（无线电物理专业论文）基于辐射场及遗传算法的过模矩形波导中模式分析方法.pdf

四川大学硕士学位论文 基于辐射场及遗传算法的矩形波导模式分 析法 无线电物理学专业 研究生刘杰指导老师黄卡玛教授 摘要 模式是传输在波导中的电磁波的一个重要特性。波导的尺寸决定了可以传 输的模式，尽管单模工作是高功率微波源追求的目标，但是在实际的研究和调 试过程中，一方面由于对阴极电子发射缺乏控制方法造成了复杂的激励条件， 另一方面为提高输出功率采用了高度过模结构的谐振腔及传输波导，使得过模 波导中的电磁波具有功率高、单次短脉冲、多模和模式不确定等特点。由于过 模波导是高功率微波系统中的传输部分，因此研究过模波导中电磁场的形成和 传播对如何改进功率源有重要的意义。但过模波导具有的不利特点使得其模式 难以采用常规的方法( 如探针、模式滤波器等) 进行识别。 本文针对该问题，提出基于辐射场及遗传算法的波导模式分析法来解决这一 困难。文中主要以过模矩形波导作为研究目标，此方法同样适用于其他波导。该 方法采用非介入的测量方法一一测量辐射场法来获得过模波导内模式的信息。由 辐射场信息得到模式信息是一种电磁场的逆问题。本文方法采用遗传算法，并不 直接求解电磁场逆问题，而是将电磁场逆问题求解转化为正问题的全局最优化求 解。这种方法的好处是避免了病态方程求解问题，不需要测量辐射场的相位，同 时采用“超定”条件保证解的精度。具体地说就是事先得到各模式的辐射场，然 后将合成的多模式辐射场方向图与测量的辐射方向图在多点上的比较，通过遗传 算法获得最佳匹配，并得到各模式在过模波导总场的复系数。 在数值试验中，本文采用了解析式法和时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 来模拟波导的辐射场。解析式法是根据已知 四j i i 大学硕士学位论文 的各种模式在波导口处的分布，将波导1 3 面网格化，形成微小电流元和磁流元， 对每个电流元和磁流元在远处的辐射场进行积分，得到波导的辐射场；时域有 限差分法能更好地研究各个模式在波导中的形成过程，以及通过近场外推，可 以计算出远场辐射场。本文采用了遗传算法和最小二乘法作为反演复系数的算 法。遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、 自适应全局搜索算法，是基于蒙特卡罗法的算法。采用遗传算法搜索最优的各 模式的复系数，从而避免了直接求解病态的逆问题，而将病态逆问题的求解转 换为基于求解正问题的搜索最优问题。最小二乘法是一种求最优解的传统算 法，能进行曲线拟合、函数逼近、数据处理、方差分析与回归分析最d , - 乘 法则直接求解逆问题。 数值实验结果可以说明本文方法能可靠的诊断出过模矩形波导内各模式 的复系数。并且对最小二乘法和遗传算法反演结果进行了比较，比较结果表明 遗传算法在测量值有误差时具有容错能力强的优势。 关键词：过模矩形波导；高功率微波；辐射场；遗传算法；模式分析； 复系数 m s dt h e s i s am e t h o dt od e t e r m i n et h em o d ec o n t e n ti no v e t - m o d e r e c t a n g u l a rw a v e g u i d eb a s eo nr a d i a t i o np a t t e r na n dg e n e t i c a l g o r i t h m m a j o r ：r a d i op h y s i c s g r a d u a t es t u d e n t ：l i nj i e a d v i s o r ：p r o f h u a n gk a m a 硼1 em o d ec o n t e n ti sa ni m p o a 锄mc h a r a c t e r i s t i co ft h ee l e c t r o m a g n e t i cw a v e t r a n s m i t t e di nw a v e g n i d e s 田1 es i z eo fw a v e g u i d e sd e t e r m i n e sa m o u n t so fm o d e s a l t h o u g hw o r k i n go nas i n g l em o d ei sar e q u e s tf o rah i g h - p o w e rm i c r o w a v e t x ：s o u t o e i ti sh a r dt or e a 】i z ci nr e s e a r c ha n dd e b u g g i n g 0 nt h eo n eh a n d , t h el a c ko f w a y st oc o n t r o lt h ec a t h o d er a yl a u n c hr e s u l t si nac o m p f i c a t e de x c i t a t i o n o nt h e o t h e rh a n d , t h es y s t e mw i 出l f i g h i yo v e r - m o d es t r t l c t u r es u c ha st h er e s o n a n c ec a v i t y a n dt h eo u t p u tw a v e g n i d ea r eu s e di nh i g h - p o w e rm i c r o w a v es y s t e mi no r d e rt o i m p r o v i n gi t sp o w e r - h a n d i n gc a p a c i t y , w h i c hm e a n sm a n ym o d e sw i ue x i s ti nt h e h i g h - p o w e rm i c r o w a v es y s t e m s ot h ee l e c t r o m a g n e t i c w a v ep r o p a g a t i n gi n o v e r - m o d ew a v e g u i d e sh a ss u c hc h a r a c t e r i s t i c s 嬲h i g h - p o w e r , s i n g l es h o r tp u l s e m u l t i m o d e m o d ed i v e r s i f i c a t i o n b e c a n s et h eo v e r - m o d ew a v e g n i d ei sa l li m p o r t a n t p a r to fh i g h - p o w e rm i c r o w a v es 3 ，s t e m , i ti so fg r e a ti m p o r t a n c et or e s e a r c ht h e e l e c t r o m a g n e t i cw a v et r a n s m i t t e da n dr e a l i z e di no v e r - m o d ew a v e g u i d e st oh e l p i m p r o v i n gs o u r c eo fh i g h - p o w e rm i c r o w a v es y s t e n lb u tt h o s eb a dc h a r a c t e r i s t i c s d e c i d et h em o d e sa r eh a r dt ob em e a s u r e db yn o r l u a lm e t h o d s 。s u c ha su s i n gp r o b e 。 s c a n n i n gt h ef i e l dp a t t e r n ，u s i n gm o d e - s e l e c t i v ec o u p l e r s 。a n de t c t h i sp a p e rp r o p o s e san o v e lt e c h n i q u et os o l v et h i sp r o b l e m - n 蟛t e c h n i q u e d e t e r m i n e st h em o d ec o n t e n ti no v e r - m o d ew a v e g n i d ef r o mt h er a d i a t i o np a t t e r n m e a s u r e m e n t s ar e c t s n g l ew a v e g u i d ei sr e s e a r c h e db yt h et e c h n i q u e 。b u tt h e t e c h n i q u ea l s oc a nb ea p p l i e dt 0o t h e rw a v e g u i d e s n l et e c h n i q u ei sb a s e0 1 1 m e a s u r i n gr a d i m i o np a t t e r nt og e tt h ei n f o r m a d o no f t h em o d ec o n t e n t , a n du s i n gt h e i n f o r m a t i o nt od e t e r m i n et h em o d ec o n t e n tb yg e n e t i ca i g o r i t h m ( g a ) m e a s u r i n g r a d i a t i o np a t t e r nc a na v e i de r r o r $ b yu s i n gp r o b e c a l c u l a t i n gc o m p l e xc o e f f i c i e n t s o fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sm o d ei sa ne l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s ep r o b l e m n 屺 t e c h n i q u ed o e s n td i r e c t l yc a l c u l a t ec o m p l e xc o e f f i c i e n t so fm o d ec o n t e n t , b u t c h a n g e st h ee l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s ep r o b l e m 幻t h e ”p o s i t i v e ”p r o b l e m , a n du s e st h e g at os e a r c ht h ec o m p l e xc o e f f i c i e n t s 仙t e c h n i q u eh a st h ea d v a n t a g eo f o v e r c o m i n gt h ep r o b l e mo fi l l - p o s e de q u a t i o n s ，a n dd o e s n tn e e dt om e a s u r et h e m s d t h e s i s d h a s ep a t t e r no ft h ef i e l dr a d i a t i o n 。a n du s e st h e ”s u p e r - s e t ”c o n d i t i o n se n s u r i n gt h e a c c u r a c yo f t h ec o m p l e xc o e f f i c i e n t s i nn u m e r i c a le x p e r i m e n t s 。a n a l y t i ce x p r e s s i o n sm e t h o da n df i n i t ed i f f e r e n c e t i m ed o m a i n ( f d t d ) a r ee m p l o y e dt os i m u l a t et h er a d i a t i o np a t t e r no fv a r i o u s m o d e si nt h ew a v e g u i d e t h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n sm e t h o dm e s h e so p e n - e n dp l a c eo f r e c t a n g u l a rw a v e g u i d e ，a n dc a l c u l a t e st h er a d i a t i o np a t t e r no fv a r i o u sm o d e 8b y h u y g e n sp r i n c i p i u m f d t ds i m u l a t e sr a d i a t i o np a t t e r n sf o rt h em o d e sp r o p a g a t i n g i nt h ew a v e g u i d e a n dg aa n dt h el e a s ts q u a r e sm i n i m i z a t i o nm e t h o do - s m m ) a g ea l s oe m p l o y e d g ai sas t o c h a s t i co p t i m i z a t i o np r o c e d u r e ，w h i c hi sb a s e do nt h e m o d e lo ft h en a t u r a le v o l u t i o np r o c e s s ：t h ei m p r o v e m e n to fap o p u l a t i o no f p a r a m e t e r sa l o n gs u c c e s s i v eg e n e r a t i o n s l s m mi sc o n v e n t i o n a lm e t h o d f o rs o l v i n g t h es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s i nn u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h ec o m p l e xc o e f f i c i e n t sd e t e r m i n e db yg aa r e v e r yn e a rr e a lv a l u e s w ev a l i d a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e d t e c h n i q u e a sac o m p a r i s o n t h er e s u l to fl s m m w a sa l s oe m p l o y e d mr e s u l t s i i l d i c a w x ig ah a ss t r o n g e rf a u l t - t o l e r a n ta b i u t yt i l a nl s i v i m k e yw o r d s ：o v e r - m o d er e c t a n g u l a rw a v e g u i d e s ；h i g h - p o w e rm i c r o w a v e ；r a d i a t e d p a t t e r n ；g e n e f i ca l g o f i t h m ；m o d ec o n t e n t ；c o m p l e xc o e f f i c i e n t s v i ，1l，j1j1j! 四川大学硕士学位论文 第一章概述 1 1 研究背景和意义 在高功率微波系统中一般采用微波管，微波管具有频率高，功率大，效率 和增益高，频带宽，耐高低温，抗核辐射，性能稳定，可靠性高的优点，但由 于对阴极电子发射缺乏控制手段，造成了复杂的激励条件“1 ；而且又由于为提 高输出功率采用了高度过模结构的谐振腔及传输波导，使得高功率微波系统具 有功率高、单次短脉冲、多模和模式不确定等特点。在设计许多高功率微波系 统时，常常是从分析电磁场的分布开始的，然后归结为电路或传输线的问题来 处理嗍本文主要研究的是高功率微波系统波导器件中模式的分析。微波在波 导中传输成为导行电磁波，模式是其重要特性之一。由于过模波导具有的多模 和模式不确定的特点，使得常规测量存在很多问题，对功率测量带来较大困难。 如何确定高功率微波源输出波导中的工作模式，对改善功率源的结构，从而获 得满意的高功率输出具有重要的指导意义。 1 2 国内外现状 传统的确定波导内工作模式的方法为探针法，即将测量探头插入波导内， 通过测量值确定波导内的工作模式。具体的方法包括： 1 ) 使用移动探头测量波导内的电场幅值和相位，通过计算确定每种模式 的功率流密度； 使用固定的探头阵列进行测量，确定工作模式； 使用固定的探头和可移动的短路终端分析波导内的多工作模式； 钔使用固定的探头、固定的终端以及可变长度的波导来分析工作模式。 在国外，j e s s ej t a u b 用电、磁探针测量的方法对波导内模式进行了研究。1 ， 试验系统框图如图1 - 1 ，系统实图如图l - 2 d s l e v i n s 0 n 眶舳e r1 r u b i n s t e i n 也用几乎相同的方法和设备进行了研究旧。在国内，西北核技术研 究所的刘国治等人用电、磁探针测量的方法对单模或有主模的高功率微波源的 测量旧，结果表明主模的测量有较好的精度。对于多模来说，问题远远要比单 模复杂，不但要测量主模还要测量其他模式。中国工程物理研究院应用电子学 四川大学硕士学位论文 研究所屈劲，刘庆想、胡 进光，等人研制出一种能 适应各种条件下使用的商 功率微波功率密度测量装 置嘲，试验系统框图如图 1 - 3 。 但是这种传统的方法 不适用于高功率微波源输 出波导内工作模 式的分布。首先 探针插入波导 后，对被测点的 场分布产生干 扰，影响原来场 分布，导致测出 的工作模式误差 较大。其次对于 高功率微波源的 输出波导，探针 插入后很容易引 起击穿。 最近也有人 采用插入波导内的两天线 间的频率响应来确定波导 内的工作模式p a v e lv n i k i t i n , d a n i e l d s t a n c i l ，a h m e tg c e p n i ， 等人用这种方法进行了研 究伪。试验系统框图如图 1 4 。 1 t t t r 牲d e i t 埔 图1 ij e s s ej t a u b 的试验系统框图 图1 - 2j e s s ej t r u b 的试验系统实图 图i - 3 屈劲，等人的高功率微波功率密度测量装置 四川大学硕士学位论文 但该方法仅适用于 在工作频率范围内，每种 模式的幅值近似不变，且 两天线的间距足够长。显 然，对于高功率微波源， 其输出波导内场的幅值 不断变化，这种方法也不 适用。 有人提出不用放入 探头采集波导内场的信 息，而采用在波导壁上开 口，将波导内场的信息导 出来的方法。e d s h a p ， e m t j o n e s i 对这种方 法进行研究。波导壁的开 口方式如图i - 5 ，波导设 备如图i - 6 0 “。波导壁开 口的方式导出波导内场 的信息的方法要求的系 图i - 4p a v e iv n i k i t i n ，等人的试验系统框图 图l - 5 波导壁的开口 统简单，针对不同的模式在波导壁的不同位置开口就能导出单一模式的信息， 再通过一些能准确测量单 一模式的方法就能很好的 得到各种模式的组合方 式。同样这种方法对波导 内场的分布有干扰。如果 对误差要求不太严格的情 况下，这种方法可以使用。 为了避免上述几种方 法带来的对波导场的影 响，一种采用辐射场信息 图卜6e d s h a p 等人试验中所用的波导 四川大学硕士学位论文 诊断多模圆波导内的工作模式的方法被提出。这种方法比起前面的方法来说有 其优势的地方，就是该方法为非介入的方法，就是说不会有探头( 探针，天线 等) 放在波导内，这样就避免了由于探头带来的对电磁场的干扰，也不会有因 为有探针插入波导而必须降低传输功率，并且大大减4 , t 由于试验设备对测量 带来的误差。r j v e r n o n 等人在这方面进行了大量的工作硼伽。这种方法简单的 说就是，通过s s i l v e r 的 m i c r o w a v ea n t e n n at h e o r ya n dd e s i g n 书中提 供的波导中单模式辐射场的解析式计算出各种模式的辐射场，并将这些计算出 的辐射场值作为先验信息，在测量了由试验波导的辐射场值后，通过最小二乘 法或根据辐射场特征直接判断出波导中存在的模式以及模式组合方式。国内， 中国工程物理研究院李少甫，缪铁莺，张桂荣，等人结合在圆柱过模波导壁上 安装小电探针天线和小磁环天线测量微波模式的方法，用天线阵测量圆柱过模 波导中开口辐射的电磁场空间分布，再应用最小二乘法优化原理拟合高功率微 波模式功率分布n 1 1 。试验系统框图如图卜7 。 图卜7 用天线阵测量圆柱过模波导中开口辐射场的空间分布原理框图 但是该类方法目前仍有很多局限性。重要的是他们并未讨论这类逆向求解 问题的病态和伪逆问题“4 ，所得结果误差很大，不具有实用性。用解析式法计 算各种模式的辐射场在实际研究中也具有一定的局限性。虽然解析式法能很好 的模拟大尺寸的开口波导的辐射场，但实际中往往需要的在波导口处加上锥形 天线，对这样的情况公式法计算的结果就会和测量的结果有较大的差别，这是 因为锥形天线口处的场分布不同于波导内的分布了。 四川大学硕士学位论文 现在高功率微波系统发展中必须提出一种能够解决“高功率微波源输出波 导工作模式诊断”问题的新方法。 1 3 本论文拟解决的主要问题 本文提出基于辐射场和遗传算法的过模波导模式分析方法。这种方法采用测 量方法的是上文提到的非介入式测量法，即测量波导的辐射场，在计算波导内 模式的组合则使用了遗传算法。波导内模式的组合并不是一个简单的比例关系， 本文认为波导内的场应该是波导内存在的模式的一般表达式乘以模式对应复系 数后的求和。在加入了复系数后使用遗传算法就可以不直接计算电磁场逆问题， 而是将电磁场逆问题求解转化为正问题的全局最优化求解。遗传算法的好处是 克服了病态方程求解问题，不需要测量辐射场的相位，同时采用“超定”条件 保证解的精度。具体地说就是事先得到各模式的辐射场，然后将合成的多模式 辐射场与测量的辐射方向图在多点上的比较，通过遗传算法获得最佳匹配，并 得到各模式在过模波导总场的复系数。在本文数值试验中只考虑了电磁场在波 导开口就辐射出去的情况，计算模式的辐射场时也用了解析式法，但是针对实 际研究中常常在波导口处加上锥形天线的情况，本文还是提出了用时域有限差 分法进行模拟，对本文的方法可行性和可靠性进行了数值试验验证。考虑到真 实的测量一定会有误差，在实验中对测量值加了随机误差，并用最小二乘法和 遗传算法分别对测量数据进行了反演。 1 4 本论文的内容安排 针对以上内容，本论文共分五章进行讨论第一章是本文研究工作的背景 和意义，第二、三章是本文工作所涉及到的数值方法的简要介绍，第四章是本 文研究的主要工作。 第一章，讲述了本文的研究背景和意义，介绍了目前国内外测量波导模式 的方法以及存在的问题。在此基础上提出了本文解决问题的方法基于辐射 场和遗传算法的过模波导中模式分析方法。 第二章，介绍了本文在计算波导辐射场所涉及到的数值方法解析式法 和时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et u n ed o m a i n , f d t d ) ；分析了波导内场的组 合方式后，提出了波导内复系数的概念。 传算法和最 为了由假设 合数据这类 果拟合的总 靠性，并和 比较，结果 行了讨论。 四川大学硕士学位论文 第二章本论文采用的计算波导辐射场的方法简介 对过模波导的辐射特性的研究可以有多种方法。如解析法和数值算法。解 析法就是根据m a x w e l l 方程组以及惠更斯等效原理，将波导辐射场推导出来。 电磁场数值算法有很多常用的如有限元法、矩量法、差分法、边界元法、传输 线法、有限积分法、时域有限差分法等这些算法都是建立在m a x w e l l 方程组 之上的。其中有限元法、矩量法、差分法、边界元法、传输线法用在频域求解 上；有限积分法、时域有限差分法则用在时域求解上。本文采用两种方法计算 波导辐射场，解析法和时域有限差分法。两种方法的结果可以作为对比，而且 时域有限差分法能更好的研究电磁场的形成和辐射过程。 2 1 解析式法 2 1 1 波导模式 矩形波导是横截面为矩 形的空心金属管( 参见图 2 - 1 ) 。根据m a x w e l l 方程组以 及矩形波导的边界条件，可以 知道这种单导体的空心波导 中不能存在t e m 波，只能存在 t m 波或t e 波，属于色散波导 系统【”1 y 图2 - 1 矩形波导截面 图2 - 1 所示的波导内部的场应该满足电磁场的波动方程，电磁场沿着z 方 向传播能做到最小的衰减。假定在波导内场按e - ，2 变化，其中，。 是传播常 数，口是衰减常数，芦是相位常数“”假定电磁波在波导中传播时没有衰减， 可以得到模式的表达式。 t e 模 h z - h n c o s k c o s k , e “l 却 0 2 - l a ) 以一警风s i 亏声c o s 弦一脾 ( 2 1 b ) 四川大学硕士学位论文 h ，ij 警h 脚揪矿z e 。j 可。o u k yh oc o s k 衄k i y e - 鹏 e | - j 可 姒y y e - e r 一一jm u 已k , , h o s m k o o s k ，加 t m 模 e z - e os i n k z x s i n k y f m 跏一j 警e 。瞄k 如吣zk ： 。 e ，i j 警e o 虹k 瞄咿讲z e r 一一j 带如k c o s kr y e i ”z h l ij 警吣i n k ，x c o s k y y e z h l _ j 昔e q s s h ? i - j o , f e k 。e n m k c o s k ，矿z 式中磊由场的激励源确定且t - 詈，k y 一了n j g - + 蟛一( 等分+ 争 艟肯的耪i p 沽耗百t 叫田音- 正嘉呆 ( 2 - 1 c ) ( 2 一l d ) ( 2 一l e ) ( 2 3 ) 长为a ( 波导内 ，也就是不可能 波导中都可能存 导，也就是波导 a b c d e 2 2 2 2 2 一 一 一 一 一 2 2 2 2 2 四川i 大学硕士学位论文 的尺寸相对与工作的波长来说都 比较大，虽然提高了波导传播的功 率，但是也使得波导内的场的分布 更加复杂，即有较多的模式存在。 z d2 d 2 1 2 惠更斯等效原理 图2 - 2 各模式的截止波长 如果一闭合体表面s 上的场为己知，则s 以外的场可由s 面上的场计算。 惠更斯原理可用图2 3 表示。 eh 自由空间 ( 乇) j = - - t k x h l = 口e 图2 - 3 惠更斯原理示意图( a ) 原问题；( b ) 等效问题 s 面上的场在远处的辐射可以看成是由许多很小的惠更斯元拼接成的“”。 远处的辐射也就是构成它的许多惠更斯元所产 生的辐射场叠加的结果。图2 4 表示的是在s 面上的一个惠更斯元在空间m 点的辐射，将s 面上所有惠更斯元在m 点的辐射叠加，就得到 了s 面上的场在m 点产生的辐射。 在无限大空间中，s 面上的场在远处的辐 射可以表示为： 图2 - 4 惠更斯元的辐射场 四川大学硕士学位论文 目= ，去( 1 + c o s 口) p 一归肌( 马s i n 妒+ e c o s 妒如皿i ，- 协 易= ，击( 1 + c o s 占弦啪f i ：, - s 矿一巨s i n 矿) e 肛b 协 i r - r , l = x , s i n o s i n c p + y , s i n o c o s 尹 r 2 d 2 肌 ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 式中r 为待测点m 到原点的距离，h 为待测点到面积元d s 的距离。而，弘分别 为出在x y 平面的坐标，d 为波导开口处的最大线尺寸，a 为工作波长。巨，毛 分别为s 面上在x ，y 方向的场。 2 1 3 波导中的模式复系数 在式( 扣1 ) 和式( 2 2 ) 中，氏是场的激励源确定的系数；一厥是场滞 后的相位。这些系数在式( 2 5 ) 和式( 2 - 6 ) 的积分中只是系数而并不参与积 分，所以在模式分析中可以用础代替h o e 一肚或玩e 一班。删就是波导中模 式的复系数，其中a 为复系数的模值，为复系数的相位。一声z 指的是某个模 式从产生而不断随z 轴传播导致的相位滞后。在波导中并不是在同一个地方同 时产生每一种存在的模式，这样就导致一声z 的意义的混乱；是在式( 2 - 5 ) 和 式( 2 6 ) 的积分中引入的，它的观察位置是在波导口处，它是相位差或相对相 位，是相对与在波导口处相位为0 的模式的相位。耳p 晶同样也是指的是某个 模式在产生由激励源确定模式的振幅；a 则是模式在波导口处的振幅，但数值 上a 要等于k 或昂。引入复系数后，可以方便的简化了波导口处的场的分析。 有了复系数后，就可以将各种模式在波导中复杂的产生以及传播过程转变为观 察波导口处模式振幅和相对相位，而波导口处模式振幅和相对相位对改善功率 源的结构，从而获得满意的高功率输出具有重要的指导意义。 2 2 时域有限差分法 时域有限差分方法是一种求解麦克斯韦( m a x w e l l ) 微分方程的直接时域方 法，在1 9 6 6 年由ks y 如第一次提出。经过三十多年的发展已成为一种成 熟的数值方法，应用范围越来越广o ”。 四川大学碗士学位论文 时域有限差分方法是将m a x w e l l 旋度方程在直角坐标系中展开成六个标量 场分量的方程。再将问题空间沿三个轴向分成很多小的网格单元，每个网格长 度即为空间变元，相应得出时间交元。对每一轴向上的电磁场及分量在空间 和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个取或邱场分量周围有四个觑或司 场分量环绕，应用这种离散方式将包含时间变量的m a x w e l l 旋度方程转化为一 组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。由于时域有限差分方 法采用时间和空间的中心差分对m a x w e l l 方程直接离散化，因此在计算复杂结 构的电磁问题时具有极大的灵活性和准确性。 2 2 1y e e 氏网格 时域有限差分方法算法采用 y c c 氏网格n 耵，如图2 1 所示。划 分网格的方法是将直角坐标系中 电场和磁场的各个分量在空间中 分离，每一个磁场( 或电场) 分量由 四个电场( 或磁场) 分量环绕。取样 方式不仅符合法拉第感应定律和 安培环路定律的自然结构，而且 也适合于m a x w c u 方程的差分计 算，能够恰当地描述电磁场的传 播特性。 图撕y e a 氏两格 2 2 2m a x w e ii 旋度方程的有限差分展开 m a x w e l l 方程组中的两个旋度方程是法拉第电磁感应定律和安培环路定律 的微分形式。假如问题空间是无源的，且媒质各向同性、线性、与时间无关， 但存在电和磁的损耗，则m a x w e l l 方程可以写成下面的形式： v 她叫詈( 2 - 8 a ) v x h ：仃e + 罂( 2 8 b ) d t 四川大学硕士学位论文 在直角坐标系中，上两式可以化为六个标量方程： 亟。哥甄o以h_zy8ta y吨) ( 2 啕a ) s l 以 j 。 堡8 t 詈( 堡8 z 一丝o x 一鸣) ( z 啦) f i 7 j 。 竖o t 文竖o x 号毗) ( 2 _ 9 c ) f i a ， 4 丝o t - 一三i z 愕一誓+ 吒以1 d ) i 妙 把 43 j 堡8 t 一爿鲁等+ 吒也) ( 2 - 瞄 p 拓 缸 4 7 j 。 监o t - - 吉( 堡8 x 一号+ 吒吃) ( z la ，“j 。 用，y ，z ，t ) 代表电场或磁场在直角坐标系中的某一分量，将问题空间沿 三个坐标轴向分成很多网格单元，用缸，缈和分别表示单元沿三个轴向的 长度，址表示时间增量。用有限差分离散式( 2 - 9 ) 中的六个方程，任意一个时间 和空问的函数可表示为： ，。( f k ) 1 ，( f 缸，y ，k a z ，n a t )( 2 - 1 0 ) 这里f ，k 和再为整数。f ，k 是各分量的空间节点，n 是时间步取样。 对，仅v z n 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似。即： ( 2 - 1 1 ) 同时考虑到在时间上电场和磁场有半个时间步的差异，可以将( 2 - 9 ) 中的各式离 散化对于沿z 轴传播的二维砜波，分量e e - h x - 0 ，则可由( 2 9 a ) 、( 2 9 0 和( 2 訇得到z 写。波的离散表达式： ( 2 - 1 2 a ) 叫n 舭u 七+ 争一c p ，彤飞“- - c q 盥鼍芋业( 2 - 1 2 b ) h 2 w ( i + 扣- c p 孵1 聃c q 业旦学幽1 2 c ) 1 a a t 1 f a t 其中翻。i 巫2 e ，。i 亘1 c p 。i 盘c q 。i 筮 一维和三维情况很容易由相似过程得到。 2 2 3 数值稳定性分析 时域有限差分方法是以差分方程组的解来代替原来电磁场偏微分方程组的 解。只有离散后差分方程组的解是收敛和稳定的，这种代替才有意义这种差 分格式的稳定性问题，即要求时间变量步长& 与空间变量步长缸、y 和& 之 间必须要满足一定的条件，否则将出现数值不稳定性。这种不稳定性表现为： 随着计算步数的增加，被计算场量的数值无限制地增大。其原因不同于误差的 积累，而是由于电磁波传播的因果关系被破坏而造成的。因此，为了用所导出 的差分方程进行稳定的计算，就需要合理地选取时间步长与空间步长之问的关 系。在三维时域有限差分方法中，数值稳定性条件为： a t 1 ( 2 - 1 3 ) 其中v 一1 ，石，是电磁波在媒质中的传播速度。上式又称为c o u r a n t 靛 四川大学硕士学位论文 条件若采用均匀立方体网格，即a x 。a yma z - a s 时，( 2 6 ) 有更简单的形式： a t 粤( 2 1 4 ) v 4 3 如果计算空间中的媒质是不均匀的，那么稳定性条件对不同的媒质区域是 不同的，因为 ，的取值不同，但由于稳定性条件是不等式，故只要选最大的条 件，在其他区域中自然得到满足。 2 2 4 吸收边界条件 在时域有限差分方法的发展中，研究人员提出了多种吸收边界条件删， 其中比较有影响的有m u r 、超吸收技术、p m l 等。m u r 通过对波动方程的因式分 解获得了单行波方程，即吸收边界( a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a b c ) 。 由于精确的单行波方程无法实施数值计算，m u r 讨论了它的各阶近似算法以及 相应的差分格式，其二阶近似a b c 是目前应用非常广泛的吸收边界条件。m e i 等人对m u r 的吸收边界条件进行了分析，提出了一种修正算法一超吸收技术， 提高了吸收性能b e r e n g e r 从另一个角度对吸收边界进行了研究，提出了完全 匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，p 虬) 。完全匹配层技术很快就得到了重视 和发展。 m u r 吸收边界在空间 的吸收虽然没有完全匹配 层吸收边界好，但是如果模 型中的电磁波是单向传播 时，m u r 吸收边界和完全匹 配层吸收边界吸收效果几 乎相当。对于m u r 吸收边 界，m u r 二阶吸收边界要 比m u r 一阶边界有所改善。 图2 - 6 是m u r 二阶吸收边界 和m u r 一阶边界对不同角 度入射波的吸收伽 毽 奄 埘 崔 聋 1 ) c o u p l e = c o u p l e - - i e n di f i f ( c o u p l e = 1 ) c o u p l e = c o u p l e + l d ok = l 。c o u p l e 2 c a l lr a n d o m _ n u m b e r ( r a n ) m a t e l = i n t ( r a n * n p o p s i z ) + l 3c a l lr a n d o m _ n u m b e r ( r a n ) m a t e 2 = i n t ( r a n * n p o p s i z ) + l i f ( m a t e l 一- - - m a t e 2 ) g o t o3 产生的一个子代 c a l lr a n d o m _ n u m b e r ( r a n ) s i z e l = i n t ( r a n * n c i t y ) + 1 4s i z e 2 = i n t ( r a n * n c i t y ) + 1 i f ( s i z e l s i z e 2 ) g o t o4 ， d oi = l ，n c i t y + l i c h i l d ( i 。m a t e l ) = i p a r e n t ( i ，m a t e l ) i f ( i = s i z e l a n d i = s i z e l a n d i = s i z e 2 ) i c h i l d ( i ，m a t e 2 ) = i p a r e n t ( i ，眦t e l ) e n dd o d oi = 2 ，n c i t y d os = s i z e l ，s i z e 2 i f ( i p a r e n t ( s ，m a t e l ) = = i p a r e n t ( i ，m a t e 2 ) ) i c h il d ( i 。m a t e 2 ) = i p a r e n t ( s ，m a t e 2 ) e n dd o e n dd o d oi = 1 n c i t y + l i p a r e n t ( i ，陋t e 2 ) = i c h il d ( i ，m a t e 2 ) e n dd o e n dd o 在产生子代时，可以有一个或者两个子代。产生两个子代有利于编程时保持种 群的规模。 2 ，变异算子 d oj = 1 n p o p s i z d ok = l 。n c i t y * o 2 51 突变概率0 2 5 c a l lr a n d o m _ n u m b e r ( r a n ) m a t e l = i n t ( r a n * ( n c i t y 2 ) ) + 2 2c a l lr a n d o mn u m b e r ( r a n ) m a t e 2 = i n t ( r a n * ( n c i t y 2 ) ) + 2 2 1 i f ( m a t e l 一- m a t e 2 t e m p = i p a r e n t ( m a t i p a r e n t ( m a t e l ，j ) i p a r e n t ( m a t e 2 ，j ) e n dd o e n d d o 在试验中可以根据需 以减小搜索时陷入函 率设为自适应的变量 这样可以提高产生的 为较小的值，可以加快种群的收敛。 3 ，复制算子 在程序中将父代中最好的个体直接保留在子代中，这样可以加快种群的收 敛。 4 ，适应值 适应值是遗传算法中一个比较重要的部分，也是和具体优化的问题联系最 为密切的部分。适应度值的大小，实际上就是基因在环境里的适应能力。适应 度值大的基因，就是最能适应环境的基因，也就是最接近问题中所要搜索的最 优化结果的基因。经常用到以下四种适应值度量。 ( 1 ) 原始适应值 原始适应值是一种用问题本身惯常的术语表示的适应值度量。在上文提到 的货郎担问题中，其适应值就可以是经过完所有城市所走过的路程。路程越小， 适应值就越大原始适应值有着最直接的物理意义，所以使用原始适应值能最 直观的反映基因在环境中的适应能力。 ( 2 ) 标准化适应值 原始适应值是用问题本身物理意义来表示的，所以一般会出现两种情况， 一种是原始适应值越小越好；另一种是原始适应值