（基础数学专业论文）代数逆特征值及矩阵同时对角化问题.pdf

摘要 代数逆特征值问题，就是在一定的限制条件下，求矩阵使其具有预先给定的特征值 和特征向量代数逆特征值在结构设计、系统参数识别、主成分分析、电学、固体力学、 结构动力学、分子光谱学、自动控制理论、振动理论等许多领域都有着重要应用自1 9 5 6 年a c d o w n i n g 和a s h o u s c l d e r 对代数逆特征值问题的研究成果发表以来，已经获得 了大量成果；周树荃、戴华等一大批国内研究者也从代数逆特征值问题的提法、研究内 容和研究方法等方面进行了深入研究，取得了丰硕的成果，但仍有若干问题有待进一步 探讨矩阵可对角化问题与特征值也密切相关，而且在高等代数和线性代数中占有重要 地位两个矩阵的同时可对角化是矩阵束分解( 广义特征值分解，广义s c h u r 分解等) 的 基础 本文前面部分先给出正规矩阵的判定条件，讨论实正规矩阵的逆特征值问题，给出有 解的充要条件及通解的表达式；再给出作为正规矩阵的特殊矩阵，正交矩阵的左右逆特征 值问题本文后半部分讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或充要条 件，由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件，并给出两个矩阵同时合同对角化和同 时相似对角化的算法 关键词：正规矩阵；正交矩阵；逆特征值问题；左右逆特征值问题；合同；相似；同时 对角化 a b s t r a c t t h ea l g e b r a i ci n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mi st om a k eam a t r i xh a v et h ec h a r a c t e r i s t i c so f ag i v e ne i g e n v a l u ea n de i g e n v e t o ru n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s i th a sb e e nw i d e l yu s e di n s t r u c t u r a l d e s i g n ，s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n ，p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s ，e l e c t r i c i t y ，s o l i d m e c h a n i c s ，s t r u c t u r a ld y n a m i c s ，m o l e c u l a rs p e c t r o s c o p y ，a u t o m a t i c sc o n t r o lt h e o r y ，v i b r a t i o n t h e o r ya n ds oo n s i n c ea c 。d o w n i n ga n da 。s 。h o u s e h o l d e r sp u b l i c a t i o no ft h er e s e a r c h r e s u l t sa b o u tt h ea l g e b r a i ci n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mi n1 9 5 6 ，al o to fa c h i e v e m e n t sh a v e b e e ng a i n e d al a r g en u m b e ro fd o m e s t i cr e s e a r c h e r ss u c ha sz h o us h u q u a na n dd a ih u a h a v em a d ed e e pa n a l y s i sa b o u t p r e s e n t i n gt h ea l g e b r a i ci n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e ma sw e l la s r e s e a r c h i n gc o n t e n t sa n dm e t h o d sw h i c hh a v ea c h i e v e df r u i t f u lr e s u l t s ，b u tt h e r ea r es t i l l s e v e r a li s s u e st ob ef u r t h e re x p l o r e d d i a g o n a l i z a t i o no ft h em a t r i xi sc l o s e l yr e l a t e dw i t h c h a r a c t e r i s t i cv a l u e s ，a n di ta l s oo c c u p i e sa ni m p o r t a n tp o s i t i o ni na d v a n c e da l g e b r aa n dl i n e a r a l g e b r a t h es i m u l t a n e o u sd i a g o n a l i z a t i o no ft w om a t r i c e si st h eb a s i so fk e r a t o s i sb e a m d e c o m p o s i t i o n ( g e n e r a l i z e de i g e n v a l u ed e c o m p o s i t i o n ，g e n e r a l i z e ds c h u rd e c o m p o s i t i o na n d s oo n ) t h ef o r m e r p a r to ft h et h e s i so f f e r st h ed e t e r m i n i n gc o n d i t i o n sa n dd i s c u s s e st h ei n v e r s e m a t r i xe i g e n v a l u ep r o b l e mo fn o r m a lm a t r i c e s t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r s o l u t i o na n de x p r e s s i o no ft h eg e n e r a ls o l u t i o na r ea l s og i v e n 。t h e ni tp r e s e n t st h ed e c i s i o no f an o r m a lm a t r i c ea sw e l la st h el e f ta n dr i g h ti n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fo r t h o g o n a l m a t r i c e s t h el a t t e rp a r tf o c u s e so nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs i m u l t a n e o u s c o n t r a c ta n ds i m u l t a n e o u ss i m i l a rd i a g o n a l i z a t i o no ft w om a t r i c e s ，w h i c hf u r t h e rd e d u c e st h e n e c e s s a r yc o n d i t i o n so fs i m u l t a n e o u sd i a g o n a l i z a t i o no fm o r em a t r i c e sa n dg i v e st h er u fo f s i m u l t a n e o u sc o n t r a c ta n ds i m u l t a n e o u ss i m i l a rd i a g o n a l i z a t i o no ft w om a t r i c e s k e yw o r d s ：n o r m a lm a t r i c e s ；o r t h o g o n a lm a t r i c e s ；i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m ；l e f ta n d r i g h ti n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m ；l o n g r u e n c e ；s i m i l a r i t y ；s i m u l t a n e o u sd i a g o n a l i z a t i o n i l m 。、m 。( c ) m 。 ) c c “、m “( c ) 尺”。2 尺? 嫱 f f “4 印，b ) = f r ( 曰r 彳) 4 + ，4 r 只= 肠一 ，；托丽 只 脓“” 彳舰“ d r “” 符号表 一j f u 甩阶复矩阵的集合 h 阶实矩阵的集合 复数域 复咒维向量空间 玎x k 实矩阵集合 尺肛中秩为，的子集合 一个域( 通常指尺或c ) 域f 上的矩阵集合 a 与口的内积 a 的。m o o r e - p e n r o s e 广义逆和矩阵彳的转置 n r ( x ) 的正交投影 彳的f r o b e n i u s 范数 忍阶实对称正定矩阵集合 咒阶实对称矩阵集合 刀阶实反对称矩阵集合 以阶实正交矩阵集合 i v 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 论文作者签名：静、玺矬 日期：础年6 月ie t 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：按照学校要求 提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的 部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：弘惠放 指导教j j 币签名：辐麦磊l 日期：加蛊占l e t 期：砌z6 、五 1 背景和引言 1 背景和引言 代数逆特征值问题( 也称矩阵逆特征值问题或代数特征值反问题) ，就是在一定的 限制条件下，求矩阵使其具有预先给定的特征值和特征向量一般的代数逆特征值问题 的提法可以概述为：对于给定的一些特征信息( 指特征值、特征向量、特征多项式等) 和附加条件( 如矩阵的部分元素已知或限制矩阵在某个指定的矩阵类中) ，讨论在什么 条件下存在满足所给信息的矩阵以及当条件具备时怎样构造所需的矩阵凡与此有关的 理论、计算和应用问题都属于代数逆特征值问题的研究领域 代数逆特征值问题在固体力学、物理学、量子力学、结构设计、系统参数识别、自 动控制等许多领域都具有重要的应用而逆问题所具有的不适定性给代数逆特征值问题 的研究带来了不少困难，但也使它更具有挑战性和吸引力6 0 年代末至7 0 年代初以来， 代数逆特征值问题的研究日益受到学术界的重视，其研究具有广阔的前景 自1 9 5 6 年a c d o w n i n g 和a s h o u s e l d e r 对代数逆特征值问题的研究成果发 表以来，已经获得了大量成果；特别是最近十几年，这方面的研究非常活跃就其定义来 说，已经广义的多了文献 1 周树荃，戴华比较全面系统地阐述了各种类型矩阵逆特征 值问题及其主要研究成果 代数逆特征值问题的研究大体上应包括以下几个方面的研究：逆特征值问题的提 法、研究内容、研究方法 代数逆特征值问题由于所给条件不同、实际背景或应用的数学背景不同而有各种各 样的提法；文献 2 徐寅峰等就非负矩阵逆特征值问题、j a c o b i 矩阵逆特征值问题、鲁 棒问题、其它有关的逆特征值问题进行了简单介绍文献 3 宋兴军，吴秉会对加法问题 ( a m p ) 、乘法问题( i m p ) 、含参数的特征值反问题( p i e p ) 、特殊描述的逆特征值问题 ( p d i e p ) 、谱约束下矩阵的最佳逼近问题( l s i e p ) 、极点配置问题( s t o p ) 的提法进行了简 单的介绍 研究内容包括：1 ) 可解性与不可解性问题，包括问题可解的条件( 必要和充分条件) ； 2 ) 适定性，包括问题解的存在性，唯一性与稳定性；3 ) 数值方法，包括构造问题的解的算 法及解的收敛，鲁棒性；4 ) 误差分析，分析各种算法及逼近问题的误差情况；5 ) 实际应 用，包括算法的实用性及有效性，以及所得结果在工程技术应用中的作用 由于逆特征值问题应用的广泛性及对解算法要求的迫切性，因而各种算法主要有： 极值化算法，逼近算法，解析算法，迭代算法，特殊矩阵的奇异值分解法这些算法各有优 湖北大学硕士学位论文 点，由于逆特征值问题本身的复杂性，迄今为止，尚未找到一种比较完美的算法 经过近5 0 年的研究，代数逆特征值问题己取得了丰硕的成果，但仍有若干问题有待 进一步探讨： 问题g1 3 j 给定数域k 上的，l 阶矩阵a = d i a g ( a ，a ：，九) 及忍阶矩阵函数a ( c ) ，求 参数向量c e k “，使得从( c ) = a ( a ) 问题l s i e p 3 1 给定若干个特征值及相应的特征向量和一个矩阵爿，求一个矩阵b 具有事先给定的特征值及特征向量，并且与a 最“接近” 1 ) 对于一般问题g 而言，要给出其可解性条件似乎是非常困难的但对附加条件的 问题能否给出一些可解性条件? 问题解的稳定性如何? 此外，从实际应用的角度考虑， 问题g 中所给特征值的数目、参数的个数以及矩阵的阶可能互不相同，此时，如何有效地 求解问题g ? 文献 4 虽有讨论，但在理论上不能保证方法的收敛性 2 ) 对问题g ，当限制所得矩阵为实对称矩阵时，其解总存在，但通常不是唯一的，那 么在什么条件下有唯一解? 3 ) 对l s i e p ，结构振动系统的校正将遇到谱约束下的矩阵的最佳逼近问题；有限元 模型的修正、自动控制系统的复原等都会遇到这类问题特别的，当a 是一些特殊的矩阵 类时，例如m 一矩阵、正规矩阵和可对角化矩阵等，应该有一些很好的结果，文献 5 1 0 虽然对此已有一些讨论，但问题尚未彻底解决 文献 1 1 ，1 2 孙继广，张磊讨论了对称矩阵的逆特征值问题，文献 1 3 谢冬秀，张磊 讨论了反对称矩阵的逆特征值问题，文献 1 4 孟纯军，胡锡炎，张磊讨论了正交矩阵的逆 特征值问题但基于目前研究中又存在许多的问题和不足，本文前面部分给出正规矩阵 的判定条件，讨论比以上三类矩阵更为广泛的矩阵类实正规矩阵的逆特征值问题， 给出有解的充要条件及通解的表达式；再给出作为正规矩阵的特殊矩阵正交矩阵的 左右逆特征值问题本文前面部分的研究将使代数逆特征值问题的理论研究更全面，所 得的结论也具有十分重要的理论意义和很高的应用价值 矩阵可对角化问题与特征值也密切相关，在矩阵乘法运算、矩阵方程、矩阵理论、 二次型化标准形及线性变换等方面有着广泛的应用，在高等代数和线性代数中占有重要 地位矩阵的可对角化是矩阵的奇异值分解、特征值分解和c s 分解的基础，而两个矩阵 的同时可对角化又是矩阵束分解( 广义特征值分解，广义s c h u r 分解等) 的基础我们讨 论和运用的矩阵对角化多为一个矩阵的对角化：如文献 1 5 ，1 6 及一般的高等代数 2 1 背景和引言 矩阵分析矩阵论教材但在实际应用中经常会遇到两个矩阵同时合同对角化或同 时相似对角化的问题文献 1 7 ，1 8 对两个矩阵可同时相似于对角矩阵的问题有所讨论， 但内容较少本文后半部分讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或 充要条件，由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件，并给出两个矩阵同时合同对 角化和同时相似对角化的算法 3 湖北大学硕士学位论文 2 正规矩阵的判定 定义2 1 1 9 1 设彳= ( a i i ) 为一复矩阵，即aem 。，若爿+ a a a ，则称彳为复正规矩 阵，其中a + ；孑r 类似地，若彳= ( 口， 。为一实矩阵，即a m 。俾) ，若a r a = a a r ，则称 a 为实正规矩阵 显然，对角矩阵，h e r m i t e 矩阵( a + = a ) ，反h e r m i t e 矩阵( a = 一a ) ，酉矩阵 ( a + 。a 。1 ) 都是复正规矩阵；对称矩阵( a r = a ) ，反对称矩阵( a 丁一一a ) ，正交矩阵 ( a r ；a 。1 ) 都是实正规矩阵所以正规矩阵是比以上几类矩阵范围更为广泛的矩阵类 定义2 2 1 9 1 ( y + y ) 2 是y c “的e u c l i d 长度 本部分分别从正规矩阵的定义、矩阵对角化及特征值特征向量、矩阵实部和虚部、 矩阵分解及谱分解几个部分分析给出正规矩阵的充要条件 引理2 11 1 9 j ( s c h u r 定理) 已矢i i a e m 。有特征值九，a 2 ，a 。，它们按任意规定的次 序排列，那么存在一个酉矩阵ue m 。，使得 u a u = t = 【t ，】 是具有对角元气= ，i = 1 2 ，刀的上三角矩阵，即每个方阵a 酉等价于其对角元依次是 a 的特征值的三角矩阵此外，如果彳m 。僻) ，且彳的所有特征值都是实数，那么，可选 择u 为实正交矩阵 由正规矩阵的定义，我们可以得出以下几个充要条件： 命题2 1 矩阵么m 。是正规矩阵，当且仅当彳+ c d 是正规矩阵，其中口c 是给定 的，是单位矩阵 命题2 2 矩阵么m 。是正规矩阵，当且仅当对所有z c ”，a x 与彳+ z 的e u c l i d 长度 相同 证明号) 由i 匆1 2 = ) + a y = y a + a y ，p + y 1 2 = 一y ) a y = y a a y ，又因为彳是正 规矩阵，n a a = a a ，) a 而a y l 2 = j 彳e 1 2 ，l 砂i l i 彳 y l ，结论成立 每) 因为a x 与a 。x 的e u c l i d 长度相同，所以) 匆 ；妇) ，) a y ，即 4 2 正规矩阵的判定 ) ，+ 么+ 母一y a a y ，y 似a a a ) ya 0 ，由) ，的任意性知4 a a a = 0 ，则a 是正规矩阵 命题2 3 已知矩阵彳m 。是正规矩阵，当且仅当对所有工，) ，c ”有 ) ( a y ) 一o z ) 似+ y ) 证呀j ) 若矩 蜂- a e m 。是正规矩阵，则a aa 朋+ ， ( 彳x ) + ( a y ) zx a + a y 一石a a y = 似z ) o y ) 乍) ( a x ) ( a y ) ；x a + 匆，( a x ) 似+ y ) 一x 朋y 由似) ( a y ) 一似+ x ) 即y ) ，则知 x + 么+ 匆。工朋y ，x + 似a a a ) y ；0 ，由xy 的任意性知a + 彳一朋一0 ，则a 是正规矩 阵 命题2 44 m 。( c ) 是正规矩阵的充要条件是朋一a + a 皂0 证明号) 若a 是正规矩阵，由定义知a a = a a ，即朋一a a o ，从而 朋+ 一a 。么之0 仁) 若朋+ 一a a20 ，即朋一a a 半正定，由护一彳) 。0 ， a 而a a 一a + a10 ， 即a 是正规矩阵 从正规矩阵的对角化，特征向量方面分析可给出如下充要条件： 定理2 1 2 0 l 以阶复方阵a 是正规矩阵的充要条件是a 与对角矩阵酉相似，即存在 存在n 阶酉矩阵u ，使得u + a u = d i a g ( a 。，九，九) ，其中厶，a ：，九是a 的n 个特征 值 定理2 2 2 1 1 设彳m 。俾) ，a 为正规矩阵的充要条件是存在实正交矩阵q e r “， 使得 q r a q a l 0 o 0 o 其中七s 刀，每个4 是实1 1 矩阵或形如 5 0 ： 0 4 e m 。俾) ， 湖北大学硕士学位论文 妒 0 ，讣驴2 推论2 1 设九，a ：，九为n 阶复矩阵彳= 0 甜) 的特征值，则a 是复正规矩阵的充要 条件是，孙i ；酗i = 护+ ) 推论2 2n 阶复矩阵a 是正规矩阵的充要条件是a a 的全部特征值为 i 九1 2 ，l a ：1 2 ，l 九1 2 ，其中九为4 的特征值 推论2 1 、2 2 的证明必要性由定理2 1 可得，充分性由引理2 1 的s c h u r 定理可 得 推论2 3 矩阵ae m 。是正规矩阵，当且仅当a 的每个特征向量也是彳的一个特征 向量 证明号) 由定理2 1 ，存在珂阶酉矩阵u ，使得u + a u d i a g ( , ；q ，a ：，九) ，其中 九，a ：，a 。是a 的，1 个特征值则u + a + u d i a g ( , 一九，五，元) 把u 按列分块 u = ( u 。，u ：，u n ) ，由以上知，彳u = a 阢，a u = 五u ，o = 1 2 ，甩) ，即a 与a + 有相同 的特征向量 仁) 显然 推论2 4 矩阵a e m 。是正规矩阵的充要条件是，a 有，1 个相互正交的单位向量作 为它的特征向量 推论2 5 矩阵4 m 。是给定的矩阵，则a 是正规矩阵，当且仅当存在次数至多为 以一1 的多项式f ( a ) ，g ( a ) ，使得彳；，似) ，彳一g ( a ) 证明因为a 是复正规矩阵，故由定理2 1 知存在酉矩阵u ，使得 a u d i a g ( 凡，t ，九) u 不妨设厶，九，人为所有彼此不同的根，当然五，五，五也彼此不同，令 鼬，= 骞 等等黪揣尚等 6 2 正规矩阵的判定 易验证 g ( a ) 一v d i a g ( 厶，九，九渺一a 命题2 5 1 矩阵彳m 。是正规矩阵的充要条件是，存在由a 的拧个特征向量组成 的标准正交基 命题2 6 矩阵彳m 。是正规矩阵，当且仅当它与一个具有互异特征值的正规矩阵 口j 父抉 从正规矩阵的实部和虚部分析可得： 命题2 7 定义日似) 一吾+ 4 ) 为彳膨。的h e m i t e 部分，而s 似) = 三似一彳) 为 a 的斜h e r m i t e 部分，那么a 是正规矩阵当且仅当h 似) 与s 似) 可交换 证明辛) 由定义 日似沁似) ；i 1 _ + 彳+ ) 三似一么+ ) = i a - 朋+ 彳彳一似) 2 】， s 似矽似) | z 1 - ( a - a ) i z ( a + 爿+ ) = 三阳2 + 以 - a a - 。) 2 】 若a 是正规矩阵，由定义知a a a a 。，可知 日似芦似) 。4 a 2 一o ) 2 卜s 似渺似) ! 命题2 8 2 2 1 矩阵彳m 。( c ) ，设h o 么) 2 ，则彳是正规矩阵的充要条件是 阻1 2 。( 竽) 2 + ( 等) 2 命题2 9 t 2 2 1 拗2 一朋，c 2 一a a ，则彳是正规矩阵的充要条件是b ，c 与a 的实 部p 专笙 可交换 从正规矩阵的分解谱分解分析有： 定理2 3 2 3 1 设n 阶复矩阵彳有，个相异的特征值 ，a ：，a ，则彳为正规矩阵的充 要条件是存在，个矩阵。，e ：，e ，使得 n 2 善栌， 7 湖北大学硕士学位论文 ( 2 ) e ；e ，= e ； ( 3 ) e ，e k 一0 ，( ，k ) 似荟铲， ( 5 ) 满足上述性质的e ，是唯一的 ( 6 ) r a n k ( e ，) = n 命题2 1 0 【2 2 1a e m 。( c ) 是正规矩阵的充要条件是对任意自然数七，存在正规矩阵 b ，使得a = b 命题2 11 2 2 1ae m 。( c ) 是正规矩阵的充要条件是，a 可分解为a h u = u h ，u 为酉矩阵，日为半正定h e r m i t e 矩阵 另外还有余下结论： 命题2 1 2 矩阵彳m 。是正规矩阵，当且仅当存在酉矩阵y m 。，使得彳= a v 命题2 1 3 如果彳m 。僻) ，且彳的所有特征值都是实数，则矩阵a 是正规矩阵，当 且仅当它是对称矩阵 命题2 1 4 【2 2 】矩阵彳m 。是正规矩阵，当且仅当酉等价于a 的每一个矩阵都是正 规矩阵 命题2 1 5 2 4 1 设么= ( ) 是实正规矩阵的充要条件是 荟口诸口业2 荟a , a a k j ( f ，- = 1 ，2 ，1 ) 8 3 正规矩阵的逆特征值问题 3 正规矩阵的逆特征值问题 ，该部分在实数域中讨论记s 。t 臼尺4 ”4 , 4 r 一彳t 彳 为正规矩阵集合 3 1 问题的提出 该部分讨论如下几个问题： 问题1 给定特征向量矩阵x e r “七以及特征值矩阵人一d i a g ( , k ，a ：，九) ( ，墨k 墨拧) ，求矩阵ae s 。，使 a x 。x a ， ( 3 1 1 ) 问题2 给定xe 彤地，b e r 础( rsks 刀) ，求ae s 。，使 a xtb ，( 3 1 2 ) 问题3 给定矩阵彳尺，求ae s ，使得 l k 一彳l l i 悯m i n i r _ b 1 彳0 ( 3 1 3 ) 其中s e 为问题1 的解集合 当b x a 时，问题2 即为问题1 ，问题1 是问题2 的特殊情形首先考虑问题1 有解 的条件，得到解的通式当问题1 有解时，研究解集合对给定矩阵的最佳逼近问题3 ，证明 最佳逼近问题解的存在性，并给出一般解的表达式本文考虑了问题1 、问题2 有解的充 分条件及解的表达式及问题3 有解的证明 3 2 问题1 有解的条件及解的表达式 引理3 2 1 【1 1 设x 是t k 实矩阵，则存在，l 阶正交矩阵【厂和k 阶正交矩阵y ，使得 一r 扣- u f o v rf f iu t 峨2 1 ， 其中一d i a g ( o - ，盯：，仃，) ，o r ， o g = 1 ；2 ，) ，= r a k ( x ) ，u 一缈，u 2 ) e o r 棚； v = 眠v ：) e o r h ，u le r “，ke r h r 记零一0 s 。a x 一姒) ，则问题1 转化为求中非空的条件及中中元素的表达式 定理3 2 1 给定x 尺? ”，a = d i a g ( 九，a ：，九) r sks ，1 ) ，且设x 的奇异值分解 为( 3 2 1 ) 式，则m 非空( 问题1 有解) 的充要条件是 湖北大学硕士学位论文 嵋a v , e e s ，v l r a v 2 = 0 且m 中元素通式( 问题1 解的通式) 可表示为 叫k 7m。1中2舢+u2a22u0 a ；， i，i 。 其中a ：e s 是任意的 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 证明必要性设西非空，则存在彳s 。，使( 3 1 1 ) 式成立，将( 3 2 1 ) 式代入得 彳u 乏暑 y r = u 磊三 矿r 人 通过左乘u r ，右乘y 得 u r 彳u 毛暑 = 乏v r a v = 彳k k 0 ，八k c 3 2 4 ， 令 2 陵 将( 3 2 5 ) 代入( 3 2 4 ) 通过计算有 彳z 。= 0 ，彳，= k r a k ，k r a v ：= 0 营e r a v 2 = 0 由于彳s 。静h s 。，即得h r h = h h r ， 陵曼聆a 1 2 ；坛卦 因此 a r a l 。= 彳1 1 彳矗+ 彳1 2 爿五 两边取迹，因t r a 矗a 。= 蒯，。彳二 所以 得 t r a l 2 铭= 0 a 1 2 = 0 ( 3 2 5 ) 又因为h 为正规矩阵可知a 。，a ：为正规矩阵，根据( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ，则有条件 ( 3 2 2 ) 成立 充分性若( 3 2 2 ) 成立，令 1 0 1_-_i-j 圮 丝 爿彳 3 正规矩阵的逆特征值问题 彳；u 【k 7 a o k da ：】u r ，么忿瓯一， l，l 。 易证彳s 。，且满足肛= x a ，即a e ，则非空利用m o o r e p e n r o s e 广义逆的性质， 通过计算，便得问题1 正规矩阵集s 。上的通解( 3 2 3 ) 证毕 推论3 2 1 【1 1 1 对于给定的x 和a ，若有奇异值分解( 3 2 1 ) ，则问题1 有解的充分 条件是 x tx at 蜮l x 此推论就变成了正交矩阵集a o r 期上问题有解的充要条件 3 3 问惑2 有解的条件及解的表达式 记l 薹，。 彳瓯a x 一口) ，问题2 转化为求平非空的条件及1 l ，中元素的表达式 定理3 3 1 给定x 一群“，曰r 础( ，s 七s 以) ，x 有奇异值分解式( 3 2 1 ) 且 u ；四k ，0 ，则集合掣非空( 问题2 有解) 的充分必要条件是 b b x + x ，v b v , 孓1 s ， ( 3 3 1 ) 一 且w 中元素通式( 问题2 解的通式) 可表示为 4一uw曰k。1墨】ur，如sn0 一， c 3 3 2 ， l以，i 。“1 证昵必要性由x ( t 一只，) - o 可得 i 陋一艿旺一心b r x r a r + u o ，矿幢 一k b r x r a r l i ( ，一o ，) 矿旺 利用x 的奇异值分解( 3 2 1 ) 及范数的正交不变性有 眇r i i = l i 蚓叫n u 阵： - u r b v 乞 记u r 彳u 2 乏乏】，u r 口y2 乏： 行列都是按，- ，l 一，进行分块的 b 2 1 ， ( 3 3 4 ) & zj 湖北大学硕士学位论文 将( 3 3 4 ) 代入( 3 3 3 ) 得 设a e t l j ，则 由此可得 ( 3 3 5 ) 显然 由条件 i i o 一暇，) 幢一0 4 。一置。旺+ 0 4 ，一色。旺 1 4 。一圳，= 0 ，一b ：。0 ，一o ，) 曰r | j ，= 0 从( 3 3 5 ) 式可得 故有 a e s 。营u r a u e s 。 b ：。= u ；曰k = 0 4 。；b 1 。，4 。= 垦。，b = b x + x -j- a ：。一= o 睫曼聆扑r a 2 1 a 至彳0 纠 因此 彳矗a i 。= a 1 l 以+ 彳1 2 么三 两边取迹，因 f r 似二彳，。) = 护( 彳。，) 故 所以 圳：彳互) = 0 a 1 2 0 由( 3 3 4 ) 式知且，一u , v l 从u 丁a v 为正规矩阵可知4 。，彳：为正规矩阵，即 a 1 1 = u t b v i 一1 s ，彳2 2e s ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 充分性i 发b = b x x ，u t b v i 一1 s ，则( 3 - 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 式成 立，令 彳= u w 口髻。1 则a v ，即掣非空( 问题2 有解) p 舻 推论3 3 1 1 4 1 对给定的x ，曰问题2 有解的充分条件是x r 石= b r b 1 2 3 正规矩阵的逆特征值问题 3 4 问题1 ，2 有解的充分必要条件 引理3 4 1 1 1 给定x ，b e r ，且设x 的奇异值分解为( 3 2 1 ) 式，则问题a x ；b 在尺内有解的充分必要条件是b x + x b ，且有解时解可以表示为 a = b x + + 彤；，v y e r 刖。” 引理3 4 2 t 2 5 1 设x ，b e r “，且设x 的奇异值分解为( 3 2 1 ) 式，则a x 。b 在 a s r “上有解的充要条件是 且解的通式为 b b x + x ，x f b 。一b r x 瞄至：一_ i v l t c 矿p i + 一( b x + ) r u x x + ) + u 2 c u 芋 ，v c a s r t - ，) 砌- r ) 定理3 4 1 设xer ，记q r x x 11 ；l ，q r 8 。 x 。i 降：卜r 甄 ： b k ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ，z ；的奇异值分解式为 其中，一d 砸g ( q ，吼：，) ，o r ， 0 o - 1 , 2 , ，七) ，= r a k ( x ；) 其中 u 一似lu j 2 ) d 足“；vt 化lk 2 ) s o r ，u n r “m ，k 。尺n ，o = 1 , 2 ，七) 则 问题1 ，2 有解的充要条件是： 曰，一b , x t x j ，x t b , 一一b i r x f 证明对v a s 。，由定理2 2 ，存在实正交矩阵q e r ”“，使得 q r , 4 q 一 其中ks n ，每个是实l x l 矩阵或形如 a l 0 0 o 1 3 0 ： 0 4 尺”， 湖北大学硕士学位论文 彳，2 0 ，耋： 彳娘“ l 陋x b 旷2 f l q r q 彳l 彳。q r x - q r b = 砉“4 x ，一e 由引理3 4 2 知爿，x ，= b i 在s 。上有解的充要条件是 b ：| b i x t x i x r ib i = 一b i tx i 证明因为忙一矧= m i n 等价于忙一彳| 1 2 = m i n ，而1 1 | 1 2 是矩阵的连续函数由定理 3 2 1 可知，问题l 的解集是尺中的有界闭集，由闭集上连续函数的性质，l 陋一矧2 的最 1 4 4 正交矩阵的左右逆特征值问题 4 正交矩阵的左右逆特征值问题 正交矩阵作为正规矩阵的特殊矩阵，其逆特征值问题文献 1 4 已经作了比较全面的 研究，而对其左右逆特征值问题还没有人研究，本部分对其左右逆特征值问题进行讨论 问题4 给定y ，b ，z ，d e r “，求c e o r ，使得 c y = b l z 显然b y a ，a = d i a g ( r a ，a 2 ，a 。) ，d ；z ，弘一d i a g ( # l ，j c l 2 ，。) 时，问题就是正交 矩阵的左右逆特征值问题 问题4 的更一般提法为： 问题4 给定y ，b ，z ，d c r “”，求c o r “”，使得 ，似) 一l i c y 一曰1 1 2 + z r c d f i l 2 = m i n 若取b y a ，a d 缸g ( 九，a 2 ，九) ，d = z j c l ，= d i a g ( 1 a ，2 ，肛。) ，厂o ) 一0 ，贝0r 1 题就是正交矩阵的左右逆特征值问题；若取z r 一0 , d r = 0 ，b y a ，则问题即为文献 1 4 孟纯军，胡锡炎，张磊讨论的正交矩阵的逆特征值问题 下面就问题4 进行讨论，文 2 5 1 1 2 6 2 9 分别讨论了c 为实方阵、对称矩阵、正 定矩阵、半正定矩阵、亚正定矩阵、亚半正定矩阵的情形本部分给出c 为正交矩阵有 解的等价条件及通解 引理4 1 【2 5 】【3 0 1 设y ，b ，z ，dc r “”，cc r “，y ，z 的奇异值分解为 弘u 毛吕 v r = u 1 口 ) z - q 醐，2 q i f p l r 2 ) 其中u ；( u 1 ，u 2 ) c o r “。“；v = ( k ，v ：) e o r “”；u 1c r “”，kc r ”( ，= r a n k ( y ) ) ； 9 - 一( q i ，q 2 ) c o g ”；p 一( 毋，最) 0 r “”；q lc r “埘，p ic r ”灯o ；r a n k ( z ) ) ； = d 谊g ( t x a ，a 2 ，仃，) ( 呸 0 , 1 - c is r ) ；f = d i a g ( r 。，) ，2 ，) ，) ( y f o ，1sisf ) 则 c y = b ，z r c = d r 在r 上有解的充分必要条件是 湖北大学硕士学位论文 b y + y b ，d z + z = d ，z r b d r y ( 4 3 ) 若条件满足，通解可表示为 c b y + + ( z r ) + d r ( ，一y y + ) + q 2 e u ；，v ee r ”。” ( 4 4 ) 引理4 2c 3 1 】设y ，b e r “”，则c y b 在o r 上有解的充分必要条件是 y y t | 8 tb 若条件满足，且y ，曰有如下正交三角分解： y = u 苫吕v r , b = q 舍暑 y r ( 4 5 ) ( 4 6 ) 其中u = ( u l ，u ：) ，q = ( q ，q 2 ) d r ”“，v - ( k ，) e o r 刷”；u l ，q i 尺“7 ，ke r “7 ，r 为，阶对角元为正的上三角矩阵，一r a n k ) ，则解的通式为： o r ( ”7 ) 。( “一7 ) ( 4 7 ) 有解的充分必要条件是： 】，r y ；b r b ，z r z ；d r d ，z r b ：d r y 若条件满足，且y ，b 有( 4 6 ) 式正交三角分解，u ；d ，q ；z 有正交三角分解如下： 咖叫毛三 f rq 弘l 降妒 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 基中日= ( 日1 ，h 2 ) ，l = 犯，2 ) e o r p 啦扣，) h 1 ，l 1e o r ”棚，fe o r ”，为f 阶对 角元为正的上三角矩阵，t = r a n k ( u ；d ) ，则解的通式为： 即 删 乞私她 删一忪酬州- f ) ， 1 6 4 正交矩阵的左右逆特征值问题 c ；b y + + ( ，一b b + ) z ( 【，2 d ) + u ；+ q 2 2 肼2 t 【，2 t ， v ke o r n 一7 - f ) x o 一7 q ) ( 4 1 2 ) 证明必要性设式( 4 8 ) 有解，则存在正交矩阵c ，使c y = b ，z r c ：d r 分别成立， 所以有8 r b = y f y ，d r d ；z r z ；又知解为公共解，所以有d f y ：z r 日，从而( 4 9 ) 式 成立 充分性若条件( 4 9 ) 满足，且y ，b 有( 4 6 ) 正交三角分解，由引理4 2 知，c y b 有解( 4 7 ) ，将( 4 7 ) 代入z r c ；d r 得， 即为 可得 z r q 乞虽 2 。r u ， ( z r 舭叫确。p t u l , d t u 2 ， z r q l 一d r u l ， z 丁q 2 g = d r u 2 ， ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 由式( 4 9 ) 中z r j 5 i = d r y 及式( 4 7 ) 可得( 4 1 3 ) 成立由式( 4 9 ) 中z r z ；d r d 及( 4 1 3 ) 可得 z t q 2 ( z r q 2 ) r d f u 2 p r u 2 ) r 由引理4 2 知( 4 1 4 ) 中g 在o r ”7 。”7 上有解，且u ；d ，q ；z 有式( 4 1 0 ) 正交三角 分解，则g 的通解0 为 弛 矿坛酬叫咖：h ) ( 4 1 7 ) 从而，可得通解( 4 1 1 ) 又q 1 u 。r = b y + ，q ：q ；= ，一q 1 q f = ，一b b + ，即得( 4 1 2 ) 1 7 湖北大学硕士学位论文 5 矩阵同时对角化问题 5 1 两个矩阵同时合同对角化 定义5 1 1