定价时，可以不考虑风险因素。b l a c k 弄f l s c h o l e s 认为，通 过将股票与其相应的期权组合起来，当比例搭配合适时，这一组合将完全 规避风险，也就是后来的在无套利情况下，证券组合可完全“复制”期权 的思想。在m e r t o n 的帮助下，b l a c k 和s c h o l e s 通过严密的数学推导和论证， 在无套利机会，没有交易费用等一系列理想的假设下，利用套利推理和随 机分析中的n 6k ( 伊藤) 公式等随机分析方法，推导出标的资产为不付红利 i 嚣州： 股票的欧式看涨期权在时刻t 的价格必须满足的微分方程即b s 方程。他们 开创的期权定价理论被誉为”华尔街的第二次革命，因此s c h o l e s 和m e r t o n 获 得了1 9 9 7 年度诺贝尔经济学奖虽然b l a c k , q s c h o l e s 提出的b s 公式在金融史 上有重大意义，但是此公式是在一系列假设的基础上提出的，后来的学者 对b s 公式所基于的完备市场进行修雁，主要研究成果有：t h o r p e ( 1 9 7 3 ) 检 验了卖空限制条件；m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 推广了考虑股利和随机利率的模型；c o x , r o s 1 9 7 6 ) 和m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 考虑了股票价格公式展开中不具有连续样本路径时 的期权定价问题；h a g e r s o l l 和s e h o l e s ( 1 9 7 6 ) 考虑了资本收益和股利的不同 税率效果；r o b i n s t e i n ( 1 9 7 6 ) 和b r e n n a n ( 1 9 7 9 ) 弓i 入了具有代表性的投资者效用 函数，得到了关于离散时间交易的b s 方程解；l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 考虑了有交易成 本的期权定价模型。9 0 年代以后，很多经济学家对不完善市场，基础资产价 格存在异常变动的跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权 定价问题。以及美式期权定价问题进行了广泛研究，取得了许多重要研究成 果。 自1 9 9 5 年以来，金融数学在我国经济金融界和数学界引起极大的兴趣和 广泛的关注。国内很多学者，尤其宋逢明( 清华大学) ，史树中( 北京大 学) ，彭实戈( 山东大学) 等，引进现代金融理论，建立具有中国特色的金 融数学和金融管理学科。1 9 9 6 年国家自然科学基金委员会已将“金融数学， 金融工程和金融管理“列为国家”九五“重大研究项目。其研究意义在于： 紧跟当前国际上金融理论和应用研究的迅速发展，创造具有中国特色的金融 理论，以适应当前中国金融体制转轨，与国际金融市场接轨并参与国际金融 市场竞争等实践活动的需要。 当前。围绕期权定价。对基本的b 。s 模型作进一步的推广研究，以使模 型更符合实际情况，仍然是学者们的重要兴趣所在。近期有关的些文献充 分说明了这一点，其中把波动率非常数化的推广研究则较为突出。c o l e m a n ， l i 和v e r m a 1j 研究了局部波动率的构造，c h o 。k i m 和k w o n l 2 】在此基础上得到 了局部波动率的估计；r o d r i g o a f l m a m o n l 3 l 给出了参数随时间变化，有红利支 付的标的资产期权的定价公式，并且证明在恰当变换下，此时的期权价格 可用参数为常数的无红利支付的标的资产期权的价格表示；g c l i m ，g m m a r t i n 和vl m a r t i n i 4 1 在研究货币期权时，考虑了波动率是随时间变化 的且是非正态的情形：撕。p a r r o t t ，r o u t ，和h o n n r 【s l 则研究了非线性波动 率的情形；t o u z i 、f o u q u e 、j u ny u 、p a p a n i c o l a o u 、s i r e a r ，吴恒煜和陈金贤 等人1 6 - a 对b s 模型推广到随机波动率的情形作了进一步的研究更有意思 筑1 节0 i j 的是，k o i e h i r ot a k a o k a 9 l 研究了假设通常的波动率为随机变量，并取股票价 格为关于波动率的平均情形的期权定价问题然而，就总体而言，这些围 绕b s 模型的推广性工作基本上都是基于标的资产价格过程是由b r o w n 运动驱 动的，或至少是不带跳的众所周知，股票价格的变化，受诸多因素的影响， 如，企业的经营、重组的因素，国家的、国际的政治、经济因素，战争、灾害 因素等等，尤其是突发的重大事件的影响，往往导致股票价格的异常波动 甚至跳动。也就是说，更为合理的假设是：股票价格过程是带跳的。事实 上，人们现在正以更大的热情在研究标的资产价格过程为跳一扩散驱动情形 的期权定价问题。近期的一些工作则是在r c m e r t o n 给出的著名的跳扩散 过程模型 1 0 】基础上的进行推广研究，宁丽娟，杨云峰，刘新平，魏正元等 人【1 1 _ 1 3 1 都对 1 0 】中模型进行了推广性的研究，其中杨云锋和刘新平推导出了 具有随机利率的跳扩散模型的欧式期权定价公式 本文做了两方面的工作，得到了两个主要结果其一，研究了在随机利 率下标准b s 模型的推广问题，并给出了期权定价公式一一主要结果之一； 其二，讨论了在随机波动率下期权标的股票价格模型，证明存在概率测度， 在此测度下。股票价格的折现过程是鞅一一主要结果之二，并得到了一些其 它相关的性质 文章的结构布局如下：第一章，引言；第二章，介绍了期权的基本概念 和基本性质，重要的数学理论- 与本文有关的包括i t 6 过程、i 垂w 过程等随机 积分的重要概念、定理或性质；第三章，首先分析了标准b s 模型的思想方 法，然后将之推广到随机利率的情形，得到了本文的主要结果之一；第四 章，在回顾了经典跳一扩散模型中股票价格模型的基础上，研究了随机波动 率下的股票价格模型得到了本文的主要结果之二 锐2 亭基 、概2 耵i 钵“删沧 第2 章基本概念和基本理论 2 1 期权的概念和性质 2 1 1 期权的概念 期权是指在约定的期限内按照事先确定的执行价格买入或卖出一定数量 的某种商品，货币或某种金融工具契约的权利。期权交易把权利作为可自由 买卖的商品，通过买卖期权合同来进行。 根据期权合同赋予持有者履约时买入或卖出标的资产行为的不同划分， 期权具有两种形式：看涨期权和看跌期权。看涨期权：期权合同的持有者有 权在某一确定时间以某一确定的价格购买标的资产：看跌期权：期权合同的 持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格出售标的资产。 根据期权持有者在有效期内履约的灵活性可大致分为欧式期权和美式期 权。欧式期权只能在期权到期日执行；美式期权可在期权有效期内任一天执 行。 期权定价：期权作为衍生证券，它的定价取决于标的资产价格的变化， 由于标的资产是一种风险资产，它的价格是随机的，由此产生的期权的价格 也是随机的，但是一旦原生资产价格确定下来，则期权作为它的衍生资产价 格也将随之确定。若在t 时刻原生资产价格为，期权价格为k ，则存在确定的 二元函数口( ，) ，使得v t = t ，( s t ) 在期权的到期日，期权的价值是确定的，即期 权购买者的收益： ，i ( s 一k ) + 看涨期权； 。 l ( 一曲) + 看跌期权 这里的k 是期权执行价格 2 1 2 期权的基本性质 若在一个市场上，人们可以身无分文入市，通过资产的买卖( 允许卖空和借 贷) ，使得能够最终保证不欠债，且有正概率的机会赢利，此时称该市场存在套 利机会，若市场不存在套利机会，则称市场无套利 以下假定股票和期权的交易在没有任何税收和交易成本的无套利完 4 筇2 审草小概2 和强小卵沧 全市场上进行设f ( s ，t ；t k ) ，f ( s ，t ；t ，k ) 分别表示在t 时刻到期，执行价格 为0 的美式和欧式看涨期权在t 时刻的价值；g ( s ，t ；t k ) ，g ( s ，t ；t ，k ) 分 别表示在t 时刻到期，执行价格为k 0 的美式和欧式看跌期权在t 时刻的价 值，s 为t 时刻的股票价格。它们具有以下的性质： 性质2 1 1f ( s t ；z e ) = ，( s r ；e ) = m a x ( s e ，o ) c ( s ，丁；l e ) = 9 ( s ，t ；正e ) = m a x ( e s ，0 ) 性质2 1 2 ，( s t ；t ，e ) ( s e )g ( s ；正e ) ( e s ) 性质2 1 3 对t 2 丑 f ( ；t 2 ) f ( ；孔)g ( ；t 2 ) g ( ；t 1 ) 性质2 1 4f ( ) ，( ) g ( ) 9 ( ) 性质2 1 5 对e 1 e 2 f ( ；毋) f ( ；e 2 )，( ；髓) ，( ；易) g ( ；e 1 ) s g ( ；e 2 )9 ( ；e 1 ) g ( ；e 2 ) 性质2 1 1 表明，假如期权有正的内在价值，期权将被执行，否则将不执 行期权；性质2 1 2 表明，在无套利条件下，美式期权的出售价格至少不低 于其执行时的内在价值，否则可通过立即执行期权而获得一笔比出售期权 更高的利润；性质2 1 3 和性质2 1 4 表明，额外的权利不能有负的价值；在性 质2 1 3 中考虑的是( 乃，正) 期间执行的权利，性质2 1 4 中，是在到期日之前执 行的权利；性质2 1 5 表明，买入( 卖出) 期权是执行价格的非增( 非减) 函 数。 2 2 相关的数学理论 在本小节中，我们首先给出论文中涉及或引用的数学符号、基本的数学 概念及重要的理论结果 2 2 1 i t 6 过程与随机积分 给定带域流的概率空间( q ，莎， 。线 t o ，p ) 如无特殊说明，以下讨论均 在此空间中进行有关命题，定理出处见 1 4 】 一：布朗运动及其相关性质 钔2 可望干戡含和犟4 、弘，沧 定义2 2 1 随机过程 z ( t ) ) t 邳称为布朗运动，或维纳过程，若它满足下列条 件： ( 1 ) 对给定的t o t l 8 ，z ( t ) 一z ( 8 ) 一g ( o ，盯2 0 s ) ) ，口为正常数，即 聊m ( s ) 叫= 南唧 - 蒜) 如 若盯= 1 则称此过程为标准布朗运动 记h = 日( t ) o s t r ，( 。线o ) 一适社程，e ( j ：；fh 2 ( s ) d s ) + o 。 ，设日7 - ，则 我们可以定义日关于。统一b r o m l 运动 b ( t ) ) t o 的随机积分：后h ( s ) d b ( s ) ，该 积分具有如下性质： 命题2 2 2 设h 7 ， b ( t ) t o 是玩一b r o w n 运动，则 ( 1 ) 对st ，e ( f x 日( 8 ) d b ( s ) ) 2 = e ( 矗h 2 ( s ) d s ) ( 2 ) e ( s u p t tj ： h ( s ) d b ( s ) 1 2 ) 4 e ( f h 2 ( s ) d s ) 二：鞅的定义及其相关定理 定义2 2 3 随机过程 x ( t ) ，t 0 ) 称为玩适应的，如果对每个t 0 ，x ( ) 为。织可测一个适应过程 x ( ) ，t o ) 称为关于。死的鞅，如果 每个x ( t ) 为可积随机变量，b p e ( i x ( t ) i ) o 。，且对一切0 8 t ， 有e i x ( t ) i 箩胡= x ( s ) ( a s ) 特别地，当。线= 盯 x ) ，0 u t ) ，上式变为e x ( t ) l x ( u ) ，0 u 8 1 = x ( s ) a s ，此时简称x ( t ) 为鞅。 定理2 2 4 ( g i r s a n o v 定理) 假设口( ) 满, 足_ n i v i l o v 条件： e , - 1 1 o t j 2 d s ) 】 o o 绗2 章垫小概2 和* 机弘，论 定义 聊) = 唧 - o ( 吣) ，吲枷一；z 。阳s ) ，o o ，p ) 上的布朗运动， 舅 0 9 t 是 b ( t ) o s t s t 的自然盯域流， m ( ) o t s t 是关于舅的平方可积 鞅，则存在适应过程 日( t ) ) o t s t ，使得e ( j 孑h ( s ) 2 d s ) 0 0 ，且 v t 【o ，胡，m ( t ) = m ( o ) + j ：h ( s ) d b ( s ) o s 三：i t 6 过程及i t 6 定理 定义2 2 6 随机过程y = y ( t ) ，0 tst ) 称为i t 6 过程，如果它可表示为： y ) 一玢+ o 钍( s ) d s + z 0 t o ( s ) d b ( s ) ，。t t 其中乱( ) 和盯( t ) 满足： ( 1 ) “( t ) ) 是适应的，并且口l u ( t ) l d t o 。a 焉 ( 2 ) 盯( t ) ) 是定义在【o ，卅上的可测适应过程，满足j 盯( s ) 2 d s 0 0 乱s 定义2 2 7 考虑如下方程： d y ( d 。2 藏。，y ( m 耳巩呸坯t 上述关于随机过稃y = y ( t ) ) o s s t 的方程称为i t 6 型随机微分方程：称随机过 程y 为它的一个强解，如果下式成立： y ( ) = + z “( s ，y ( s ) ) 幽+ z 。盯( s ，y ( s ) ) d b ( n 。t s t 定理2 2 8 ( 1 t 碇理) 设x ( t ) 是m d x ( t ) = a ( t ) d t + b ( t ) d b ( t ) 给出的i t 6 过 程，i ( t ，z ) 是【o ，。) r 卜的二次连续可微函数，则，( t ) = g ( t ，x ( ) ) 仍为婶过 程，并且 班( 筹+ 嘉。+ ；豢蹦袅b 四：马尔可夫过程及及其相关定理 定义2 2 。9 随机过程 z ( ) ) 2 0 称为马尔可夫过程，若它满足：对任意的t l t 2 t n t ，有 p a o ) = 0 例2 2 1 2 一维标准b r o w n 运_ 动b = ( b ( t ) ，t 0 ) 是l 6 v y 过程，它满足 ( b 1 ) b ( t ) 一n ( 0 ，t ) ，v t 0 ， ( b 2 ) b 其有连续样本路径 例2 2 1 3 强度为入 o 的p o i s s o n 过程= ( v ( t ) ，t2o ) 悬l e v y 过程取值 于n u o ) ，n ( t ) 一7 r ( a t ) ，即 p c n ( t ) = n ) = 譬芋e 一舳，v t o ，礼= o ，1 ，2 ， 例2 2 1 4 强度为a o 的补偿p o i s s o n 过程厩= ( ( ) ，t o ) ，膏( ) = r ( ) 一a t ， 也是雎v y 过程 可见b r o w n 运_ 动和p i o s s o n 过程都g l o r y 过程的特殊情形事实上，任 何l 6 v y 过程都可以通过b r o w n 运动和p i o s s o n 过程加以刻划 定理2 2 】5 ( v y i 缩分解) 若x 是雎v y 过程，则存在b r 4 ，协方差阵为a 的b r o w n 运动b ，以及r + ( r d 一 o ) 上的独立的p o i s s o n 随机测度( t ，) ，使 得对每仰0 ，有 x ( f ) = b t + b a ( t ) + z v ( t ，d x ) + x n ( t ，d z ) j i z l lj i 刮2 l 其q e g ( t ，) = n ( t ，) 一t u ( ) 为补偿p o i s s o n 随机测度，而p ( ) 为p o i s s o n 强度测度 实际上，霄是一特殊的鞅值随机测度 记雪= z r ；i x l 1 ) ，e = 雪一 o ) ，h 2 ( z e ) = f ：【0 ，t 1 e x q 一豫； 可料，j 孑f f n f ( t ，x ) 1 2 v ( d x ) d t o 一1 ，扎s 且有 印( t ) = e s y ( 。) 其中， d s y ( t ) = f ( t ) d b ( t ) + f g ( t ) 一 f 2 ( t ) 】d + j i 。i 1l o g 1 + k ( t ，x ) n ( d t ，d x ) + i 水1l o g 1 + h ( t ，x ) l n ( d t ，d x ) + j ；，k l o o g 1 + h ( t ，z ) 】一h ( t ，x ) v ( d x ) d t 定理2 2 1 9d e y ( t ) = 矗( 卜) d y ( t ) 2 审牡小概2 和甚 芦i 仓 定理2 2 2 0 设y - 是( 2 2 1 ) 式的雎v y 过程，则是局部鞅的充要条件是 g ( s ) + 参f 2 ( s ) + j i 。l 0 ，设m = ( m ( t ) ，t 0 ) 是实值的局部 平方可积鞅，且适应于( 。级，t 0 ) ，则存在q r ，f 咒2 ( r ) ，g ? - 2 ( t , r 一 1 0 1 ) ，使得对一切o t t ， m ( t ) = 。+ 露f ( s ) d b ( s ) + 露矗一 o la ( 8 , x ) n ( d s ，d x ) 其中三数组( o ，f ，g ) 在测度意义下由m 惟一决定 命题2 2 2 4 设m = ( m ( t ) ，0 t t ) ，则 m ( t ) = 露 水l 工( 。，s ) n ( d s ，出) 是局部鞅，其中 ( ) = m ( t ) 一j ；止k 1l ( $ ，s ) ( e 日( 8 声) 一1 ) ( d z ) d s 我们在讨论股票价格f h l 6 v y 过程驱动情形的模型时，需要研究下面随机 微分方程( s d e ) 的解的问题： d z ( t ) = b ( t ，z ( t 一) ) d b ( t ) + j ；蚓 o ，使得对v y l ，y 2 r ，有 i b ( t ，y 1 ) 一b ( t ，2 ) 1 2 + i 。k 。l f 0 ，y l ，卫) 一f ( t ，y 2 ，x ) 1 2 ( ( b ) k 1 l y l 一2 1 2 ( c 2 ) 增长条件：3 k 2 0 ，使得对v y r 有 6 2 ( t ，y ) + 。l 。i f ( t ，f ，x ) 1 2 v ( d x ) 尬( 1 + 1 j 2 ) 智l2 亭晕“概念和咎千、f i l 论 命题2 2 2 5 设( 2 r 2 4 ) 式满足( c 1 ) l i p s c h i t z 条件和( c 2 ) 增长条件，以 r n l z o l 2 ) o o ，则( 2 2 4 ) 式存在惟一解z = ( z c t ) ，t o ) ，且z 是平方可 积鞅 第3 章b s 模型 本章首先通过构造适当的证券组合，得出衍生证券的价格，( s ，t ) 所满足 的偏微分方程，即著名的b s 方程；再分别用两种不同的方法推导出没有红 利支付股票的欧式看涨期权和看跌期权的价格公式；接着分析定价公式中各 参数对期权价格变化的影响；最后研究了随机利率下的b s 模型之推广，并 给出了相应的期权定价公式。 3 1b - s 方程的推导 b l a c k s c h o l e s 微分方程是基于不付红利股票的任意一种衍生证券的价 格f ( s ，t ) 所必须满足的方程，下面将在一系列的假设条件下，通过适当的证 券组合，来导出该微分方程。 假设条件： ( 1 ) 股票价格遵循随机过程& ， d s = u s ( t ) d t + c r s ( t ) d b ( t )( 3 1 ) 其中札，盯是常数，分别代表单位时间内股票的预期收益率和股票价格的波动 率。b ( t ) 是标准布朗运动； ( 2 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 3 ) 没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的： ( 4 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付； ( 5 ) 不存在无风险套利机会； ( 6 ) 证券交易是连续的； ( 7 ) 无风险利率r 为常数且对所有到期日都相同。 设，是基于s 的某个看涨期权或其他衍生证券的价格，它是s 和t 的函 数，由l t 6 公式可得： d ，= ( 髻u s + 石o f + 互1 狰0 2 f 。2 s 2 , 冲+ 鬈一s d b ( 3 2 ) 方程3 1 和3 2 的离散形式为： a s = 珏s t + 0 8 b ，= ( 筹u s + 筹+ ；等盯2 s 2 ) 抖筹盯s 且 ( 3 _ 3 ) ( 3 4 ) 其中s 和，是s 和，在短时间间隔后的变化量，a b e 瓦，e 为标准正态分布 的随机抽样值，选择某种股票和衍生证券的组合就可以消除维纳过程； 定义证券组合的价值为此证券组合的持有者卖空份衍生证券，买入数量 为筹的股票，即 l i = - ，+ 筹s a t 时间后证券组合的价值变化a i i f o ： = _ ，+ 纂s 。将方程3 - 2 和3 - 4 代入3 - 6 得： 二( 一面a f 一；等 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 因为这个方程不含有b ，经过越后证券组合必是无风险的，因此该证券 组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券的收益率相同如果该证券的收 益率偏离，套利者就可以通过先卖出无风险证券再用其收入购买证券组合来获 取无风险收益：相反，如果该证券的收益率偏低那么套利者就可以通过卖出该 证券组合购买无风险证券来获取无风险收益这两种情况都与假设条件( 5 ) 矛 盾，所以结果是： 1 i = r r l a t 其中为无风险利率，再由方程3 5 和3 6 可得 ( 3 8 ) ( 若+ ；嘉扯r ( ，一丽o f s ) t ( 3 。) 一1 4 化简为： 差佃丽o + 三2 等0 s 而2 _ r ， ( 3 l o ) 方程3 1 0 就是b s 方程，解方程时得到的特定衍生证券取决于使用的边界条 件，如对手欧式看涨期权，关键的边界条件为：f = m a x ( s k ，0 ) 当t = t 时 在推导过程中，要注意的是：证券组合n 并不是永远无风险，只是对于 无酿短的时间间隔，它才是无风险的。当s 和t 变化时，甏也会变化，为保证 证券组合无风险，有必要连续调整证券组合中衍生证券和股票的相对比例。 3 2b s 定价公式的得出 本节将分别通过求解b s 方程和鞅方法来得出无红利支付股票的欧式看 涨期权和看跌期权的价格公式。 f 鬈+ r s 鬈+ 貉盯2 s 2 一r ，= 0 i ，k t = k s - 一k s ，) + + 霎粪篓袭 。，1 1 令z = l n s ，7 - = t t ，一o o 。 o 。，0 下t ，得出以下常系数抛物型方程 c a u c h y 问题： f 筹一( r 一譬) 鬈一；貉盯2 s 2 + r f = 0 i ，卜= 0 = ：二篓；：莩粪翥袭 。1 2 ，= u e ”+ 触 ( 3 1 3 ) 通过适当选取常数o ，卢使得方程3 - 1 2 转化为热传导方程，由于： = e a r + 肚( 坼+ o 让) 丘= e 。件所( + p 钍) 厶。= e a r + 口2 ( “。z + 2 f l u x + 卢2 u ) 将它们代入2 。1 2 消去e 一+ 触得到： 坼一i 0 - 2 一( p a 2 + r - 譬m 【r 卅r 一争譬俨刊= 。 = 互1 一丕 口：一r 一刍( r i 0 - 2 ) z 这样在变换3 - 1 3 下，方程变为： 石ou一芝象=。(3142 ) 升a z 2 。 相应的初值为( 以看涨期权为例) ： u k ：o = e 一触( ( 矿一k ) + ) ( 3 1 5 ) 热传导方程3 - 1 4 的解可用p o i s s o n 公式表示，即： 钍( z ，) ：厂。k ( x - f ，) 妒( ) d ，一o o 其中妒( f ) 为初值，扛一，r ) 为热传导方程3 - 1 4 的基本解： 七( 。一洲= 忑1 0 e 一锑 、，7 i 7 从而3 - 1 4 ，3 - 1 5 的解可表为： 钍( ”) = 孺1 e 一鳟【e 1 卅f 一肘成】世 其中卢= j 1 一r ，回到原来的未知函数，( 。，7 - ) ： ， ，r ) = e x p - - r t - - 五1 了( r 一2 r + ( ；一丕扛 札( 以r ) = + 如 其中 一e 一”志唧卜击k 小( r 一和2 均武 令叩= z 一+ ( r 一譬) 7 _ ，则 = 志仁h 斛p p 唧t 一 令u = 雩窘，( 。) = 去厶e 一譬山，( z ) 为标准正态分布的累计概率分布 函数，则 厶玎( 型学) 同理， 历= 一k e - r r n ( 型学) ，( s 一( 坠鼍杀孕型) - k e - r ( r - t ) n ( 坠兰杀孚型) 令 坠兰朵孚型盯、一 一1 7 ( 3 1 6 ) 如= d l 一盯厢( 3 1 7 ) 从而对于欧式看涨期权，它的定价公式为： ( s ，t ) = s n ( d 1 ) 一k e 一7 ( 丁一。) ( d 2 ) ( 3 1 8 ) ； 对于欧式看跌期权，由平价公式：p t = g + k e r ( t - t ) 一& 得 3 2 2 鞅方法 ，( s ，”= k e 一7 f 一。) ( 一d 2 ) 一s n ( 一d i ) ( 一) 等价鞅测度的引入 在b s 方程的推导过程中，知道b s 模型是一种连续时间模型：有两种资 产，一种是无风险资产，它在时刻的价格为印，满足方程：d 印= r 印d t ，其 中r 是非负常数，称为无风险利率。方程的解为母= 韶e n ，设岛= 1 ，印= e r r ；另一种是风险资产，它在时刻的价格为& ，满足方程：d s = u s ( t ) d t + a s ( t ) d b ( t ) ，方程的解为& = s oe x p ( u t 一譬t + a b t ) 令& = e - r t & ，由i t 6 公式可 得： d s t = 磊盯( 坚m + d b t ) 垒s t a d w t 口 其中= 尾+ 眠口= 等此时& 的解为： s t = s o e x p ( 一 矿t + a w , ) 令 ，t1，r l t = e x p ( 一o d b s 一；口2 d s ) ，d p = , ? d p j 0j 0 由g i r s 锄o v 定理知：( i 砚) 0 9 _ t z f f - p + 下是标准布朗运动，且慨) o t s t 在p 下是 鞅，p 由此称为等价鞅测度或风险中性测度。 ( - - ) 对欧式未定权益定价的一个定理 在论述该定理以前，先给出与定理相关的三个定义： 定义3 2 1 设妒= ( 田，上如) o t t 是一投资策略，其中霹，凰为空头在时刻t 分 捻3 章b s 樟p 别持有的无风险资产和风险资产的数量，若它满足： k ( 庐) 一( 咖) = z 艘d 翼+ o 。风d ( 3 1 9 ) o ri 塌。l d 抖o r 凰2 d t o o 口s ( 3 2 。) 其中，k ( 妒) = 研母+ 日t 为该投资组合在时刻t 的值，则称西为一个自筹资 策略 定义3 2 2 策略妒= ( 研，凰) o t r 被称为可取的，如果它是自筹资的，且投资 组合的折现价： 玩( ) = 研+ 风袅是非负的，j i s u p c | o ，t i 玩( 妒) 在p 下是平方可积的， 即e p ( s u p i o ，卅仍( ) ) 2 。 定义3 2 3 一个欧式期权h ( 即在0 时刻签署的一份将在t 时刻收益为h 的欧式 期权) 被称为可复制的，如果存在可取策略妒，使场( ) = ，这里h 是矸一可测 的非负平方可积随机变量。 定理3 2 1 在b s 模型中，任何一个由f r 一可测的在p 下是平方可积的非负 随机变量h 定义的期权都是可复制的，且投资组合在时刻t 的值为： k = 【e 一( t o h l f 即投资组合的折现价是一个p 一鞅。 证明假设= ( h o ，凰) o s 7 是期权h 的复制策略，则 k ( 妒) = 聊s p + 吼& ，( 妒) = h 记 玩= e - - r $ k = 田+