新人教版九年级数学竞赛试题详解.doc

一、选择题（每小题3分，共分）1下列说法中，正确的是（）A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两锐角对应相等的两个直角三角形全等C两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D面积相等的两个三角形全等2如图，ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，ADE=DAC，DE=AC运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B有一组对边平行的四边形是梯形C一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D对角线相等的平行四边形是矩形3如果关于x的一元二次方程kx2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）AkBk且k0CkDk且k0如图，已知点P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，PDOA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A2B2C4D4已知点A、B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，且AOB=90，则B=30，则k的取值为（）ABC2D3如图，在菱形ABCD中，A=60，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG有下列结论：BGD=120；BG+DG=CG；BDFCGB；SABD=AB2其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（每小题3分，共18分）已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为有三张正面分别写有数字1，1，2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为m的值，将抽出的卡片放回去，随机再抽一张，以其正面的数字作为n的值，则点（m，n）在第二象限的概率为甲乙丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是1已知AB是半O的直径，D=50，AD切O于点A，连接DO交半O于点E，作ECAB交半O于C点，连接AC，则CAB的度数为11抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，2），与x轴的一个交点A在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac0；当x1时y随x增大而减小；a+b+c0；若方程ax2+bx+cm=0没有实数根，则m2； 3a+c0其中，正确结论的序号是12如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=4，AD的中点为E，点F是AB边上一点（不与A、B重合），连接EF，把A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG则线段CG的取值范围是三、解答题（本大题共个小题，满分分）13（6分）已知x是一元二次方程x22x+1=0的根，求代数式的值14（9分）在2015年的政府工作报告中提出了九大热词，某数学兴趣小组就A互联网+、B民生底线、C中国制造2.0、D能耗强度等四个热词进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了名同学；（2）条形统计图中，m=，n=；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是；（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？15（9分）如图，在ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点（1）利用尺规EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动连接PQ交AC于点O求证：AO=CO；填空：当t=秒时四边形APCQ一定是矩形；填空：当t=秒时四边形APCQ一定是菱形16（9分）如图，函数y1=x+4的图象与函数y2=（x0）的图象交于A（3a，2b9）、B（a，b2）两点 （1）求函数y2的表达式；（2）过A作ACx轴，过B作BDy轴，试问在线段AB上是否存在点P，使SPBD=2SPAC？若存在请求出P点坐标；若不存在请说明理由17（10分）如图，某水果店购进一批时令水果，在20天内销售完毕店主将本次销售数据绘制成函数图象如图1，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图2，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？18（10分）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的（1）探究发现如图（1），P是等边ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5求APB的度数解：将APC绕点A旋转到APB的位置，连接PP，则APP是三角形PP=PA=3，PB=4，PB=PC=5，PP2+PB2=PB2BPP为三角形APB的度数为（2）类比延伸在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长；（3）拓展迁移如图（3），在四边形ABCD中，线段AD与BC不平行，AC=BD=a，AC与BD交于点O，且AOD=60，比较AD+BC与a的大小关系，并说明理由19（11分）如图，抛物线y=ax2+bx5与x轴交于A（2，0）、B（5，0）两点，与y交于点C，点P（m，n）为x轴下方抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线，D、E为垂足，用含有m的代数式表示四边形OEPD的周长l，并求出周长l的最大值；（3）作直线BC、OP，两直线交于点Q，试问是否存在点P，使得QOC是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1（3分）（2005四川）下列说法中，正确的是（）A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两锐角对应相等的两个直角三角形全等C两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D面积相等的两个三角形全等【解答】解：A、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不一定全等；B、两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应的一对边相等，所以不一定全等；C、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，符合ASA；D、面积相等的两个三角形不一定全等故选C2（3分）（2012资阳）如图，ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，ADE=DAC，DE=AC运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B有一组对边平行的四边形是梯形C一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D对角线相等的平行四边形是矩形【解答】解：ABC是等腰三角形，AB=AC，B=C，在ADE与DAC中，ADEDAC，E=C，B=E，AB=DE，但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形说法错误；故选：C3.（3分）（2012襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）AkBk且k0CkDk且k0【解答】解：由题意知：2k+10，k0，=2k+14k0，k，且k0故选：D4（3分）（2016西华县校级模拟）如图，已知点P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，PDOA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A2B2C4D4【解答】解：P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，AOP=AOB=30，PDOA，M是OP的中点，DM=4cm，OP=2OM=8，PD=OP=4，点C是OB上一个动点，PC的最小值为P到OB距离，PC的最小值=PD=4故选C5（3分）已知点A、B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，且AOB=90，则B=30，则k的取值为（）ABC2D3【解答】解：过A作ACy轴，过B作BDy轴，可得ACO=BDO=90，AOC+OAC=90，OAOB，AOC+BOD=90，OAC=BOD，AOCOBD，点A、B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，SAOC=，SOBD=|，SAOC：SOBD=1：|k|，（）2=1：|k|，则在RtAOB中，tanB=，1：|k|=1：3，|k|=3y=（x0）的图象在第四象限，k=3故选D6（3分）（2012孝感）如图，在菱形ABCD中，A=60，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG有下列结论：BGD=120；BG+DG=CG；BDFCGB；SABD=AB2其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：由菱形的性质可得ABD、BDC是等边三角形，DGB=GBE+GEB=30+90=120，故正确；DCG=BCG=30，DEAB，可得DG=CG（30角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即也正确；首先可得对应边BGFD，因为BG=DG，DGFD，故可得BDF不全等CGB，即错误；SABD=ABDE=ABBE=ABAB=AB2，即正确综上可得正确，共3个故选C二、填空题（每小题3分，共21分）7（3分）（2014高新区校级模拟）已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为或【解答】解：若AC是较长的线段，AC=1cm，AB=AC=1，解得AB=，若AC是较短的线段，AC=1cm，AB（1）=AC=1，解得AB=，综上所述，AB的长是或故答案为：或8（3分）（2015郑州校级三模）有三张正面分别写有数字1，1，2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为m的值，将抽出的卡片放回去，随机再抽一张，以其正面的数字作为n的值，则点（m，n）在第二象限的概率为【解答】解：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有（1，1）（1，2）共2个，所以，P=故答案为：9（3分）（2012绥化）甲乙丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是乙【解答】解：降价后三家超市的售价是：甲为（120%）2m=0.64m，乙为（140%）m=0.6m，丙为（130%）（110%）m=0.63m，因为0.6m0.63m0.64m，所以此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙故答案为：乙10（3分）（2015郑州校级三模）已知AB是半O的直径，D=50，AD切O于点A，连接DO交半O于点E，作ECAB交半O于C点，连接AC，则CAB的度数为20【解答】解：AD切O于点A，ADOA，DAO=90，AOD=90D=9050=40，ECA=AOE=20，CEAB，CAB=ECA=20故答案为2011（3分）（2015郑州校级三模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，2），与x轴的一个交点A在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac0；当x1时y随x增大而减小；a+b+c0；若方程ax2+bx+cm=0没有实数根，则m2； 3a+c0其中，正确结论的序号是【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，结论不正确抛物线的对称轴x=1，当x1时，y随x增大而减小，结论正确抛物线与x轴的一个交点A在点（3，0）和（2，0）之间，抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，当x=1时，y0，a+b+c0，结论正确y=ax2+bx+c的最大值是2，方程ax2+bx+cm=0没有实数根，则m2，结论正确抛物线的对称轴x=1，b=2a，a+b+c0，a+2a+c0，3a+c0，结论正确综上，可得正确结论的序号是：故答案为：12（3分）（2015郑州校级三模）如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=4，AD的中点为E，点F是AB边上一点（不与A、B重合），连接EF，把A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG则线段CG的取值范围是CG2【解答】解：如图所示，在RTA，DC中，AD=6，CD=4，AC=2，把A沿EB折叠，使点A落在点G处，连接AG，DG，EAG=EGA，AE=EG，AE=DE，EG=ED，ADG=EGD，AGD=AGE+EGD=DAG+ADG=90，AE=3，AB=4，BE=5，AGBE=AEAB，AG=，在RTADG中，DG=，过G点作MNAD，AMG=AGD=90，MAG=GAD，AMGAGD，=，即=，AM=，MG=，BN=AM=，MN=CD=4，CN=6=，GN=4=，在RTCNG中，CG=，线段CG的取值范围是 CG2，故答案为CG2三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）13（6分）（2012兰州）已知x是一元二次方程x22x+1=0的根，求代数式的值【解答】解：x22x+1=0，x1=x2=1，原式=，当x=1时，原式=14（9分）（2016乌审旗模拟）在2015年的政府工作报告中提出了九大热词，某数学兴趣小组就A互联网+、B民生底线、C中国制造2.0、D能耗强度等四个热词进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了300名同学；（2）条形统计图中，m=60，n=90；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是72；（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？【解答】解：（1）10535%=300（人）故答案为：300；（2）n=30030%=90（人），m=3001059045=60（人）故答案为：60，90；（3）360=72故答案为：72；（4）答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是15（9分）（2015郑州校级三模）如图，在ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点（1）利用尺规EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动连接PQ交AC于点O求证：AO=CO；填空：当t=6秒时四边形APCQ一定是矩形；填空：当t=秒时四边形APCQ一定是菱形【解答】解：（1）作图如下：（2）AP平分EAC，EAC=2B=2C，PAC=C，APBC，点P和点Q的速度均为1cm/s，AP=CQ，AO=CO；当AQC=90时，四边形AQCP为矩形，此时AQBC，CQ=BC=6，当t=6时，四边形AQCP为矩形；如图3：当四边形APCQ是菱形时，AQ=CQ，作ADCQ于点D，则CD=BC=6，CQ=AQ=t，QD=t6，在RtAQD中，AQ2=QD2+AD2，即：t2=（t6）2+82，解得：t=，当t=时，四边形AQCP为菱形16（9分）（2015郑州校级三模）如图，函数y1=x+4的图象与函数y2=（x0）的图象交于A（3a，2b9）、B（a，b2）两点 （1）求函数y2的表达式；（2）过A作ACx轴，过B作BDy轴，试问在线段AB上是否存在点P，使SPBD=2SPAC？若存在请求出P点坐标；若不存在请说明理由【解答】解：（1）函数y1的图象过A、B两点，把A、B两点分别代入函数y1的解析式可得，解得，A（3，1），B（1，3），函数y2的图象过A点，1=，解得k=3，y2=；（2）由（1）知A（3，1），B（1，3），BD=AC=1，P点在线段AB上，设P点坐标为（x，x+4），其中1x3，则P到AC的距离为hA=3x，P到BD的距离为hB=3（x+4）=x1，SPBD=BDhB=1（x1）=（x1），SPAC=AChA=1（3x）=（3x），SPBD=2SPAC，（x1）=3x，解得x=，且13，符合条件，此时x+4=，P（，），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）17（10分）（2015郑州校级三模）如图，某水果店购进一批时令水果，在20天内销售完毕店主将本次销售数据绘制成函数图象如图1，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图2，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？【解答】解：（1）分两种情况：当0x15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，直线y=k1x过点（15，45），15k1=45，解得k1=3，y=3x（0x15）；当15x20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，点（15，45），（20，0）在y=k2x+b的图象上，解得：y=9x+180（15x20）；综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=（2）第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10x20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，解得：y=x+35（10x20），若日销售量不低于36千克，则y36当0x15时，y=2x，解不等式：2x36，得，x13；当15x20时，y=9x+180，解不等式：9x+18036，得x16，13x16，“最佳销售期”共有：1613+1=4（天）；p=x+35（10x20），k=10，p随x的增大而减小，当13x16时，x取13时，p有最大值，此时p=13+35=22（元/千克）答：此次销售过程中“最佳销售期”共有4天，在此期间销售金额最高是第13天18（10分）（2015郑州校级三模）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的（1）探究发现如图（1），P是等边ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5求APB的度数解：将APC绕点A旋转到APB的位置，连接PP，则APP是等边三角形PP=PA=3，PB=4，PB=PC=5，PP2+PB2=PB2BPP为直角三角形APB的度数为150（2）类比延伸在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长；（3）拓展迁移如图（3），在四边形ABCD中，线段AD与BC不平行，AC=BD=a，AC与BD交于点O，且AOD=60，比较AD+BC与a的大小关系，并说明理由【解答】解：将APC绕点A旋转到APB的位置，连接PP，则APP是等边三角形PP=PA=3，PB=4，PB=PC=5，PP2+PB2=PB2，BPP为直角三角形，APB