（系统分析与集成专业论文）网络可靠性设计中的几个问题研究.pdf

稿要 摘要 辩终鹣按象结药哥瑗惩强寒攥连，在薅终帮嚣拣魏掰究孛，瓣终一般意义为 蠡一个蠢g = ( k e ) 戮袋密谈点集矿秘遵巢嚣分蒡捌区简 0 ，1 l 翡两个涵数 蛋：v f o ，1 】和l ：e 一| o i l l 构成这两个踊数的假分别被表示怒蠛点和边出 故障的概率网络的可靠废r ( c ，圣，母) 定义为圈g 的璜点和边分别以前，壤为 数障獭辫黼数秘攘援下，隧g 傺耪连通懿概率 爨络筒靠篷浚嚣缘甓眩怒籀在给定囊熏数n ，逡数懿綮嚣下，魏秘糖造 个疆，鬣r ( a ，酝鳓凌菜耱意义下达赘豢夫送努霹鲸研究对予译多瓣终的 设计有熬瓣的指导意义，其缩皋可用在局部阿，濑礴两，甚至在紧密搦裔的多处 理器祭蹴的设计中 零豫定主要舞突了瓣终露耱陵设诗串懿霓拿麓联。 1 论文籀一章务绥了谂交枣涉及黪些蓦零裰念瓣术港，阙终鼍纛畿设话懿磷 究骥获戳及零论文中群褥翻懿妻簧结栗 论文第= 章主要研究了滤必散情况下给定图熊的一科峒部最可嚣网，即r 优蹦，我# 】给出了r 一优蹦的懊耨的结构性璇。随时找到了几族新的r 一傥憋 论文黪三章蘩突了激受效臀溅下绘走蒌类敷一彀黻爨琴靠囊，鲶箍了爨站一 7 , 6 e 墨2 l 霹瑟骞嚣燮秘一致袋穗可靠瑶熬蘩梅，游霹黯匿粪r 西，嚣十) 中 一致辙貔掰靠鹜煎结椅逡褥了分耩，得到了磁较满意瓣缮果， 论文第四章主要研究了对予点失效情况下输怒翻类的一种局部最可嚣瞬， 即熟最大圈。 褰论交鹃纂五章孛，袋稻讨论了一鏊送一步戮燮蟪鬓遴 荚镳谢：惩络爵靠馥，一袋鼹优可靠匿，r 一倪瓣，岛最大遴，s 3 最小溪 a b s t r a c t _。h。_-_-_-_。-_w_一一 一 a b s t r a c t c o 霸s 惠a 弛t w o 文蝉r 聍s e n t e d 谤8 群a 酶穆w i 疆a r 。b a b i l i 秒。fv e r e xf a i l - u r e pa n d a p r o h a b i l i t yo f e d g e f a i l u r eq t h er e l i a b i l i t yo f g ，d e n o t e d b y r ( g ) ，i s t h ec o n n e c t e dp r o b a b i l i t yo f 柚lv e r t i c e si ng t h em a i na i mo fn e t w o r kr e l i a b i l i t y d e s i g ni st of i n dn e t w o r k sw i t hm a x i m u m n e t w o r kr e l i a b i l i t yw i t h 西v e 娃n u m b e r o fv e r t i c e sa n de d g e s r e s u l t so i ln e t w o r kr e l i a b i l i t yd e s i g ni sv e r yi m p o r t a n ta n d h e l p f u lf o rd e s i g n i n gr e l i a b l en e t v m r k i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yi n v e s t i g a t es e v e r a lp r o b l e m sa p p e a r i n gi nt h es t u d y o fn e t ( y o r kr e l i a b i l i t yd e s i g n 融c h a p t e r1 ，a f t e r 黼i n t r o d u c t i o no ft h et e r m i n o l o g ya n dn o t a t i o n se l f f l - p t o y e d 证t h i sp a p e r , w eg i v e 8 u r v e yo nn e t w o r kr e l i a b i l i t yd e s i g na n d 鼗 o v e r v i e wo ft h em a i nr e s u l t s o ft h i st h e s i s i t c h a p t e r2 ，, w em a i n l yi n v e s t i g a t e r - o p t i m a lg r a p l l s w eg i v es e v e r a ln e w s t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fr - o p t i m a lg r a p h sa n do b t a i ns o m en e wr o p t i m a lg r a p h s ， | 娃c h a p t e r3 。f 曲s i m p l eg r a p h s 硒t h p e r f e c t l yr e i i a b l ev e r t i c e sa n d 8e d g e s w h i c hf a i ti n d e p e n d e n t l y a n dw i t ht h es a m ep r o b a b i l i t y 羲w em a i n l yi n v e s t i g a t e t h eu n i f o r m l ym o s tr e l i a b l eg r a p h si nt h ec a u g e 雠篙7a n d6 e 曼2 1 ，a n ds t u d y t h es t r u c t u r eo ft h eu n i f o r m l ym o s tr e l i a b l eg r 婶h so fw i t hnv e r t i c e sa n dn + 4 e d g e s i nc h a p t e r4 ；f o rs i m p l eg r a p h sw i t hep e r f 酾i yr e l i a b l ee d g e sa n d 拈v e r t i c e s w h i c hf a i li n d e p e m d e n t l ya n dw i t ht h es 嗽ep r o b a b i l i t y 热粥g i v es o m en e w f a m i l i e so f & - m i e a m u mg r a p h s w ec o n c l u d et h et h e s i sb yd i s c u s s i n gs o m ep r o b l e m sf o rf u r t h e rr e s e a r c hi n c h a p t e r5 k e v o r d s ：n e t w o r kr e t i a h i l i t y , u n i f o r m l y 斑潞r e l i a b l eg r a p h 。r * o p t i m a t g r a p h ，蕊一m a 。x l m n mg r a p h ，受一m i n i n m mg ! a p h 第一章睹谂 第一章绻论 1 1 孽 富 网络在现代生产，生活中有着非常广泛的成用，如计算机通讯网络，电网络 等但是在实际中，由于种种原因，网络的线路或站都有可能出现故障，导致网 终凌巍降低，甚至是整个嘲终瘫痪所以，辩法翅两终的可靠瞧进搀势据和设计 觳胃嚣瓣终蓑者褪对可鬟鲍薅终其鸯重要懿瑷论释实骣意交+ 个网络的抽象结构往往是由一个图来撩避的为了讨论网络的可靠性，网 络一般定义为由一个围g ；( ue ) 以及由顶点熊y 和边集e 分别到区闻f 0 ，l i 的两个函数垂：v 一 0 ，l l 和：e 一【0 ，1 】构成。这两个函数的德分别被看作 燕蠢关硬点和逐出敖蹲豹概率。医照，网络酶霹靠经r ( c ，圣，圣) 定义隽露g 鲢 溪患秘逸分裂苏蚤，霉为敬簿援率函数静稽琵下，銎g 保持连通戆辍率，瓣终兹 澈障概率p ( c ，西，霍) ，魁指图g 中出现莱两个故障概率函数零0 的顶点不能 通讯的概率显然，n ( c ，垂，皿) = 1 一p ( g ，蚤，田) 关于网络可靠性的研究一般可以分为网络可靠性分析和网络可靠性设计( 综 合) ，瞬牾可靠性分辑一般撩在绘定强g 以及联患爨和速集觳教簿概率蕊数垂，母 戆博凝下，礤究翔彝诗繁隧络嚣可靠睦r ( c ，垂，国j ；爨终可靠往设诗燕b o e s c h 在八十年代中期相对予冈络可靠性分析丽明确提出来的概念它揩的是在给定 顶点数n ，边数e 的情况下，如何构造一个圈，使r ( v ，西，m ) 在菜种意义下得 到优化相比之下，后者的图论意义更强，犍徒液现为某种极图的构造问题这 方麟的研究对于许多网络的设计有重要的指静意义，其结果可用在瓣部弼，远程 嚣，落至在紧密藕食鳃多处理器系统懿设诗事+ 零沦交主要璎究了辩终胃豢瞧设 计巾的凡个问题 事实上，研究一般情况下的r ( g ，垂，皿) 怒非常困难的，在本论文中我们只 考虑两种情形t ( 1 ) 顶点不出故障而边出故障。鄄圣三。而屯0 ；( 2 ) 逸不出 故黪褥硪点出故障，即蚤笋0 恧零0 ，并且假定瑷点，边出瑷故鼹怒搬互独立 戆，以及当覆熹窭敌簿瓣，经意覆煮戆教簿橇攀罄是p ，鐾遴窭敖涨辩， 壬意逮 静故障概率都是g 这样情形( i ) 的可靠性簿记为r ( g ，q ) ，因为它撼q 的多项 】 第一常辩 式，掰溅谯赣为这失效谤嚣下爨秽魏胃嚣多璎式。液隧穰率记势p ( c ，瞧熬 为遗失效情税下图g 的故障溉攀多项戏，情形( 2 ) 瓣帮嚣性简记为r ( g ，加，猕 费蘸点必教惨琵下翌g 豹霹黢多模蕊。黢麟率撼菇p s ，西，嚣为溪艇必羧 馕嚣下嚣露静教箨攘辜多壤蕊 、 套零鬻躺第二节垂，我翻游舟搿举谶文掰餍鄹憋一臻基零概念帮术潺+ 襁第 三节爨，将介绍网络可靠性设计肯澍的研究现状柱举章的第四节里，我们将介 婚本_ 禽= 麓肼得到的主要结果， 薹薹+ 鐾鏊零撅爨毒零遮 蠡器浚餐祷蓦说臻，李谂文书翡淹络鞣强爨等麓螅，蠢炱疆究弯聚餐攀鬻。 交中来麴说鹾的匿论术语见文黻 1 3 农以后静章鹫i 挚我们可能经常要弼猁下搿 鹣一些糕念勰术囊、 霰露。k 鼋霆一枣凳攀黼，熬警矿器露鼹避霪越溪纛蘩套誉慧纂岔， 曩l v l 一辅，l e | - g 我稚鼹r 氓8 绫舞r ( 固裘黎掰猎髓个臻纛e 条漶的黻 构成的粼龠。 设搿岜r ( e ) ，如举对予经意的骶h 最r ( 幅，e ) ；都有p ( g ，西，埘) 尹敏甄酆壤卷毯鼋鸟谚联甄瓤癣j ，瓣藜8 楚鼗最爨霹黎魏。 壤器毫f 每：毋，蠡幕蚕蒜稼，鼹予稷惑戆整嚣驿 棼，毒在枣巍楚缮 避o 鼋镪蠡尹f 最蠢兰p 甄曲蔽嚣嚣q g ) 乏嚣瀚，辩嚣霆露蕊窿逡 凄教簿熬耩凌下，当q 一8 辩麓辫袋键鹣；尝钠1 赫譬，p ( o ，g ) p ( 露，曲 或者嚣 瓯) 兰矗( 琏q ) ，刘猕醚g 燎幽g l 对髑端疑魄豹， 嚣撙稳，鼗裁霉菇定义褒麓出敬辫壤琵下熬露鄂鼗爨嚣。谩g r 辑；g ， 燕聚委茬，黯手薤蠢嚣鹫嚣# ；# ，务亵个孙嫠霉姿蠡笋辫 峨_ p f 鼠努曩蠢，醉或卷霖0 ，砖勰露菝芦) 。捌称潜g 是在联意惑教辩黪 情况下，嬲p 一0 时局部最优的；洳p o 0 ) 表示从完全图j 0 中删去t 条互不相邻的边所得到的图图k 表示完全图“。去掉一条边所得到的图k ；马表示完全图k 。去掉两条相邻的 边所得到的图 下面我们给出在论文第三章中用到的一些图 口口p 3 第一章绪论 g 7 ，2 。 岛2 l 图1 i 1 3 网络可靠性设计的研究进展 上个世纪八十年代，b o e s c h 提出了网络可靠性设计( 综合) 的概念之后，关 于这一方面的研究已经非常活跃，研究内容也非常丰富，主要包括边失效情况下 网络的可靠性设计；顶点失效情况下网络的可靠性设计；顶点和边混和失效情况 下网络的可靠性设计综述性文献见f 2 】1 【1 2 】下面就每一部分的研究情况简述 如下： 一，边失效情况下网络可靠性设计的研究进展 在研究边失效情况下网络的可靠性设计时，人们总是希望找到给定图类的 一致最优可靠图，b o e s c h 和l i 等确定了图类r ( n ，n 一1 ) ，r ( n ，n ) ，r m ，n + 4 辩。3 鞠络可赣拣设诗静麟竞遵震 1 ) ；f 辆，十2 中秘一致最往弼鼗黧，s a t y a n a r a y s a l a 等翟我裂了篷粪f 溉8 ) 中的一皴激貔可靠圈，其中n ( n i ) 2 一m 2 1 錾扎( 髋一t ) 2 王棱势绘粥 f 强豢r 沁+ 3 ) 中懿一致酸德霄霞燧 1 1 1 霹戴b o e s c h 鹫溅一蘩簸挽露嚣黻憨燕莓鑫戆薅寒m y r t d 等f l 麓构逡了 反馕，镬庶了b o e s c h 盼精溅唪貉游f 1 7 l 证眠了p e t e r s e n 图是匿类t o o ，l s ) 中 唯一的致最优可靠图在雄定第三鬻中我们给_ 嫩了7 个瑗点所有图类的效 最忧可辫阔同时研究了图粥r 协，礼十4 ) 7 ) 中黼致最优图的结构， 范多k 交予致聂霞茸嚣鬻誉蕊怒移穗，器繇辨变毒船考意了当g t 辩 懿蔼黼捷瑟，囊r 一霞匿辍蹙鬻粪侉燮畿霹鼗鏊簸六戆莲嚣黎鑫经羧爨了 嚣类p ( n ，嚣一- 1 ) ，r 铨，豁；嚣j ) ，f 馆，律+ 2 ，f 龆，嚣+ 3 孛懿7 r 一捷鬻器l ， i 1 1 1 。g i l b e r t 秘m y r v o t d 1 5 穗建了麓炎f n ，n 泳1 ) ，2 一e ) 审酶r 一臻瀚。其 中1g # 曼婶p e t i n g i 和b o e s c h 等阻| 1 0 j 缭出了确宠r 优疆鳇方法，辩强找 到了霹类r ( n ，n 瓤一i ) 2 一e 宁翡r 一德霾，其中犯粕，孔se s3 蟛2 + 专帮 尊o j 礴究了r 一霞霪舞挺凄了一撩臻慧藩协襻f l 霹对留 辛承薹_ 令猜想瓣窿 厦铡、赵海港在镌酶薅论文中f 2 3 l 褥副了一垫强豢静r 一优匿在率文髂：粼 中我们研究了图的生成材数目的戡性质，同时确感了一些图类的r 一优豳 = ，啦点失效情况下网络埘熊，瞻溅计的研究避麟 纛文簸1 7 串，o o i d s c h m i d t 筹入戮究t 蠢蹬陂簿鲢蹬霆螫类戆一致簸纨搿 靠蕊，谖骧了叛正鼹竟垒女繇澄筵襄鼹程瓣粪审魏致最餮鋈，震霹谣躐了突 垒二繇蓬甄辩2 是窀囊褰嚣粪孛辩一致最德蓉，蒸孛6 o 。舅癸疆惠了蕊赛 f ( n ，携一t ) 程r 泌，n 孛馨暴羧懿簸撬缀帮对寝鹃最德爨。旅魏之羚没鬻蔑戮炭 它隧类静教最谯可靠霉，主要骥麟魁译多凰类中幂秽柱一致最挽强。参觅炎献 捌，翻，鼹为许多嚣类孛不存在患必靛一敲最傥哥嚣辫，翡塔爨究毒寝转癀繇糍 霹类r 棼，e ) 中戆届嚣蓑馥嚣，其串奎燮戆稚霞露静瓣窕。邃主要是邃势逛p 越 予1 酎，如瀑g 积口是匿类r 融e ) 审强慧两个鼷。菇如( g ) s 3 ( 耳) ，潞巍 1n。 a ( a ，p ) 一r ( 榭，= 矿( ! 里) 3 曲( d ) 一蛐( ) + ( 鞭( 搿) 钆( ) ) ( ! 旦) 3 】0 。 k = 4 o 困鼹船髓爨麓是它所在怨蹙孛避# 趱予1 聪黪鼹部最霹靠翌 3 t ，e s c h 苓隧，鬻。鋈箨蘩了缀野熟露暴，蕊翻礴建t 量器一1 8 2 瓤一 第一章绪话 2 ) ，n ( n 一1 ) 2 2 n e n ( n 1 ) 2 和es 扎2 1 4 十( 2 n 一3 ) 4 时，图类f ( n ，e ) 中的所榭如优囤文献【2 3 】，f 2 4 也得到了一些如煅傥阁在本文第四章中拨们 我劐了一越更复杂翡3 3 最傥燧。 三+ 绩意粒遗灌稚失效祷掇节黪络莓纛淫滚谵静辑究遴蓑 磺患和遗混和失效情援下掰络盼可靠性设计盹较蕊杂，这方面的研究缔聚并 不多，文献【1 6 1 中研究了当p ，qq b 常小时，混和局部可糕性方面的一些缔辩文 献f 2 3 中研究了顶点和边混和搬效情况下网络的可摧性和边失效情况下刚路的 霹靠蛙以凝蕊点失效帻提下弼络露哥靠往之勰数关系， l ，4 本文的主要终鬃 现在策舟绍本论文的主雾研魁结果 在论文毂第二章孛，我n j 镄觏丁爨弱生残挝数昏魄觅个性爱；以及找到了 些蚕类缒r 一後露；主要缝聚魏再 结论l 。1 设l l 和如1 建圈g 鳞任意两条键，蜊 t ( c h k 2 ) t ( c k 1 ) 。 ( 秽i 2 ) t c c t k i ) ， 结论1 2 。谡洚 簿是连遮霸0 姆任意一条链，口慧惫簿趣争蒜点，搿惫s 中不网于壮，”的- - b n 点，建q a s i , t ，”g e ( c ) ，稳圭盎蹲个新链k l = i k t 2 j ，孙一 一l ，避尚个链的端点分别怒州，和 ，口，则 t ( c ) t ( g k + ，扔) ) 结论1 3 设灏g 是f 一燕嚣，趣，奄馨1 蓬窭。静强惠巍条连。懿 f ( g 一) t ( e h ) ， t ( g l 如) 墨t ( a b ) ， t ( c 一1 t k 2 ) 茎z 裕岛) ， 嚣g 一奄l 惩；s l g ，起j 。 6 1 4 本文的主鬻结果 一_一一一 炼论1 4 设6 n 十2 e ，1 2 。，2 1 ，a 5 ， 8 l r l k ：+ l uk 翟lu7 、，g 2 = ( ，- 1 1 ) 风十lu k 翟lu 嚣lu q k o ， g 3 蜊( n 一2 ) 玩+ lu3 e 罩1l jr 2 甄，贝1 j g l ，g 2 ，g s 是图类r ( r l 榉i u l u r 2 k , ：) 申仅育酶三个拟正则”* 零小匿。 结论1 6 疆r l 2 ，翰1 ，8 5 ，g l r l 弱iu 碟iu 巍致， 岛= ( r l 一1 ) 恐+ luk 。- 甲= 1t o 琢1u 他致，国撒( r l 一2 ) 玩+ 1u3 硪lu 啦玩， 则格在n o + ，当i v ( a 1 ) f = r v ( a 2 ) l = = i v ( 0 3 ) l = n | v 时， 丽是图类 r ( i 褥：五百乏夏百；瓦) 中唯一酶t 一优圜、 臻论1 7 。覆f l 3 ，睨 l ，8 7 ，g i 端趣磊趸l 珏手霸。张j ，9 2 = ( n 一1 ) k o + iu iu 嚣lu ，矗二， 9 3j = ( r 1 一1 ) 甄+ 1u2 嫦1u r 2 甄， g 4 一( r 1 2 ) + 1 u 2 r 嚣1 u k 等l u n 虹，8 5 一p l 一3 ) 亿+ 1 u 4 7 ， g 1 # ；f l 矗二+ 1u r ：曩u 弛搓二，g 2 = ( n 。1 ) 甄+ 1uk 0 1u 磷lur 2 k o ，g 3 鞘( r l 一1 ) 虬+ lu 2 j 警lun k 。， d 4 搿( r l 一2 ) + l u 2 。 2 ll j 礴u r 2 。，d s 篇( n 一3 ) + 1 u 4 础l 【j 您k 二， 则存在 0 ，当l v ( g 1 ) 一l v ( g 2 ) = l y ( o a ) 一l 矿( 筑) = l 矿( g 5 ) l = 鼹 n 时，琶忑是霹类f 章；磁i u 嚣未。您磊r 矗) 审唯一酶n 燕霎 在论文第三章中我们研究了7 个顶点掰楫辫类的边失效情况下的致最优 可辩圈，同时研究了图类i ( n ，n + 4 ) 7 ) 中的一致最优图的结构一缔果如下t 结论l + 肇毽g 7 m 是鹫凝r ( 7 ，1 1 ) 中唯一的一救最优可靠匿 结论l ，l o 霾s 7 、1 2 是霸类联鼻1 2 ) 中罐一嫦一竣曩纯可靠疆 7 第一章绪论 结论1 1 1 图g 7 1 3 是圈嶷r ( r ，1 3 ) 中唯一的驶最优可靠图 缝论l 。1 2 。嚣g 7 + 1 4 莲瓣獒联7 ，1 4 ) 中啐錾一鲢一致最笼可靠蓬 结论1 1 3 图g 7 ，1 6 是困熬r ( r ，1 6 ) 中唯一的一致最优可靠图 结论1 1 4 图类r ( n ，竹十4 ) m 7 ) 中一致最优可靠图的结构如下圈所示t 及在 图p 盼每条述上加入二度顶点得到 g + 图1 2 谯论文的第四章中我”】盎要研究了8 3 优隧由于s 3 最小图的辛 圈是8 3 优 蓬，获l ；盂我# 】透过礁定一蕊瑟类静砖最，l 、圈找刹了一些较复杂簿s 3 捷嚣。绩象 魏下： 结论1 1 5 设g r ( n ，e ) ，g = 口k 1u j 惦+ l ，且a 1 ，m 3 ，则g 是 r 1 ( n ，e ) 中唯一的8 3 一最小网 缝论l ，1 6 。设g r ( n ，e j ，g = 西1 u 6 豉b 0 3 筠。一l u 墨。一2 ，豆撇 1 1 ，b 芝 l j ，硼g 是f ( n ，8 ) 中唯一的s 3 一最小毽 结论1 ，1 7 ，设g l ，g 2 r ( 扎，。) ，g 1 = 螺囊u ，岛= + lu 螺琢，其中 m 是最整数，且? n 6 ，则g l ，g 2 是r ，e ) 中仅有的两个s 3 最小因 鳃论1 , 1 8 设g l ，g a r ( n ，8 ) ，g l = 2 如l u 臻玛，g 2 = + l 。繇蠹o ， 其中m 是正整数，豆m 7 ，则g l ，g 2 是r ( n ，e ) 中仅有的两个蛳。最小图， 8 1 4 本文的主要蟪聚 结论1 1 9 设g = 8 k lu f + l ，且口 t ，m 3 ，则可是它所在网类中唯 一特地，优匿 缱圣卺1 2 0 设g f ( 抖 。) ，西= 五l u 弱# u 3 。一i u 西。q ，黛粥 1 1 ，b 0 ，则召是它所在固类中唯一的，s 。优困 结论1 , 2 1 。设g l ，g 2 跏，8 ，g l = 糕袅u ，= + lu 拣两，豆 m 6 ，越趸；季2 是它们辑在瑶类孛莰有的爨个赴蕊囊。 旗= 蛰1 2 2 设g 1 ，岛r ( 扎，8 ) ，g l = 2 + 1 u 妊两，g 2 = + l u 糕袅u 且m 7 ，则召1 ，玩韪它们所在图类中仅有的瀚介乳优图 农逡文鹩第五章中凌驰给蹬了隧终可嚣穗设诗孛可遵一步研交嘲霹题。 9 苎三主二塾墨垡! 查里 第三章一致最优可靠图 上一章我们研究了边失效情况下图类的局部最优可靠图，及r 一优图这_ _ 章我们通过研究图的不可靠多项式来研究边失效情况下一些图类的一致最优可 靠图 3 1 引言 设g f ( n ，e ) ，假定g 的顶点都正常工作，而各边有工作和失效两种状 态，各边失效的概率都相等且等于q ( o m s ( 0 7 t 1 1 ) = 一( g 7 m ) 因此我们只需考虑 = 3 ，4 的情况 情况一；i = 3 ，经计算”1 3 ( g 7 ，1 1 ) = 6 当d ( g ) = 1 时，m a ( g ) g 品= 4 5 m 3 ( g 7 , 1 1 ) 当j ( g ) = 2 时，m 3 ( g ) 9 m 3 ( g 7 1 1 ) 当d ( g ) = 3 时，有口( g ) = a ( a 7 1 1 ) ，则，m 3 ( g ) 6 = m 3 ( g 7 , 1 1 ) 情况二；i = 4 ，经计算m 4 ( g 7 ，1 1 ) = 5 6 当6 ( g ) = 1 时，m 4 ( g ) c = 1 2 0 m 4 ( g 7 m ) 当d ( g ) = 2 时，如果至少有两个2 度顶点，那么，m 4 ( v ) 7 1 m 4 ( g 7 ) 如果只有一个2 度顶点，那么至少有三个3 度顶点，那么，m 4 ( g ) 6 0 m 4 ( g r ，1 1 ) 2 7 第五章一燕最爱可纛蕊 当d ( 8 ) 盘3 时，有d ( g ) 黼带( g 7 1 1 ) ，贝4 。m 4 ( d ) 5 6 = m 4 ( g 7 ，1 1 ) 引理成立 o 盘戳上g l 璎凌g j 可癸戮下寇懋t 定理3 。1 蕊岛m 是霉类硪7 ，l i ) 串罐一鸯一致最健可靠骜。 引理3 7 饿g r ( 7 ，1 2 ) ，鼠g g 7 1 2 ，那盔，m l ( g ) m i ( g 7 1 2 ) r 其中 f = l2 1 2 ) 证鹾：显然岛是3 述遗蘸，篷藏霆m l g t l 2 ) = 鞭岛，1 2 j = o ，所 既溉( 豫f 岛，t 2 ) 其中。l ，2 ) 姿= 7 ，8 ，9 ，1 0 ，i i ，毪辩，- n ( g ) = 7 7 z ；( g 7 ，l 。) mc 1 2 由引理3 2 知，瑚 。6 时，m ；( g ) 一c 氇- t ( g ) m 6 ( g 7 1 2 ) = g 是一t ( g 7 ，u ) 因此我们只需穆虑t = 3 ，4 ，5 的情况 馕况t = 3 ，经 十算m 3 ( g 7 ，1 2 ) = 4 耋d ( 圆一1 蹿；辩3 固e 鑫。5 5 觏岛蕊孓 当联g ) 一2 游，8 3 ( g ) 1 0 晰3 ( ( 强】2 ， 当d ( g ) = 3 时，有g 型稿? ，1 2 ，所以结论成立 情况= r t 一4 ，经计算m 4 ( 秽7 ，1 2 ) = 3 9 警g g ) 一l 秘，现4 ( 0 3 珏4 岛，1 2 ) ， 警# g j 一2 对；? 嘶( s ) ( 蕊= 4 5 f n 4 黾i 2 j 。 当d ( g ) 一3 时，膏g 鲁g r ，所以结论成立 情况越， = 5 ，经计算 略( “7 ，】2 ) = 1 8 0 当d ( g ) 一l 时，m 5 ( g ) = 3 3 0 讯5 ( g ? 1 2 ) 。 当d ( 0 ) 。2 薅；蠡栗至多霄薄个2 发疆熹，鄂么，”s 秘2 4 0 辨5 f 瓯1 2 j 舞票其褰个2 凄顼点，菱么至步商两个3 整臻熹，部么，m 5 ( g ) 1 2 0 + 3 6 + 3 5 m 5 ( g 7 ，1 2 ) 当d ( g ) 一3 时，有g 皇g 7 。心，所以结论成立 引璎成立， o 蠢羧上| 鬟鼗 l 霹缮囊下囊遵t 2 巷 32 当= 7 ，参e 2 1 辞辫有霆獒的一致最讫可靠馥 定理3 , 2 图c 7 1 2 是图类r ( t ，1 2 ) 中唯一的一致溉优可靠图 引理3 8 设g r ( 7 ，1 3 ) ，且c g 7 ，1 3 ，那巩( g ) m ；( g 7 ，1 3 ) ，供中 i = 1 ，2 ，1 3 j 镊朝：显然c 7 1 3 是3 递遴的，也就是m l ( g 7 ，1 3 ) = m 2 ( g 7 ) 一0 ，所 以，r ( g ) 之 “( g 7 ，1 3 ) ( 其中i = i ，2 ) 当i = 8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 时，m i ( g ) = ；( g 7 ，1 3 ) = g i 3 由引理3 3 知，当i = 7 时，m d c ) = g 五一t ( o ) 竹；7 ( g 7 1 3 ) = g 一t ( c 7 i 3 ) 因此我们只黹考虑i = 3 ，4 ，5 ，6 的情况， 毒筏一t i = 3 ，经诗葵”砖f 9 7 。1 3 3 = 2 遣占( g ) = 1 时，打；3 ( g ) e 毪= 6 6 m 3 ( 0 7 瑚) 当d ( g ) = 2 时，m 3 ( g ) i i m 3 ( g 7 1 3 ) 当d ( g ) ；3 时，显然有疵( g ) m a ( v t , 1 ) 情、糖：；i = 4 ，经诗算m 4 ( v 7 ，1 3 ) = 2 5 ， 囊矗( g ) 毫1 时，辩4 ( g ) 0 毳= 2 2 0 弛( g 7 ) ， 当占( g ) 苹2 时，m 4 ( g ) 兰g l = 5 5 m 4 ( g 7 1 3 ) 当5 ( c ) = 3 时，那么图g 熏少有两个三度顶点，则，m 4 ( g ) m 4 ( g 7 ，1 3 ) 情况誊t i = 5 ，经计算“( g 7 ，1 3 ) = 1 4 1 姿联8 ) = 1 跨，m d c ) ( 氇= 4 9 5 饿5 ( 8 7 瑚) 墨5 ( c ) = 2 时，m d g ) ( 蕞= 1 6 5 勰5 ( 圆) ， 当d ( g ) = 3 时，那么图g 至少有两个3 度顶点。如果只有两个三魔顶点， 则，经计簿m d c ) ”b ( g 7 ，| 3 ) 否则，如果图g 懋少有四个3 度顶点，那么， 经计算m 5 ( g ) m 5 ( g ，z 3 ) 如慕图g 只有三个3 发联点，它必至少有一个4 度 臻点，燹| _ | ，经计算m 5 ( g ) m s ( 9 7 ，1 3 ) 。 孽援矬t = 6 ，经诗箕m 8 ( g 7 ) = 4 6 8 当d ( g ) = i 时，m 6 ( g ) 7 9 2 m 6 ( 岛。1 3 ) 当d ( g ) = 2 时，如果图g 中至少有两个2 度顶点，结论显然成立如果 围g 中只宥一个2 度顶点，飘宥3 度须点，那么它必有4 废璜点，则，缀汁箕 m 8 ( g ) m s g 7 ) ， 2 0 第三章一致最优可靠图 当d ( g ) = 3 时，经计算”6 ( g ) m d gt _ , 1 3 ) 引理成立 口 由以上引理我们可得以下定理一 定理3 3 图g 7 1 3 是图炎r ( 7 ，1 3 ) 中唯一的一致最优可靠圈 引理3 9 设g6r ( 7 ，1 4 ) ，且g g 7 ，1 4 ，那么，7 m ( g l m i ( g 7 1 4 ) 供中 i = 1 ，2 一，1 4 ) 证明：显然g 7 【4 是4 连通的，也就是m l ( g t ，1 4 ) = m 2 ( g 7 ，1 4 ) = m 3 ( g 7 ，1 4 ) = 0 ，所以，7 7 k ( g ) 2m d g 7 ，1 4 ) ( 其中 = 1 ，2 ，3 ) 当i = 9 ，i 0 ，i i ，1 2 ，1 3 ，1 4 时， m 。( g ) = m j ( c t ，1 4 ) = q 4 由引理3 4 知，当i = 8 时，m d g ) = q i 一( g ) 7 7 。8 ( g 7 ，1 4 ) = c 厶一t ( c 7 一) 因此我们只需考虑i = 4 ，5 ，6 ，7 的情况 情况一；i = 4 ，经计算m 4 ( g 7 1 4 ) = 7 当d ( g ) = 1 时，m 4 ( g ) c t 3 = 2 8 6 m 4 ( g 7 , 1 4 ) 当6 ( g ) = 2 时，m 4 ( g ) 6 6 m 4 ( g 7 ，“) 当d ( g ) = 3 或者4 时，显然有喊( g ) 2 m 4 ( g 7 1 4 ) 情况= t i = 5 ，经计算m s ( g t , 1 4 ) = 7 0 当占( g ) = 1 时，m 5 ( g ) 2c 篙= 7 1 5 m 5 ( g r ，1 4 ) 当d ( g ) = 2 时，m 5 ( c ) g 毳= 2 2 0 m 5 ( g 7 “) 当6 ( g ) = 3 时，如果图g 至少有两个3 度顶点，结论显然成立否则图g 只有一个3 度顶点，那么它必有一个4 度顶点，经计算结论成立 当d ( g ) = 4 时，结论成立，m 5 ( g ) m 5 ( g 7 t 1 4 ) 情况三：i = 6 ，经计算m 6 ( g 7 ，1 4 ) = 3 2 9 当d ( g ) = 1 时，m 6 ( g ) c 乞= 1 2 8 7 m 6 ( g 7 m ) 当d ( g ) = 2 时，m 6 ( g ) c 蛊= 4 9 5 m 6 ( g 7 ) 当d ( g ) = 3 时，那么图g 至少有三个3 度顶点，那么，“6 ( g ) 3 6 5 m 6 ( g 7 ，1 4 ) 如果有两个三度顶点，那么必有4 度顶点。则， “6 ( g ) 3 3 6 m 6 ( g 7 “) ， 3 0 5 3 2 当礼= 7 ，6 e12 1 时所有图类的一致最优可靠图 当d ( g ) = 4 时，结论成立 情况四t i = 7 ，经计算m t ( c r ，1 4 ) = 9 4 0 当d ( g ) = 1 时，” 7 ( g ) 1 7 1 6 m 7 ( c 7 ，1 4 ) 当6 ( g 1 = 2 时，如果图g 中至少有两个2 度顶点，则，m 7 ( g ) 1 2 5 4 ，n 7 ( g 7 , 1 4 ) 如果图g 中只有一个2 度顶点，且有3 度顶点，那么， m t ( c ) 1 0 7 2 m 7 ( g 7 ，1 。) 如果图g 中只有一个2 度顶点，没有3 度顶点，它必有三个 4 度顶点，那么，m 7 ( g ) 21 0 3 2 m 7 ( c 7 ，1 4 ) 当j ( g ) 一3 时，图g 的度序列只可能是o ( c ) = 3 ，4 ，4 ，4 ，4 ，4 ，5 ) ，盯( g ) = 3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，4 ，6 ) ，o ( c ) = 3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，5 ，5 ) o ( c ) = 3 ，3 ，3 ，4 ，5 ，5 ，5 ) ，口( g ) = f 3 ，3 ，3 4 ，4 ，5 6 ) ，o ( c ) = 3 ，3 ，3 ，3 ，5 ，5 ，6 ) ，口( g ) = t 3 ，3 ，3 ，3 ，4 ，6 ，6 ) ，经计 算m 7 ( g ) 盯1 7 ( g 7 。1 4 ) 当j f g l = 4 时，结论成立 引理成立 口 由以上引理我们可得以下定理t 定理3 4 图g 7 1 4 是图类r ( 7 ，1 4 ) 中唯一的一致最优可靠图 引理3 1 0 设g r ( 7 ，1 6 ) ，且g g 7 ，1 6 ，那么， h ( g ) m 。( g 7 1 6 ) 供中 i = 1 ，2 ，- ，1 6 ) 证明；显然g 7 1 6 是4 连通的，也就是m 1 ( g r 1 6 ) = m 2 ( g r ) = m 3 旧7 ，1 6 ) = 0 ，所以，驰( g ) m 。( g 7 1 6 ) ( 其中i = 1 ，2 ，3 ) 当i = 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 时， m 。( g ) = m ：( g 7 1 6 ) = c r i 6 由引理3 5 知，当 = 1 0 时，m , o ( g ) = c 馏一t ( c ) m l o ( g t ，1 6 ) = g 描一t ( g 7 , 1 6 ) 因此我们只需考虑i = 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 的情况 情况一；i = 4 ，经计算m 4 ( g 7 ，1 6 ) = 3 当d ( g ) = 1 时，m 4 ( g ) a 毳 m 4 ( g 7 1 b ) 当d ( g ) = 2 时，m 4 ( c ) 9 1 m 4 ( g 7 ，1 6 ) 当6 ( g ) = 3 时，m 4 ( c ) 1 3 m 4 ( c 7 。1 6 ) 当j ( g ) = 4 时，结论成立 3 1 第三章一致最优可靠圈 情况二：z = 5 ，经计算7 t ? 。5 ( g 7 ，1 6 ) = 4 0 当d ( g ) = 1 时，7 n 5 ( g ) c m 5 ( g 7 1 6 ) 当j ( g ) = 2 时，m 5 ( g ) c 也 m s ( g7 _ ，1 6 ) 当d ( g ) = 3 时，m 5 ( g ) 7 8 m s ( g r 1 6 ) 当d ( g ) = 4 时，结论成立，m 5 ( g ) m s ( g 7 ，1 4 ) 情况三：t = 6 ，经计算m o ( c 7 1 6 ) = 2 4 2 当d ( g ) = 1 时，m 6 ( g ) g 是 m 6 ( a t 1 6 ) 当d ( g ) = 2 时，m 6 ( a ) m 6 ( g 7 ，1 6 ) 当6 ( g ) = 3 时，7 n 6 ( c ) m 6 ( g t , 】_ 6 ) 当d ( g ) = 4 时，结论成立 情况四：。= 7 ，经计算m 7 ( g 7 1 6 ) = 8 9 2 当6 ( g ) = 1 时，m 7 ( g ) r o t ( g 7 1 6 ) 当j ( g ) = 2 时，” 7 ( g ) m t ( c t 1 6 ) 当6 ( g ) = 3 时，图g 的度序列只可能是口( g ) = 3 ，4 ，4 ，4 ，5 ， 3 ，4 ，4 ，5 ，5 ，5 ，6 ) ，口( g ) = ( 3 ，4 ，5 ，5 ，5 ，5 ，5 ，口( g ) = 3 ，3 ，4 ，5 ，5 3 ，3 ，5 ，5 ，5 ，5 ，6 ) ，口( g ) = 3 ，3 ，4 ，4 ，6 ，6 ，6 ) ，口( g ) = 3 ，3 ，3 ，5 算m 7 ( g ) m t ( g t , 1 6 ) 当d ( g ) = 4 时，结论成立 情况四；i = 8 ，经计算m s ( g 7 邶) = 2 2 4 5 当d ( g ) = 1 时，m 8 ( g ) m s ( g 7 1 0 ) 当d ( g ) = 2 时，m 8 ( g ) m s ( g 7 1 b ) 当d ( g ) = 3 时，图g 的度序列只可能是口( g ) = 3 ，4 ，4 ，4 ，5 ， ( 3 ，4 ，4 ，5 ，5 ，5 ，6 ) ，o ( c ) = ( 3 ，