第七讲 完备市场理论.doc

第7讲 完备市场理论6.1 Arrow-Debreu证券和完备市场l 记号：资产i：当前价格；期末价格；状态依存价格矩阵：收益率矩阵l Arrow-Debreu证券和可保险状态定义 0.1：若存在一个资产组合的状态依存收益为则称其为对应状态的Arrow-Debreu证券(A-D证券)，称状态为可保险的（Insurable state）；而组合的投资成本为状态的状态价格。回忆第3章定义：，或定理 0.1：将的行向量记为，则状态可保险的充分必要条件是： 与 线性无关。【证明】必要性：用反证法。假设是对应于状态的A-D证券，满足，这意味着：若存在常数，使得上式两边同乘以，得到但由假设上式左端为1，右端等于零，矛盾。充分性：若与中其他行向量线性无关，则这就是说，可以写为中各列向量的线性组合：存在，使得l 完备市场及其S基金分解定义 0.2：如果对任何未来状态，都存在组合，使得则称经济是一个完备市场（complete market），否则称为不完备的。 市场完备经济中存在只收益收益率线性无关的资产 如果市场是完备的，每一种普通证券的收益都可以通过A-D证券复合而得：这称为完备市场的S基金分解。相应地，普通资产的定价公式：6.2 完备市场中的帕累托效率l 经济效率：商品经济与金融经济差别 在确定性的消费经济模型中，经济个体的偏好总是定义在现存的商品集上，所以福利经济学第一定理断言竞争均衡总是导致帕累托有效。在不确定性经济中，个体的偏好是定义在未来各种可能状态下的收益上的，而市场中存在的金融资产可能不足以让个体将其未来收益调整到其最优的水平，此时帕累托有效条件就无法实现。完备市场为经济中的个体提供了所有可能状态之间的财富交换机会，在完全竞争均衡中经济将达到帕累托有效状态。l 帕累托有效条件考虑一个单期投资消费经济。个体在时刻的消费量记为，时刻能消费的财富为。 记个体的初始禀赋为。任何一种可行的配置，必然要满足以下的禀赋约束： 如果自然在时刻实现的状态是，个体获得的消费效用为；期望效用函数是帕累托有效配置问题：L函数：FOC：由于是凹函数，上述必要条件同时还是充分条件。综合各式得：all s, k l A-D证券世界假设存在所有种可能状态的A-D证券。个体面临的问题是：一阶必要条件整理后可得经济达到了帕累托有效。l 普通证券的交换经济中不存在直接的A-D证券买卖，个体只能投资于种收益线性无关的普通证券。记为个体的投资组合，期末获得的状态依存收益为：从而，个体的组合投资问题是：FOC：整理后得：记，上述个等式的矩阵形式：状态价格性质两边左乘一个，得到：与（6.10）比较，此时的帕累托效率得到了保证。完备市场内存在l 实际完备市场在不完备市场中，矩阵的秩小于，线性方程组（6.17）的解不是唯一的：如果经济中收益不相关的证券数量小于可能的自然状态数S，均衡时不同个体的边际替代率可能是不相同的，帕累托有效条件不能保证。不过，即使是，也不能断言均衡时一定存在资源配置效率损失。定义 0.3：如果，但经济均衡达到了帕累托有效，称这样的市场是实际完备的（efficiently complete）。查看教材上例子6.3 时间可加效用函数和一致的信念l 时间可加效用函数期望效用：l 帕累托最优分配法则（Pareto optimal sharing rules）：个体消费量与社会总消费量的严格单增函数关系定理 0.2：假设个体的效用函数如(6.19)，并且经济中所有个体对未来不确定世界有相同的信念：那么在任何一个帕累托有效配置中，必然存在与未来状态s无关的严格单增函数,使得其中是所有个体在状态s下的消费总量。【证明】在效用函数(6.19)及相同信念条件(6.21)下，帕累托有效问题的一阶条件(6.6)(6.9)分别简化为： 令，这四个式子又可以简写为： 欲证明：如果，必然有。事实上，当时，至少存在一个个体，满足；因为是严格凹函数，其一阶导数是严格单减函数，从而（注意）由(6.28)，对任意个体，都有而是严格凹函数，其一阶导数是严格单减函数，故有成立。l 亚状态推论 0.1：（1）在定理6.2成立的条件下，所有个体在未来各状态下消费间的大小顺序相同，并且与社会总消费的大小顺序一致；（2）若存在，则对任何个体都必然有，并且【证明】只需证明最后一个推断（6.29）。根据帕累托有效条件（6.10），由条件，因此，消费者没有必要区分社会总消费相等的那些状态。将原来的状态集合中所有总消费相等的状态一一合并为一个个亚状态（mega state）：相应地定义个体的信念及（亚）状态价格：，其中。推论：只要经济中对每一个亚状态都存在对应的A-D证券，经济即可达到帕累托有效。or：如果不同的状态数量是，那么经济中只要存在只收益无关的普通证券即成为一个实际完备的市场。定价公式：l 代表性投资者 在定理6.2条件下，由于总消费量唯一地决定了每个个体的消费投资决策，我们可以假想经济中存在一个巨大的“代表性个体”，代表所有个体进行消费投资选择。定理 0.3：假设个体的效用函数如(6.19)，并且经济中所有个体对未来不确定世界有相同的信念；证券市场是完备的，均衡状态下各状态的状态价格是。那么，可以构造一个具有信念的代表性个体，在拥有社会总财富的条件下，由这个代表性个体为市场中唯一一个投资者的经济所达到的均衡状态价格也是。【证明】在时间可加效应函数和一致信念下，个体达到效用最大化的一阶条件是：取其中拉格朗日系数的倒数为权，定义： 假设个体的最优消费计划是，满足一阶条件(6.32)；记： 现在考虑另一个经济，这个经济由唯一的个体组成，其期望效用函数定义为且时刻拥有初始收入。 记这个经济在均衡时达到的状态价格是。容易验证，由（6.35）定义的收益恰好是这个虚构个体的最优消费计划。所以，满足个体的效用最大化一阶条件：但由（6.36）和（6.37），两式相比较，得知l 线性Pareto分配法则 在时间可加效用函数(6.19)下，如果帕累托有效分配原则(6.23)还是线性的：其中，而且经济中还存在无风险资产，则可以证明完全竞争经济总能够达到帕累托有效。假设无风险资产的收益率是，考虑个体的这样一个可行的消费投资组合：购买份无风险资产；同时购买比例为的市场组合；余下的初始禀赋作为现时的消费。容易看出个体在时刻所获的状态依存消费水平恰好是(6.40)。l LRT效用函数命题：如果每一个体的风险容忍系数具有线性形式：则所有的帕累托有效配置都满足线性分配原则(6.40)。 先看的情况。注意到(6.41)可以写为对等式进行不定积分：其中是常数。记，这就得到 利用帕累托有效条件(6.28)，得对j加总，注意到，最终得到这显然是的线性函数。 如果，(6.41)等价于代入帕累托有效条件(6.28)：等式两端取对数，并乘以：对j加总，整理后得到这显然也是的线性函数。 事实上，(6.41)还是(6.40)的必要条件（Huang and Litzenberger，1988)。6.4 普通证券定价（代表性投资者方法）l 一般条件下的定价公式推导 如果证券市场是完备的，经济中所有个体都具有时间可加型效用函数(6.19)，并且他们有一致的信念，则可以构造一个代表性的个体，并由此来确定状态价格（A-D证券价格）。 假设经济中共有只风险资产，其中一份资产的状态依存支付是。记均衡中状态价格向量为，则资产的当前价格当是：按(6.34)和（6.33）定义代表性个体的效用函数，状态价格可以写为(6.39)：将其代入(6.42)： 因完备市场中无风险资产总是存在的（如分别购买所有的A-D证券就构成一个无风险资产组合），将（6.43）运用于无风险资产：或写为 在等式(6.43)两端同除以：or：将时的消费换为市场组合总收益：将其应用于市场组合这一特殊的风险资产：两式相除，得到资产定价公式：l 二次效用函数下的情况 记时代表性个体的效用函数为则。将其代入定价公式(6.48)，得到6.5 以期权扩展完备市场l 以期权扩展完备市场考虑由所有资产构成的市场组合，该组合在每一种可能状态下都有单位收益：。不妨假设时一定有，而且市场组合的可能收益是按升序排列的： 考虑一份以市场组合为标的物、履约价格为的欧式买权。其收益是 创造种这样的买权，履行价格分别是，与