（理论物理专业论文）φ—映射拓扑流理论、拓扑量子力学与相对论系统中的涡旋及其分岔.pdf

内容摘要 本论文利用段一士教授提出的中 映射拓扑流理论和规范势分解理 论讨论了拓扑量子力学和拓扑场论， 并利用拓扑量子力学方法研究了 相对论时空中的 拓扑激发 涡旋( v o r t ic e s ) 的 拓扑结构。 首先，我们详细的给出了。 映射拓扑流理论的数学结构，并且讨 论了。 映射拓扑流的分岔理论。 其次，利用拓扑量子力学方法揭示出几何规范势、电 磁规范势和 速度场具有相同的内部结构并研究了 它们的拓扑性质。 运用u (1 ) 规范 势分解我们可以 看出几何规范势、 电 磁规范势和速度场之间只有系数 的区别。 第三，我们简要的介绍了拓扑缺陷的形成与序参量空间对称性自 发破缺之间的关系。 最后，我们应用中 映射拓扑流理论和u ( 1 ) 规范势分解理论研究了 相对论性u ( 1 ) v o r te x 的拓扑结构。我们采用的模型是将真空看成非线 性介质， 采用了 满足对称性破缺的g in z b u r g - l a n d a 。 型拉氏 量。 应用拓 扑量子力学我们研究了该系统分别在( 2 + 1 ) 维时空和( 3 + 1 ) 维时空中的 相对论性u ( 1 ) 涡旋( v o r t e x ) 的拓扑结构， 并且根据。 映射拓扑流理论的 分岔理论研究了这两种情况下涡旋的分岔理论。 我们发现涡旋产生于 序参量场的 零点， 并且当d ( o l x ) 二 0 时， 涡旋 在零点处会发生劈裂 ( s p l i t ) 与汇合( m e r g e ) . a b s t r a c t i n t h i s t h e s i s , w e h a v e s t u d i e d t h e d e c o m p o s i t i o n t h e o ry o f u ( i ) g a u g e p o t e n t i a l , a n d h a v e u s e d t h e 0 - m a p p i n g t o p o l o g i c a l c u r r e n t t h e o ry p r o p o s e d f i r s t ly b y p r o f . yi- s h i d u a n t o s t u d y t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f u ( 1 ) r e l a t i v i s t i c v o rt i c e s . f i r s t l y , t h e 0 - m a p p i n g t o p o l o g i c a l c u r r e n t t h e o ry i s p r e s e n t e d . w e a l s o d i s c u s s e d t h e b i f u r c a t i o n t h e o r y o f t h e 0 - m a p p i n g t o p o l o g i c a l c u r r e n t t h e o ry . s e c o n d l y , t h e t o p o l o g i c a l q u a n t u m m e c h a m i c s i s p r e s e n t e d w i t h t h e d e c o m p o s i t i o n t h e o ry o f u ( 1 ) g a u g e p o t e n t i a l . w e s h o w t h a t t h e g e o m e t r i c a l g a u g e p o t e n t i a l , e l e c t r o m a g n e t i c g a u g e p o t e n t i a l a n d v e l o c i t y f i e l d p o s s e s s t h e s a m e i n n e r s t r u c t u r e . t h i r d l y , w e d i s c u s s e d t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e f o r m a t i o n o f t o p o l o g i c a l d e f e c t s a n d t h e s y m m e t ry b r e a k i n g o f t h e o r d e r p a r a m e t e r s p a c e i n b r i e f . l a s t l y , u s i n g t h e - m a p p i n g t o p o l o g i c a l c u r r e n t t h e o ry a n d t h e d e c o m p o s it i o n t h e o ry o f u ( 1 ) g a u g e p o t e n t i a l , w e s t u d i e d t h e t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f u ( 1 ) r e l a t i v i s t i c v o rt i c e s . o u r m o d e l i s t o t a k e t h e v a c u u m a s a n o n l i n e a r me d i u m, w e d i s c u s s e d t h e v o rt i c e s b a s e d o n a l o r e n t z - i n v a r i a n t g i n z b u r g - l a n d a u l a g r a n g i a n . we s t u d i e d t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f r e l a t i v i s t i c v o rt i c e s i n ( 2 + 1 ) - d i m e n s i n a l a n d ( 3 + 1 ) - d i m e n s i n a l s y s t e m s . i t i s s h o w n t h a t t h e v o rt i c e s a r e g e n e r a t e d f r o m 0 = 0 d ( 刀x ) ， 0 a n d t h e t o p o l o g i c a l c h a r g e s a r e q u a n t i z e d u n d e r t h e c o n d i t i o n a t t h e z e r o p o i n t s o f t h e o r d e r p a r a m e t e r 0 w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g j a c o b i a n d e t e r m i n a n tv a n i s h e s , t h e v o r t e x t o p o l o g i c a l c u r r e n t b i f u r c a t e s a n d t h e v o r t i c e s s p l it a n d m e r g e a t s u c h p o i n t . 原 创 性 声 明 本人郑重声明:本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数 据、 观点等， 一 均已明 确注明出 处。 除 文中已 经 注明 引 用的内 容 外， 不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由 本人承担。 论文作者签名准此 象目 日 期 : - l 年 期 i oa- 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅;本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名: 汹 、 甲 尸 ， 导师签名:夕，七日期: 2 0 0 f ; ,j , 兰州大学研究生学位论文 第一章前言 在现代物理学的发展历史中，几何与拓扑是物理学家们最重要的工具之一。 物理学与几何和拓扑学的发展往往交织在一起， 相互影响， 相互作用结出了丰硕 的果实， 成为当代科学史上的奇观. 在二十世纪， 经过早期的量子力学、 相对论 和量子场论的成功应用以后， 物理学面临着一些艰难的数学问 题。 为了 解决这些 问 题， 传统的分析工具己 经不再足够， 为此物理学家们引 入了 新的 数学工具 拓扑学。 这种情况在最近的二十年里尤其突出， 在高能物理领域里面人们己 经发 展出了一系列处理拓扑的新方法， 使人们对四维几何、复流形、 扭结理论、 黎曼 几何、辛几何和代数几何等领域的认识更加深刻.这个方面最著名的例子是数学 家和物理学家共同参与的对四维流形拓扑的 研究:首先是数学家s .d o n a l d s o n 1 于 1 9 8 3年通过对量子场论中瞬子的研究得到对四维流形拓扑有重要意义的 d o n a l d s o n 定理以及相应的d o n a l d s o n 不变量; 1 9 8 8 年物理学家e d w a r d w i tt e n 2 基于b r s t 超对称拓扑场论得到了同 样的不变量。1 9 9 4 年。 s e i b e r g 和w i t t e n 发 现了 这一理论中的强弱对偶性，发展了 一套对物理学家看来比 较容易的的理论， 即s e ib e r g - w i tt e n 理论 3 . 这个理论比 较而 言 更加容易 被物理学家掌握， 而且人 们认为是与d o n a l d s o n 理论等价的。 当然， 几何与拓扑在理论物理中的应用不止这些.二十世纪物理学的主要进 展是与几何 学紧密的联系在一起的。 众所周知的例子是e i n s t e i n 创立的广义相对 论， 它把引力解释为时空的弯曲， 其数学语言就是黎曼几何。 在上个世纪的下半 叶引人注目 的成就是规范场理论，规范理论成功的描述了基本粒子的相互作用， 而规范场可以看作是主丛上的联络。 当然后来证明广义相对论也是规范理论。 不 论是广义相对论还是规范理论， 采用的数学语言都是微分几何描述的， 此时， 流 形上的微分结构都在其中起到了框架性的作用， 微分几何的基本对象: 联络与曲 率在这些物理理论里都又相应的动力学对应。 复结构的引入使得微分几何的内容 更加丰富多彩， 也在物理学的领域内大显身手， 如在超弦理论中代数几何的地位 日 益显著， 而在多余维数由十维到四 维的约化中c la b i - y a u 流形 4 ,5 起到了关键 的作用。现代几何学在理论物理前沿应用的更加多姿多彩的例子是非对易几何 6 ，非对易几何是无点的几何， 其每个点的n个坐标不能同时被确定，即其 n 个坐标相互不可交换: x , x = b $ 0 一个经典的例子是量子力学中的相空间: s , n = h s , 在当前的超弦理论，m 理论中都含有多个标准非局域性的参数，其简单极限必 然为非对易规范理论。 另外在量子场论中发散困难与重整化也常与非对易几何的 分析相关。 在经典及量子统计中， 都需要引进若干特征长度， 都可以采用非对易 几何进行分析。 拓扑学方面，量子场论中的经典例子是孤子和瞬子的经典运动方程的拓扑非 平庸解 7 , 6 2 , 6 3 、 代数拓扑、 微分拓扑起到了 非常重要的作用; 现代物理中应用 到拓扑学原理的另外一个广阔的领域是与a t i y a h - s i n g e r 指标定理 8 有关的。 在 量子场论中， 讨论经典场的量子化问题时， 遇到在欧几里德作用量的稳定点周围 的涨落问题。 用数学术语来说， 此即椭圆微分算子的本征值问题， 本征值的分布 兰州大学研究生学位论文 反映了所讨论的体系的拓扑性质与度规性质。 鼓的形状及膜的厚薄决定了 鼓的声 音，反过来，一个振动膜的面积， 边缘的长度， 膜的厚薄， 洞的数目 等可由它的 振动谱得到。 亦即非常可能“ 听到鼓的形状” ， 此即相当 于指标定理。 a t i y a h - s i n g e r 指标定理表明作用在纤维丛截面上微分算子的解析性质与纤维丛本身拓扑性质 间密切相关。 此定理在现代场论中得到广泛的应用， 例如研究费米子与规范场的 相互作用，指标定理将费米子谱与所在外部规范场的大范围拓扑行为联系起来， 将量子场的解析性质与背景场的拓扑性质联系起来。 另外的例子是在量子场论中 规范反常的处理中， a t i y a h - s i n g e r 指标定理的普 遍应用， 物理学家经 过多 年的 研 究分析， 逐渐相信反常的存在与微扰理论无关， 反常具有非微扰的拓扑根源， 反 映了自 然界更深刻的本质。 如果我们采用路径积分量子化， 将规范势非微扰地看 成经典背景场，可以明 显地看到反常的拓扑根源，与a t i y a h - s i n g e r 指标定理相 关。 在这些领域内， 物理上场的解析非微扰解与拓扑的联系中， 数学上都有一些 相应的定理与之对应。 ，他们已经成为物理学家处理相应物理问题必不可少的工 具了。 除此之外， 拓扑被应用到物理学的广大的其它领域中， 如凝聚态物理和宇 宙论中广泛存在的拓扑缺陷:如超导、超流、b e c现象中的涡旋、宇宙论中的 单极 ( n o n o p o l e s ) 、畴壁( d o m a i n w a l l s ) 、宇宙弦( c o s m i c s t r i n g s ) 9 , 1 0 , 量子力 学中的a h a r o n o v - b o h m效应 1 1 、 经典以及量子物理学中的b e r r y 相位 6 5 , 6 6 , 拓扑量子场论( t o p o l o g i c a l q u a n t u m f i e l d ) 1 2 , 1 3 = 总而言之，几何学与拓扑学在物理学中的应用已 经非常重要，它们对物理学 的发展起到了巨大的推动作用。 与此同时， 物理学也不断的向数学提出新的问题， 为数学提供养料，促使数学不断的发展。 传统的拓扑理论在处理拓扑缺陷的问题上应用的是代数拓扑中的同调和同伦 理论 1 4 ) ， 但是它们只是代数的， 几乎不能给出物理上常见的分布形式的拓扑缺 陷的流， 或者其它一些分布形式的物理量， 然而这些物理量是十分重要的。 传统 的理论只适合于对拓扑缺陷进行分类，对上述的流只能另作假设。 如何实现对拓扑缺陷的分类， 并且同时给出上述的缺陷流形式显得十分重要。 事实上， 上个世纪由 段一士教授提出的必 一 映射拓扑流理论己 经很好的 解决了 这 个问题，并且在物理学的 很多 领域内 取得了成功的应用。沪 一 映射拓扑流理论已 经被应用在研究磁单极的拓扑流 1 5 、 拓扑弦理论 1 6 、旋错和位错连续体的拓 扑 示性数 1 7 , 1 8 、 早期宇 宙时 空缺陷的拓扑结构 1 9 .2 0 , 2 1 1 . g b c 定 理的 拓扑结 构 2 2 , 2 3 . 整数和分数量子h u l l 效应的拓扑结构 2 4 , 2 5 、 太阳黑子的电密度 2 6 . 超导体的伦敦方程的拓扑结构 2 7 、光学波位错的拓扑结构【 2 8 , 2 9 , p 一 膜的拓 扑 流 3 0 , c h e r n - s im o n s 涡旋的 演化 3 1 . 复 合玻色 场孤子的 演化 3 2 以 及m o r s e 理论、 c h e rn - s i m o n s ， 宇宙弦理论中的扭结( k n o t s ) 等等理论上 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 1 ，反铁 磁凝聚体中的拓扑激发 3 7 、 超流中涡旋的拓扑结构 3 8 取得了重要的成果。 在本文中，我们将详细讲述段一士教授提出的必 映射拓扑流理论，并利用它 来研究把真空看作非线性介质时，( 2 + 1 ) 维时空和( 3 + 1 ) 维时空中的相对论模 44 中的涡旋( v o r t i c e s ) .第一章是前言，论述几何和拓扑学在现代物理学中的取 要 作用。 第二章我们详细讨论了沪 映射拓扑流理论。 第三章我们讨论了 拓扑量子力 兰州人学研究生学位论文 学，并且为下面的研究v o r t i c e s 的拓扑机制作为基础。第四章我们讨论了拓扑缺 陷与对称性自 发破缺的关系，并且指出了传统理论中描述v o r t i c e s 的速度场定义 方法的不足之处。 第五章我们研究把真空看成非线性介质情况下， 讨论时空分别 为( 2 + 1 ) 维和( 3 十 1 ) 维情况下相对论模型中的v o r t i c e s 。第六章是总结。 兰州大学研究生学位论文 第二章 0 - 映射拓扑流理论基础 2 . 1 0 一 映射拓扑流理论 令x为一( d + 1 ) 维光滑流形， 该流形的局部坐标为x 0 ( , r = 0 , 1 , ，二 ， d ) ，x 0 = r 。 并设r “ 为一d 维欧氏 空间。 现在考虑从x到d 的 光 滑映 射沪 : 0 : x峥 r ; ( 2 . 1 ) 则d 给出了x上的d 维光滑矢量场: 0 0 = 0 ( x ) , c : = 1 , 2 , . ., d( 2 . 2 ) 通过i 可以 得到单 位矢量 场n 一 ii0ii110112 = 0000 ( 2 . 3 ) 显然n 0 满足归一化条件 求和记号) 。 刀 口 刀 口 二1( 本文利用了对重复指标的e i n s t e i n 很明 显，n ( x ) 是球丛s ( x ) 上的 截面 3 9 。 通过单位矢量场n ( x ) ， 我们可以 构 造 对应 于矢 量 场k x ) 的 拓扑 流j ( x ) j ( x ) = - e .用.n , e - a ( s “ 一 ， ) ( d 一 1 ) !“ ， 与气n . .8 a n ( 2 . 4 ) 上 式 中 、 (s d-1) = 2 7r丫二 是 (d - 1) 维 单 位 球 ; d一 的 表 面 积 。 我 们 将 要 证 明 这 个 拓 /- 2 扑 流只 有在 矢量 场o ( x ) 的 零点 或者是n ( x ) 的 奇 异 点 处 刁 不为 零。 根据 全反 对称 张量的性质容易证明流( 2 .4 ) 是一个守恒流: 8 , j = 0 ( 2 .5 ) 将( 2 . 3 ) 带入到流 ( 2 .4 ) 中，并且考虑对表达式( 2 .3 ) 的 微分: ao 。 _ i 、 o ,n 二 不 fo ii 一 9 一 o ii0 ii ( 2 石) 兰州大学研究生学位论文 可以得到拓扑流具有如下形式: lo(x)=c, e w , - x o , . 。 a .p ”。 。 聂 矗 cg d dl fl; ( 2 . ) 上 面 式 中 的 c d 和 g d (11列 ) 分 别 为 常 数 和 广 义 函 数 形 式 其 中 当 d 2 时 ， c ,， 二 一 i . 4 ( s “ 一 ) ( d 一 i ) i ( d 一 2 ) 当 d 二 2 时 ， 。 二 上; 2厅 而 当 d 2 时 ， 乓( 列 ) 二 a d = 2 时 ， g d ( ih lb = i ii0 iid - 2 i- q l0 lb 。 。 。 。， 。 ， 、 s s s r ， 二， 、 ， 。 ， 。*: 。 n 。 ， 护 a 兀 k 1. 1 ) , ， 凡ui 川 丫 沪 卜 该 七71 4 1.了 g 1- 1 i 口、 一: 。 一d (答 ) = 。 二 “ ， 。 。 ， 二 ，。 、 ， ( 2 . 8 ) 利用护 空间的拉普拉斯算子运算， 可以 得到: ， ， % a ,(g ddi iu) = r ( 彝a c ) ( 2 . 9 ) ( 2 .9 ) 中的 ， a a w a o 0 是必 空间的d 维拉普拉斯算符 4 0 。经过上面的运算我们 得到了定义的拓扑流形式可以写成s - 函数的形式: l / 二 ， ( o ) d 0 ( ) ( 2 . 1 0 ) 由公式可见，该拓扑流只在矢量场m的零点刁有意义。因此，我们必须研究 o ( x ) 二0 的解。 假 设o ( x ) 有n个 零点 ， 分 别记 为y , ( i 二 1 , . , n ) o 根 据隐函 数 理论 4 1 当 零 点戴 为0 ( x ) 的常规极点时，亦即雅克比: 的 a ( o , ， 二 ， 产 a ( x ， 二 ， x 尹 ) ;o ( 2 . 1 1 ) 兰州大学研究生学位论文 此 处 的 雅 克 比 d ( ) =d 0 (乌为 通 常 的 雅 克 比 定 义 。 此 时 ， 对 零 点 方 程 : x x 0 0 ( x ) 二o , a 二 1 , 2 ， 二 ， d( 2 . 1 2 ) 存在唯一的连续解: z ; = 瓦 ( t )( 2 . 1 3 ) z ; ( t ) 是 ( x ) 的 第i 个 零点 的 轨 迹。 假设m为x的d 维子流形， 对应于时间t 其局部坐标为( x i , . . , x d ) ， 而从为m 上z , ( t ) 点的 邻 域， 其边界为o n r , 。 据 此， 可以 定 义高 斯映 射 4 2 : ， : 飒 - -, s d - 1 ( 2 . 1 4 ) 对该高斯映射存在相应的 环绕数( w i n d i n g n u m b e o斌: lv = 1 而 t n (e 即 、 n d n z a .a d n00) (2 .15)a (s d-)(d - 1)! w . 其中 的n 是高 斯映 射的 拉回 映 射 ( p u l l b a c k ) 。 环 绕 数是 一 个 拓 扑 不 变 量， 在 数学 上也 称之 为高 斯 映 射的映 射 度 4 2 ,4 3 。 其 数学 意 义 指的 是当x 环绕a m ， 一 次， 相 应的 单 位 矢 量 场厅 环 绕 单 位 球酬， 的 次 数 为w,次 。 在 代 数 拓 扑 中 ， 环 绕 数w , 相当 于 单 位 球的 第 一同 伦 群g ( s d - 1 ) = z ( z 为 整 数 集 合) 4 4 。 利 用 广义s t o k e s 公 式: ( a m, w ) = ( m, d w ) ( 2 . 1 6 ) 上述的环绕数公式可以写成: w a (s d-)(d - 1)! l ; . a n . a , n 一 “ a, (2 .17) 通过与 推倒公式( 2 . 1 0 ) 同样的步 骤我们可以得到关于环绕数班的紧凑形式: s (j )d ( )d d x( 2 . 1 8 ) 根据s(m) ) 的性质 8 ( ) 二+ 。 当必= 0 s ( 0 ) = 0- ， 0( 2 . 1 9 ) 兰州人学研究生学位论文 我们有 .5 ( 0 ) 8 ( o ) = 十 oo当x = 戴 ( r ) = 0当x x 氛 ( t )( 2 . 2 0 ) 因此我们可以 把s 4( x ) ) 写成关于x 的a 函数形式: ,5 ( 杯 ( x ) ) = 艺c ,5 ( x 一 z , ( r ) ) ( 2 . 2 1 ) 系数c 均为正数， i .e . = ic i l 。 将上式( 2 .2 1 ) 代入到 ( 2 . 1 8 ) ，有: yc , 6 ( f一 : (1 ) )d ( d 二 一 : d (t ) ( 2 . 2 2 ) 所以有: 一 ，wjii d(x)!y ( 2 . 2 3 ) 令iw 一 q， 我 们 可以 得 到 关 于 s ( i ) 的 如 下 展 开 式 : r ， : 、子 q , u i y , j =山 厂一气， 了 u l f一 z , 以) ) 二 ， 】 。 ， 护 . 1 ! 一 、x 1l ) ( 2 . 2 4 ) 上面的戏 称为护 映 射的h o p f 指 数。戏 的 意 义为当 点z 围 绕零点粼0 邻域 一次， 公式( 2 .2 4 ) 携带着拓扑信息戏，是普 通的s wk 数 ( 2 . 2 5 ) zi - (x 占 1一f一x 一d 艺间 一一 矢量 场o 围 绕相 应的 区 域q 次 展开形式: 9 ( f ( x ) ) 通过上面的一系列展开，山 ( 2 .4 ) 定义的拓扑流f , 可以表达为: d ( ) ( 2 . 2 6 ) .|1|we|助 三试习 j 0 一 工/3 , ;5 ( z 一 _ , ( t ) ) d( 其中: 兰州人学研究生学位论文 ( 2 . 2 7 ) +- 一一 军气 码网 - 挤 称 为0 映 射的b r o u w e r 度 。 另 一 方 面 ， 将 解 ( 2 . 1 3 ) 代 回 到 r x ) ， 可以 得 到 o ( t , f , ( t ) ) 二 。 。 据 此 ， 很 容 易 证 明第 i 个零点的运动方程由下式决定: d,;0 _ d x (0 ) d t d (o ) ( 2 . 2 8 ) 于是，拓扑流还可以写成: : 一 n - 。 一 、 (t)x(t ) d ( 2 . 2 9 ) 而拓扑流密度可以表达为: p = l .o = 艺a rl ,a ( x 一 z , ( t ) ) ( 2 . 3 0 ) 上面的 表达式描 述了 运 动于( d + 1 ) 维时空中 的n个携带拓扑 荷9 ; = ,8 , i7 , 的 经 典类点粒子的流与密度。系统总的拓扑荷: q 一 工 p d d x= 艺q 7 , ( 2 . 3 1 ) 定义广义速度场: d x ( 0 v ( x ) = ( 2 . 3 2 ) 月三么产x d( 考虑式( 2 3 0 ) , 则拓扑流 ( 2 .2 9 ) 可以写 成简单并且紧凑的形式; j二 p v 0 , v 0 = 1 ( 2 .3 3 ) ( 2 . 3 3 ) 容易让人联想到在经典电动力学和流体力学中的流形式与我们的拓扑流形 式是一样的， 很是令人们惊叹， 这也说明沪 映射拓扑流理论木身具有的作为个 物理理论的美丽之处。 通过上面的分析我们很清楚的看到沪 映射拓扑流理论自 然的输入了沪 矢量场的 拓扑信 h i . 兰州大学研究生学位论文 2 . 2 0 映射拓扑流理论的分岔理论: 我们知道当雅克比不为零时: ( 2 . 3 6 ) 八钊 护 二怕 !.leseses找 、卫声廿 口劝”一x 了.、 d 零点x 一 忱, t ) ( i = 1 , 2 ， 二 ， n ) 是矢量场的正则点。根据隐函数理论存在唯一的连续 函数解( 2 . 1 3 ) 满足方程( 2 . 1 2 ) 0在下面我们将讨论条件( 2 .3 6 ) 不满足的情况。在实 际问 题中 经常出 现 这种 情况: 矢 量 场 ( x ) 的 零点 包 含有 枝点， 这时 需 要 讨论 拓 扑流的分岔理论。枝点是临界点的一种重要情况。当下列条件满足时: d 0( )x 10.， 一 d ( )x c= n = 。 ( 2 . 3 7 ) 矢量场0 ( x ) ( a = 1 , 2 , . . , d ) 的 零点x = ( z ; , t ) 就 称为枝点。 在护 映射理论中一般存在着两种枝点: 极限点和分岔点【 4 5 1 。 为了 研究这个问 题，把方程( 2 .3 7 ) 记作: l d + i (x i, x 2 , . .，二 ,t) 一 。 (兰 ) 二 0( 2 . 3 8 ) 因此，枝点就可以由d + l 个方程决定: o ( x , x . . . . . . x d t ) = 0 , i = 1 , 2 ， 二 ， d + l( 2 . 3 9 ) 这意味着我们需要解有d + l 个变量x , x z , . . , x 0 , t 的d + l 个方程。 我们将方程的 解 记 做( 2 , , t * ) 对应于 极限 点 或者 分岔 点。 对于 极限 点， 还要附 加 条件: 口 ， (兰 )口. 4 0 ) 而对于分岔点除了 ( 2 . 3 7 ) 还要附加条件: 刀 (兰 )( 2 . 4 1 ) 在下面我们将分别讨论极限点，分岔点和高度退化点处的拓扑流的分岔过程。 a . 极限点处的分岔过程 众 所 周 知 ， 当 雅 “ 比 行 列 式 。 外咧= 0 , “ 通 的 隐 函 ” 定 理 不 再 适 m a 为 了 利 用 隐 函 ” 定 理 研 “ 极 限 “ 的 分 岔 “ “ ， 我 们 假 设 d (- )x 卜 。 ” 以 d i(别 代 兰州大学研究生学位论文 替 通 常 的 雅 克 比 行 列 式 叭纠来 进 行 讨 论 。 这 隐 含 着 用 空 间 坐 标 二 ， 代 替 时 间 参 数t 。为明确起见，我们改写( 2 . 1 2 ) 为: 武t , 万 卜。 考虑到极限点的条件方程( 2 .4 0 ) , 并且利用隐函数定理， ( 2 . 4 2 ) 我们可以得到( 2 .4 2 ) 在 极点(2;,t)的 邻域中 的 唯一解: t = r ( x ) ( 2 . 4 3 ) x = x ( x ) , i = 2 , 3 , . . ., d( 2 . 4 4 ) 这里 有t = t ( z ; ) 。 根 据方 程( 2 .2 8 ) ,( 2 .3 8 ) 和 ( 2 .4 0 ) , 可以 得 到 = d (! )i _ 。 d t c、 1 d (f x ) (; ，) ( 2 . 4 5 ) 也即: ( 2 . 4 6 ) 散 据此， 可以 对 ( 2 .4 3 ) 求得其在点低, t ) 的t a l o r 展开: t = t ( z , ) + d td t d z ( 。 ， (x - z,) + 亏 赫 ( x ， 一 z / 1 ) z ( 哥 ,) d z t (d)c ) 2 ; 一 ) ( ， ， 一 z ,l ) z ( 2 . 4 7 ) 1+-2 也即: 1 d i t 2 ( d x ) ( x ， 一 : ，) ，( 2 . 4 8 ) 上式是在x - t 平面的一条抛物线。根据上面的式子，我们可以得到两个解 x 1 (t ) 和 二 ， (t ) ， 它 们 给 出 了 (2 .1 2 )在 极 点 处 的 分 岔 解 。 如 果 d 1叼.、 ，、 。 ， 我 /( a x) 入 ; 、 ， 、 1i 7 得 到 的 是 ， ， ， 下 的 分 岔 解 。 如 果 护 叼 : 11 1 1、 。 ， 我 们 得 到 的 是 、 。 反 情 况 一。 /( a ) i( _ , j , ) t 无 l j 。 上 面 的 讨 论 没 有 涉 及 到 0 (x , t) .为 了 求 得 在 分 岔 点 (、 ，内 处 一 阶 导 数 呱 的 不同 值。 需 要 讨论 在 分岔 点( , t ) 处o e ( x , t ) 的t a l o r 展开 式。 将 ( 2 .5 1 ) 代入 到 尹( x , t ) 中去， 我们得到了 关于两个变量x 和t 的函数: f ( x , t ) = o 0 ( x , f 2 ( x , t ) , ., f e ( x , t ) ( 2 .5 9 ) 根据( 2 .3 8 ) 在分岔点处f ( x , t ) 必须为零: f ( x , t ) 二 : 0( 2 . 6 0 ) 从( 2 .5 9 ) 我们可以 得到f ( x , t ) 的一 阶偏导数: 豢m + y- o;0.f,，of 气 ( 2 . 6 1 ) 利用( 2 . 5 4 ) 和( 2 .5 5 ) ，方程( 2 .4 9 ) 的第一个可以写为: 兰州大学研究生学位论文 再丸 1 j; f o , 0 j 2 po 2 ( 2 . 6 2 ) 矿刃 矿衅 d - i j j 一;，一 上式利用c r a m e r s 定则可以化简为: 0o d - iz o ld + 艺o j d f d j y 2 d j - 2 a f_ =-( l e t 以 iu a x , , 6 , / ) ( 2 . 6 3 ) 扣价 刀刃 n曰nu二 由 于d e t 口# 0 ， 则 上面的 方程 意 味 着: a f l ， ， 气i=u w 4 . .% ( 2 . 6 4 ) 同样我们可以得到: a fl =u a t 1( . j * ) ( 2 . 6 5 ) 下面我们很容易求出f的二阶导数: 艺川 二 洲十 艺 i 2 汽 d f ,， 十 呜 d i 。 j +( o i,d f l ) f l 一 洲 1， 十 艺 口 汽 d 厂 ， 十 汽 d 厂 ， + 丸 无 ， 十 艺 ( 护 角 d/k 刀 ) 厂 ( 2 . 6 6 ) f - 2j = 2 = 0 + 艺 2 0 , f ,l + 0 , d f l + j d . j * 艺( /a d ./ / f ) ./ f ) j = 2户 二2 立衅磊磊 将它们在分岔点阮, t * ) 的值分别记 做: o z f a =-， 一 二 - 二， 刀 = ( ) c , . 1 a f c 二 a - f a x ia r i_ ，、 i.1 ( a r ) - !: .， ( 2 . 6 7 ) 7 -. 是在考虑到方程( 2 .6 0 ) ,( 2 .6 4 ) ,( 2 . 6 5 ) 和( 2 .6 7 ) ， 则在分岔点( =r 的邻域内f ( x , r 1 3 兰州人学研j i b 上 学位论文 的t a lo : 展开式可以表为: f (一 ，) 一 告 a (一)2 + b (一)( 一 ) + 合 c (一 .)2 + ( 2 . 6 8 ) 这也是o d ( x , t ) 在分岔点( 2 ; , t ) 邻 域的 表 达式。 根据( 1 . 6 0 ) 在分 岔点我 们有: a (x 一 ) + 2b (x 一 )( 一 )+ 合 c (t 一 t ) 2 + 一 。( 2 . 6 9 ) 对 上式的 两 边同时 除以 ( t - r ) 2 ， 并 取 极限 过 程:t it 以 及x - -)i 习我们可以 得 到 下式: ， (丝)2 + 2 b 丝+ c 一 d td t 二0 ( 2 . 7 0 ) 应用同样的方法我们可以得到: c (典)， + 2 b 一 d x . d t 了 + a =0 ( 2 . 7 1 ) 分 岔 点 处 分岔 曲 线 的 不 同 方向 由 (2 .7 0 ) 或 者 ( 2 . 7 1 ) 决 定。 其余 的 分 岔 点 处( z t ) 的 %(i 一 2 ,3 ，二 ，d ) 可 以 通 过 下 面 的 函 数 关 系 确 定 dx= , dx ;- = f - +dt dt ,，一二 2,3, 一 “ ( 2 . 7 2 ) 上面 式子中 的 系数刀， 刃分 别由( 2 .5 2 ) 给出。 通 过 这些 关系 可以 看出由 于 在分 岔 点 处 呱 可 以 取 不 同 的 值 呱(i 一 2 ,3 ,.,d 也 可 以 取 不 同 的 值 . c . 高度退化点处的分岔过程 现 在 我 们 考 虑 雅 可 比 矩 阵 的 秩 为 、 - 2 的 情 况 ( 当 雅 可 比 矩 阵 i呱 的 秩 低 于 d - 2 的 情 况 ， 以 同 样 的 方 法 类 推 ) 。 令d , 一 眺 0 ( a = 1 , 2 , ., d - 2 ; l = 3 , 4 ， 一 ， d ) 为 雅 可 比 矩 阵 。 炫】 的 d - 2 卜 (d - 2 ) 子 矩 阵 ， 并 假 设 d e t d , * 0 出 于 得 到 (2 .5 1 )同 样的理由，我们拥有下面的函数关系: x = f ( x , x 2 , t ) , i = 3 , 4 , ., d ( 2 .7 3 ) 将上式代入到 ( 2 . 1 2 )的最后两个方程，可以得到下面的两个方程: 汽 ( x i , x 7 , f ) = o d - ( ( x , x 2 , f ( x , x 2 , t ) ,， / , ( x , x 2 , t ) , t ) = 0 f 2 ( x , x 2 , t ) = o d ( x , x 2 , f ( x i , x , 1 ) ， .f d ( x i , x 2 , 1 ) , 1 ) = 0 ( 2 .7 4 ) 计算el i 数f 和f 2 对x , x 2 和t 的 微分。 仿 照上一 小节 ( 1 .6 4 ) , ( 1 .6 5 ) 有六个表 达式 兰州人学研究生学位论文 a fa fa f! 万 子 = 0 , 号 = 0 , = 1 = 0 , ( j = 1 , 2 ) ( 2 . 7 5 ) a x , ( ; j 盘一 ic: , .r io x -优6 1 % ) 则 我 们有了 在( z t ) 点的 邻 域内f 和f的 如下t a l o r 展开 形 式: f , ( x , x 2 , t ) = a , ( x ， 一 : ， ) ， + a j , ( x ， 一 z ; ) (x ， 一 2 zz ;) + a , 3 ( x ， 一 z i,) ( 一 “ ) + a 1 4 ( x ， 一 z z i ) z + a s ( x ， 一 : z ; ) ( t 一 t ) 、 一 a j 6 ( t 一 t * ) 2 + 一0 ( 2 .7 6 ) 此 处的 i = 1 , 2 。 当 满 足 下 列 情 况 时凡 , x 0 ,再 。 。 ， 将 上 面 式 子 两 边 除以 (t 一 ” ， 并 取 极 限 峥 t ， 我 们 可 以 得 到 关 于 呱 和z l二 ( d , 丫 . d r d x z ( d l 丫 a， i !+a， -+ a， i 一 一i ” 戈 d t ) d t d ! 一 戈d t ) 去2 +a; , -+a =0 d t ( 2 . 7 7 ) 消 掉 呱 ， 我 们 7yt p g 够 得 到 一z/ t 的 如 下 的 矩 阵 行 列 式 的 方 程 : a ,2 v + 鸡 3鸿 4 v 2 + 鸿 ， 、 ， + 式 0 鸿 ，鸿 2 v + 拭 3鸿 4 v 2 + 鸿 5 v + a i6 a 2 2 v + a 2 3凡 4 v 2 + a 2 5 v + 凡 。0 a 2 1 a 2 2 v + a z3人v 2 + a 2 5 v + 人 ( 2 . 7 8 ) nu 一一 . 月毖且n曰于卜门 月(a( 式 中 的 ， 一 喘 ，这 是 一 个 关 于 v 一 2 / d t 的 四 阶 方 程 : 犷 扩-dt a,篇 ) 。 2) 3 * ( * ( 2 z+ a,( dt ) + az, dt ) + a3