数字信号处理教学课件PPT信号的取样.ppt

华中科技大学电信系 1 2 5信号的取样 2 5 1连续信号的取样 重点 表示模拟信号 或表示取样信号 t为取样周期 可把取样器看作每t秒闭合一次的电子开关s 开关每接通一次 便得到一个输出取样值 模拟信号 数字信号 华中科技大学电信系 2 2 29 华中科技大学电信系 3 1 理想取样 取样器开关s的闭合时间的极限情况下 取样脉冲序列变成冲激函数序列p t 模拟信号经过取样器 其输出的取样信号为 由于d t nt 只在t nt时取非0值 上式即为 华中科技大学电信系 4 2 频谱延拓研究取样信号与模拟信号的频谱之间的关系 将p t 展成傅里叶级数 其中 所以 华中科技大学电信系 5 理想取样信号的频谱为 可见 p t 的傅里叶变换为 华中科技大学电信系 6 取样信号的频谱包括原信号频谱和无限个经过平移的原信号频谱 这些频谱系数都要乘以系数1 t 2 30 归一化 华中科技大学电信系 7 设原信号是最高频率为的带限信号 从上图可见 当或时平移后的频谱必然相互重叠 重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同 这就是混叠现象 如果原信号不是带限信号 则必然存在混叠现象 当原信号是带限信号时 为使取样后的信号频谱不产生混叠 必须有取样频率大于等于两倍信号的最高频率 即 称为奈奎斯特频率 称为折叠频率 华中科技大学电信系 8 3 频率归一化研究离散时间信号的频谱和取样信号的频谱之间的关系 假设离散时间信号是模拟信号通过周期性取样得到的 即 2 64 取样信号的频谱为 2 65 华中科技大学电信系 9 离散时间信号的ft为 2 66 与 2 65 比较 将频谱延拓的 2 63 代入上式 2 67 或 2 68 由 2 67 可知 在的条件下 离散时间信号的频谱与取样信号的频谱相等 则有 图 华中科技大学电信系 10 由于 为取样频率 是对归一化的结果 因此可认为离散时间信号的频谱是取样信号的频谱经频率归一化后的结果 4 信号重建如果取样信号 或离散时间信号 的频谱不存在混叠 则取样信号 或离散时间信号 通过一个理想低通滤波器可以完全恢复出原信号 2 72 或 华中科技大学电信系 11 假设取样信号的频谱不存在混叠 所以取样信号经过一个理想低通滤波器 lpf 可以完全重建 而不损失任何信息 由图2 30 b 可知 将取样信号 或离散时间信号 经过一个截止频率为ws 2的理想低通滤波器 就可将取样信号 或离散时间信号 频谱中的基带频谱取出来 恢复原来的模拟信号 理想低通滤波器的频率特性为 华中科技大学电信系 12 其输出信号的频谱为 华中科技大学电信系 13 从时域理解 模拟信号 又因为 所以 华中科技大学电信系 14 由模拟信号与取样信号的关系 即由 2 65 和 2 67 得 华中科技大学电信系 15 所以输出信号为 其中 称为内插函数 重建信号值 原信号抽样点的值与内插函数乘积之和 内插函数的特性 sa函数在抽样点nt上值为1 其余抽样点上值为0 华中科技大学电信系 16 被恢复的信号在取样点的值恰好等于原来连续信号在取样时刻t nt的值 而取样点之间的部分由各内插函数的波形叠加而成 如图所示 华中科技大学电信系 17 本节主要是讨论模拟信号 取样信号 离散时间信号 重建的模拟信号 这四种信号的频谱之间的关系 如果保证不存在混叠 取样信号和离散时间信号都可以通过一个lpf重建模拟信号 重建信号值 原信号抽样点的值与内插函数 序列 乘积之和 华中科技大学电信系 18 离散 思考 如果模拟信号不是低通 而是带通信号 则取样信号无混叠对采样频率有什么要求 2 30 华中科技大学电信系 19 例 对进行理想取样 取样间隔t 0 25s 得到 再让 通过理想低通滤波器g jw g jw 用下式表示 设 要求 1 写出的表达式 2 求出理想低通滤波器的输出信号 解 1 华中科技大学电信系 20 2 华中科技大学电信系 21 如下图所示 为 的频谱 为 的频谱 由图可知 通过后其输出信号为 华中科技大学电信系 22 2 5 2离散时间信号的取样 1 时域表示 可看作是信号调制 华中科技大学电信系 23 2 频域表示 其中 ws 2p n 则 华中科技大学电信系 24 为了不发生混叠 取样频率应满足条件 2 34 华中科技大学电信系 25 3 x n 序列的恢复 华中科技大学电信系 26 在xp n 序列的频谱没有混叠失真的情况下 用一个增益为n 截止频率大于wm而小于 ws wm 的低通滤波器 对xp n 进行滤波 可恢复出原信号x n 恢复的序列为 其中即为内插序列 所恢复的序列xr n 可以由离散时间取样序列的取样值x kn 与内插序列hr n kn 相乘并求和得到 华中科技大学电信系 27 2 5 3离散时间信号的抽取和内插 1 离散时间信号的抽取 decimation 这种抽取n的整数倍点上的样本的过程称为抽取 也称为减取样 downsampling 将xp n 的非零取样值抽取出来组成一个新的序列xd n 华中科技大学电信系 28 由于xp n 在n的整数倍点外的取样值均为0 则 华中科技大学电信系 29 取样序列xp n 和抽取序列xd n 的频谱只是频率尺度不同 2 37 华中科技大学电信系 30 2 离散时间信号的内插 interpolating 也叫增取样 upsampling 是抽取的逆过程 分2步进行 先在xd n 的每相邻两个序列值之间插入n 1个零值 得到序列xp n 然后用一个理想低通滤波器从xp n 得到内插后的序列x n 下图中 华中科技大学电信系 31 2 39 n 2 华中科技大学电信系 32 2 6z变换 2 6 1z变换的定义1 z变换的定义双边z变换 极坐标形式 因此 序列在单位圆 r 1 上的z变换等于序列的傅里叶变换 单边z变换 x z 一般情况下是一个有理分式 华中科技大学电信系 33 zt的收敛域 使收敛的z值 一般为某个环域 zt的零点 使的z值 在z平面用 o 表示 zt的极点 使的z值 在z平面用 表示 zt存在的条件 序列的zt的收敛域和极零点分布图 华中科技大学电信系 34 例2 16求序列的z变换 解 当 即时 上列级数收敛 且有 本序列的zt的收敛域如图所示 华中科技大学电信系 35 2 6 2几种特殊序列的z变换及收敛域 1 有限长序列其zt为 华中科技大学电信系 36 由可知 在内 x z 是有限项级数和 只要级数的每一项有界 有限项的和也就有界 一般情况下 其收敛域为 因为x z 为有限项 当x z 展开时 既有z的正幂项 又有z的负幂项 故 当时 收敛域为 此时x z 无z的正幂项 当时 收敛域为 此时x z 无z的负幂项 华中科技大学电信系 37 2 右边序列其zt为 其收敛域是以为半径的圆的外部 即 华中科技大学电信系 38 右边序列的特例 因果序列因果序列 的右边序列 其收敛域为 因果序列的zt无正幂项右边序列的zt如果无正幂项 则该系统是因果的 对于右边序列 如存在 则该序列为因果序列 华中科技大学电信系 39 的右边序列称为非因果序列 华中科技大学电信系 40 3 左边序列其zt为 其收敛域是以为半径的圆的内部 即 华中科技大学电信系 41 左边序列的特例 逆因果序列逆因果序列 的左边序列 其收敛域为 逆因果序列的zt无负幂项左边序列的zt如果无负幂项 则该系统是逆因果的 对于左边序列 如存在 则该序列为逆因果序列 华中科技大学电信系 42 的右边序列称为非因果序列 华中科技大学电信系 43 4 双边序列双边序列指时 序列都有非零值的序列 可看作左边序列和右边序列之和 其zt为 收敛域为x1 z 和x2 z 的收敛域的公共部分 一般情况下为 如果 双边序列的zt无收敛域 华中科技大学电信系 44 zt的结论 序列zt为有理分式的收敛域以极点为边界 包括0 收敛域内不能包括任何极点 可以包含零点 相同的极零点分布可能分别对应不同的收敛域 即 由同一幅极零点分布图可以得到不同的序列 而不同的序列可能有相同的zt 见p56的图2 48 a d 收敛域口诀 右外 左内 双环 华中科技大学电信系 45 例2 17求的zt及其收敛域 解 该序列为双边序列 其zt为 这是一个有理分式 极点为z1 a z2 b 零点为z1 0 z2 a b 2 收敛域为一个环域 华中科技大学电信系 46 2 6 3逆z变换已知x z 及其收敛域 反过来求序列x n 的变换称作逆z变换 记作 x n z 1 x z 1 幂级数法 长除法 如果序列的zt能表示成幂级数的形式 则序列x n 是幂级数中的z n的系数 这种方法只对某些特殊的zt有效 判断右边序列还是左边序列 右边序列 展开成负幂级数左边序列 展开成正幂级数 华中科技大学电信系 47 例2 18求的逆变换 解 因为所以有又由可知原序列为右边序列 因此 华中科技大学电信系 48 一些常用的幂级数公式 华中科技大学电信系 49 若z变换为有理函数 可用长除法将x z 展开成幂级数 注意 在使用长除法之前 应先根据给定的收敛域确定对应的原序列是右边序列还是左边序列 若为右边序列 或因果序列 可将x z 展成负幂级数 即商为z的负幂次 若为左边序列 或逆因果序列 可将x z 展成正幂级数 即商为z的正幂次 例1 求的逆变换 解 因为 z 3 说明对应的序列是右边序列 又因为收敛域包含 所以它是一个因果序列 注意 此时除式与被除式都是降幂排列 华中科技大学电信系 50 华中科技大学电信系 51 b可正可负 华中科技大学电信系 52 2 部分分式展开法 重点 如果x z 是一个有理分式 两个多项式之比 分母的阶次大于分子的阶次 且只有单阶极点 则x z 可表示成部分分式 即 其中dk k 1 n 是x z 的极点 分解系数ak的求解有2种方法 方程组法和留数法 留数法 华中科技大学电信系 53 x z 的收敛域为 以最大极点的模为半径的圆的外部 即 例2 21用部分分式法求下列z变换的逆变换 解 因为 z 2 说明对应的序列是右边序列 又因为收敛域包含 所以它是一个因果序列 x z 的2个极点z1 2 z2 0 5 将x z 展成部分分式 华中科技大学电信系 54 留数法求系数 华中科技大学电信系 55 例2 22 求下列z变换的逆变换 解 由环形收敛域可知这是一个双边序列 分解得到 华中科技大学电信系 56 3 留数定理法可以由柯西积分公式导出求逆z变换的公式 柯西积分公式 其中c为反时针方向环绕原点的围线 zt的定义式 由n k时 利用柯西积分公式得 逆z变换的公式 对正的n和负的n都成立 华中科技大学电信系 57 对于有理z变换 这个围线积分可以用留数定理计算 设在有限z平面上 ak k 1 2 n 是在围线c内部的极点集 bk k 1 2 m 是在围线c外部的极点集 围线c内的极点一般对应于一个因果序列 因此 当n 0时 围线c外的极点一般对应于一个逆因果序列 因此 当n 0时 因为当x z zn 1在z 处有二阶或二阶以上的零点 即x z zn 1的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高二阶或二阶以上时 无穷远处的留数为零 故有 或 华中科技大学电信系 58 如果x z zn 1是z的有理函数 且z z0处有s阶极点 即其中 z 在z z0处无极点 那么 特别地 s 1时 推荐使用 幂级数法 长除法 和部分分式展开法 其中部分分式展开法要求重点掌握 例题见p61的例2 23和例2 24 华中科技大学电信系 59 2 6 4z变换的性质和定理 1 线性 设 则 收敛域 一般情况下 收敛域变小 但在组合zt可能出现新的零极点抵消的情况时 收敛域可能增大 如 收敛域 但 收敛域 整个z平面 华中科技大学电信系 60 例1已知 求其z变换 解 华中科技大学电信系 61 2 序列移位 则 设 注意 收敛域在处有例外 如收敛域为整个z平面 但在处不收敛 在处不收敛 例2求的逆变换 方法1 应用时移性质 华中科技大学电信系 62 方法2 华中科技大学电信系 63 3 乘以指数序列an 则 设 a为正实数 z平面尺度的缩小或扩大 极零点沿径向移动 a为模为1的复数 z平面的旋转 极零点沿以原点为中心的圆周移动 例3求x n rncos w0n u n 的z变换 解 然后利用指数相乘性质 得到 华中科技大学电信系 64 再由线性性质有 华中科技大学电信系 65 4 序列的折叠 则 设 5 复序列的共轭 则 设 证明 对实序列x n 华中科技大学电信系 66 6 x z 的微分 则 设 证明 对其两端求导得 华中科技大学电信系 67 例4求x n nanu n 的z变换 解 x n nanu n n anu n 由微分性质和幂指数乘积性质 华中科技大学电信系 68 7 初值定理 证明 对于因果序列x n 则 对于逆因果序列x n 则 显然 华中科技大学电信系 69 8 终值定理 若x n 是因果序列 且x z 除在z 1处有一阶极点外 其它全部极点都在单位圆内 则 证明 由于 z 1 x z 抵消了函数x z 在z 1处的可能极点 故 z 1 x z 的收敛域将包括单位圆 所以对上式两端求极限得 华中科技大学电信系 70 9 序列的卷积 设 则 华中科技大学电信系 71 证明 令m n k 则 w z 的收敛域是x z 和y z 收敛域的重合部分 华中科技大学电信系 72 例5 解 华中科技大学电信系 73 10 复卷积定理 设 则 式中c是v平面收敛域中任一条环绕原点的逆时针方向的闭合曲线 v平面的收敛域为 z平面的收敛域为 vk 是围线c包含的所有极点 华中科技大学电信系 74 例2 25设x n anu n y n bnu n 相应的z变换为 求w n x n y n 的z变换 解 由复卷积定理 得 极点 v1 b v2 z a 华中科技大学电信系 75 由复卷积定理 v平面的收敛域应为 即 由右图可见 只有极点v1 b在围线c1内 由留数法计算w z 华中科技大学电信系 76 12 帕塞瓦尔定理 parseval 设 则 且 式中c是收敛域中环绕逆时针方向的围线 v平面的收敛域由下式确定 华中科技大学电信系 77 几点说明 parseval公式的物理意义 在时域中对序列求能量与在频域中对频谱求能量是一致的 华中科技大学电信系 78 2 6 5z变换与拉氏变换的关系 函数的lt为 1 模拟信号 连续时间信号 和取样信号的lt的关系 上式两边取lt得 其中 华中科技大学电信系 79 即 连续时间信号经理想取样后 取样信号的lt是原信号的lt在s平面上沿虚轴的周期延拓 2 取样信号的lt和离散时间信号的zt的关系 则 取样信号的lt为 离散时间信号的zt为 华中科技大学电信系 80 x n xa nt 即 当z est时 离散时间信号的zt等于取样信号的lt s平面用直角坐标表示为 s s jw z平面用极坐标表示为 z rejw z est时 s 0 即s平面的虚轴 r 1 即z平面单位圆 s 0 即s的左半平面 r 1 即z的单位圆内 s 0 即s的右半平面 r 1 即z的单位圆外 r est 华中科技大学电信系 81 当时 当时 当时 即幅角旋转一周 将整个z平面映射一次 当 时 w wt 华中科技大学电信系 82 小结 1 模拟信号 连续时间信号 和取样信号的lt的关系 2 取样信号的lt和离散时间信号的zt的关系 s平面的每2p t的条带 映射整个z平面一次 华中科技大学电信系 83 2 7系统函数 描述线性非移变系统的方式 线性常系数差分方程 单位取样响应 频率响应描述 系统函数 设x n y n 和h n 分别是线性非移变系统的输入 输出和单位取样响应 x z y z 和h z 分别表示相应的z变换 系统函数定义为 它是单位取样响应h n 的z变换 1 系统函数的定义 华中科技大学电信系 84 2 系统函数与系统差分方程的关系 线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述 对上式两边求z变换 利用线性性质和时不变性质 得 因此 可见系统函数分子分母的系数也正是其差分方程的系数 华中科技大学电信系 85 系统函数还可以进一步分解成 式中 dk 和 cr 分别表示h z 在z平面上的极点和零点 这样 系统函数可以用z平面上的极点 零点和常数a来确定 例1根据系统函数 求该系统的差分方程 华中科技大学电信系 86 为了求满足该系统输入输出的差分方程 可以将h z 的分子和分母各因式乘开 而得到如下的形式 于是 其差分方程就是 华中科技大学电信系 87 3 系统函数的收敛域与系统的稳定性 为了使h n 的z变换存在 则 当 z 1时 上式变成 这就是系统稳定的充要条件 因此 若系统函数在单位圆上收敛 则系统是稳定的 h z 的收敛域包括单位圆系统是稳定的 请思考 一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是怎么样的 华中科技大学电信系 88 一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是 例2 26 重点 设一个线性非移变系统的系统函数为 试画出极 零点分布图 并确定h z 的收敛域和稳定性 华中科技大学电信系 89 解对h z 的分母进行因式分解得 极点为z1 1 4 z2 1 2 零点为z1 0 z2 1 2 1 若收敛域是极点z2 1 2所在的圆的外部区域 且 那么系统是因果的 华中科技大学电信系 90 2 若收敛域选的是极点z1 1 4所在的圆的内部区域 且 那么系统是逆因果的 系统的收敛域为 因为收敛域没有包含单位圆 所以系统是不稳定的 3 若收敛域是极点z1 1 4与z2 1 2所在的两个圆之间的环域 即 又因为单位圆没有包含在收敛域中 所以系统是不稳定的 系统的收敛域为 因为该收敛域包含了单位圆 所以系统是稳定的 那么系统是非因果的 华中科技大学电信系 91 从上例可知 因果性和稳定性并不存在必然联系 要使线性时不变系统既因果又稳定 相应系统函数的收敛域必须是 位于最外围极点的外面 又包括单位圆 也就是说 要求该系统函数的全部极点都在单位圆内 华中科技大学电信系 92 系统的稳定性判别方法总结 直接由定义判别 若 x n m 则 y n 对于线性非移变系统 由其单位取样响应是否绝对可和由其系统函数的收敛域是否包含单位圆 华中科技大学电信系 93 三个方法的等价性 若 x n m 则 y n 所以 华中科技大学电信系 94 若h z 收敛域包含单位圆 华中科技大学电信系 95 系统的因果性判别方法总结 直接由定义判别 y n 是否取决于将来的输入x n 1 等 对于线性非移变系统 由其单位取样响应h n 0 n 0由其系统函数的收敛域是否包含 华中科技大学电信系 96 三个方法的等价性 y n 是否取决于将来的输入x n 1 等 例 满足 h n 0 n 0 所以 收敛域包含 华中科技大学电信系 97 4 系统的频率响应 又因为稳定系统的系统函数的收敛域包括单位圆 则对于稳定系统 华中科技大学电信系 98 例2 27设一因果iir系统如图所示 试确定描述系统的差分方程 极 零点分布图和频率响应 解 由图可得系统的差分方程和系统函数分别为 华中科技大学电信系 99 系统的极点为z1 0 9j z2 0 9j 零点为z1 0 z2 1 极零点分布图如右图示 因为该系统是因果系统 所以系统的收敛域为 0 9j z 可见收敛域包含单位圆 故系统是稳定的 可以有 华中科技大学电信系 100 z 1处是零点 则 h ejw h e0 0 又 z 0 9j处是极点 则 h ejw 在 p 2附近升至峰值 幅度响应和相位响应图为 华中科技大学电信系 101 例 下图所示表示一个因果的线性非