四川省2019年中考数学试题研究二次函数综合题题库.docx

题型五 二次函数综合题类型一 线段数量关系与最值关系1.如图,抛物线 yx2bxc过点A(3,0), B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点 P不与点A重合),过点P作PDy轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点P在运动的过程中线段 PD长度的最大值; (3)在抛物线对称轴上是否存在点M,使|MAMC|最大？若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（3,0）,B（1,0）,解得,抛物线解析式为y=x24x+3;（2）令x=0,则y=3,点C（0,3）,则直线AC的解析式为y=x+3,设点P（x, x24x+3）,PDy轴,点D（x,x+3）,PD=（x+3）（x24x+3）=x2+3x=（x）2+,a=10,当x=时,线段PD的长度取最大值,最大值为;（3）存在.由抛物线的对称性得,对称轴垂直平分AB,MA=MB,当M、B、C不在同一条直线上时,由三角形的三边关系得,|MAMC|=|MBMC|BC,当M、B、C三点共线时,|MAMC|=|MBMC|=BC,|MAMC|BC,即当点M在BC的延长线上时,|MAMC|最大,最大值即为BC的长度,设直线BC的解析式为y=kx+b（k0）,B（1,0）,C（0,3）,则,解得,直线BC的解析式为y=3x+3,抛物线的对称轴为x=2,当x=2时,y=32+3=3,点M（2,3）,即抛物线对称轴上存在点M（2,3）,使|MAMC|最大2.如图,抛物线yx2bxc的图象过点A（4,0）,B（4,4）,且抛物线与y轴交于点C,连接AB,BC, AC. (1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点,求PBC周长的最小值及此时点P的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过E作y轴的平行线,分别交抛物线及x轴于F、D两点. 请问是否存在这样的点E,使DE2DF？若存在,请求出点E的坐标；若不存在,请说明理由. 第2题图解：（1）抛物线yx2bxc的图象经过点A(4,0),B(4,4),解得,抛物线的解析式为yx2x2；（2）由抛物线yx2x2可得,该抛物线的对称轴为直线x1,点C的坐标为(0,2),如解图,作点C关于对称轴x1的对称点C,则C的坐标为(2,2),连接BC,即BC6,BC与对称轴的交点即为所求点P,连接PC,此时PBC的周长最小第2题解图设直线BC的解析式为ykxm,点B(4,4),C(2,2),解得,直线BC的解析式为yx,将x1代入yx,得y1, 点P坐标为(1,1), 点B(4,4),C(0,2),BC2, 此时PBC的周长CPBCPBBCBC26,PBC周长的最小值为26,此时点P坐标为(1,1)；（3）存在.假设存在点E,使DE2DF,由点A(4,0),B(4,4)可得直线AB的解析式为yx2,设点E(x,x2),则D(x,0),其中4x4,则F(x,x2x2),DE|x2|2x,DF|x2x2|,当2x2(x2x2)时,即点F位于x轴上方,解得x11,x24(舍去),将x1代入yx2,得到y,E(1,).当2x2(1)(x2x2)时,即点F位于x轴下方,解得x13,x24(舍去),将x3代入yx2,得到y,E(3,)综上所述,存在这样的点E,其坐标为(1,)或(3,)类型二 面积数量关系与最值关系3.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点B、E,与y轴交于点A,OB=8,tanABD =1,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.（1）求抛物线的解析式;（2）求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,CED的面积最大,最大面积是多少？（3）当CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P（点E除外）,使PCD的面积等于CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.第3题图解：（1）OB=8,tanABD=1,OA=OB=8,A（0,8）, B（8,0）.把点A（0,8）,B（8,0）代入y=x2+bx+c得,解得,抛物线解析式为y=x2+3x+8;（2）令y=0,有x2+3x+8=0,解得x1=2, x2=8,E（2,0）,BE=10,SCED=DEOC,S=t（10t）=t2+5t,S与t的函数关系式为S=t2+5t=（t5）2+（0t8）,当t=5时,CED的面积最大,最大面积为;（3）存在.当CED的面积最大时,t=5,即BD=DE=5,此时要使SPCD = SCED,CD为公共边,只需求出过点B、或过点E且平行于CD的直线即可,如解图：第3题解图设直线CD的解析式为y=kx+b,由（2）可知OC=5,OD=3,C（0,5）,D（3,0）,把C（0,5）、D（3,0）代入得,解得,直线CD的解析式为y=x+5,DE=DB=5,过点B且平行于CD的直线为y=（x5）+5,过点E且平行于CD的直线为y=（x+5）+5,分别与抛物线解析式联立得：方程：x2+3x+8=（x5）+5,解得x1=8, x2=,方程：x2+3x+8=（x+5）+5,解得x3=, x4=2,分别将x的值代入抛物线的解析式,得y1=0 , y2= , y3= , y4=0 ,又P点不与E点重合,满足题意的P点坐标有3个,分别是P1（8,0）, P2（,）, P3（,）.4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bxc(a0)与 x 轴交于A, B两点,与y轴交于点C,且OA2,OB8,OC6. (1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当MBN存在时,求运动多少秒使MBN的面积最大,最大面积是多少？(3) 在(2)的条件下,MBN面积最大时,在BC上方的抛物线上是否存在点P,使BPC的面积是MBN的面积的9倍,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由第4题图解：(1)OA2,OB8,OC6,根据函数图象得A(2,0),B(8,0),C(0,6),将A、B、C三点坐标代入yax2bxc(a0)中得： 解得:抛物线的解析式为；(2)设运动时间为 t 秒,则 AM3t,BNt,MB103t,在 RtBOC 中,BC=10,如解图,过点 N 作 NHAB 于点 H,第 4 题解图NHCO,BHNBOC,即,当MBN 存在时,0 t ,当 t =时,SMBN 最大,最大面积是,即运动秒使MBN的面积最大,最大面积是；(3)存在设直线 BC 的解析式为 ykxc(k0),把 B(8,0),C(0,6)代入,得解得直线 BC 的解析式为,点 P 在抛物线上,设P ,如解图,过点 P 作 PEy 轴,交 BC 于点 E,第4题解图则 E 点的坐标为,当MBN 的面积最大时,SBPC9SMBN,解得 m13,m25,当m13时,当m25时,.类型三 相似三角形存在性问题5.如图,已知直线y1=x+b和抛物线y2=x2+ax+b都经过点B（0,1）和点C,过点C作CMx轴于点M,且CM=.(1)求出抛物线的解析式;(2)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM向点M运动,过点P作PEx轴分别交抛物线和直线于点E,F.当点P运动多少秒时,四边形EFMC为菱形?(3) 在(2)的条件下,在直线AC上是否存在一点Q,使得以点E、F、Q为顶点的三角形与AMC相似？若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.第5题图解：（1）把B(0,1)代入y1=x+b,得b=1,y1=x+1,把y=代入y1=x+1得x=3,C（3,）,把B(0,1),C（3,）代入y2=x2+ax+b得,解得,y2=x2+x+1.（2）四边形EFMC为菱形,则EF=FM=CM=,设P(t,0),则EP=t2+t+1, FP=t+1, MP=3t,则EF=EPFP=t2+t+1t1=t2+t,FM=,t2+t=,=,解得t=1或t=2,解得t=1或t=3,要使,同时成立,则t=1,即当点P运动1秒时,四边形EFMC为菱形;（3）存在.由（2）可知t=1,点F的横坐标为1,将x=1代入y1=x+1中,得y1=,将x=1代入y2=x2+x+1中,得y2=4.点E（1,4）,F（1,）,将y=0代入y1=x+1中,得x=2,点A的坐标为（2,0）,如解图,过点E作EQ1CF于点Q1,第5题解图四边形EFMC为菱形,ECF=ACM,FE=EC,EFC=ECF=ACM,又EQ1F=AMC=90,EQ1FAMC,EF=EC,EQ1CF,Q1为CF的中点,F（1,）,C（3,）,点Q1的坐标为（2,2）;如解图,过点E作EQ2/x轴,交直线BC于点Q2,EQ2/x轴,EQ2F=CAM,Q2EF=FPA=90,Q2EF=AMC=90,EQ2FMAC,又E（1,4）,设Q2（x,4）,将y=4代入y1=x+1,得x=6,点Q2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q的坐标为（2,2）或（6,4）.类型四 特殊三角形存在性问题6. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2bxc经过点A (0,6)和点C(6,0)第6题图(1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B,试判断ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P,使得PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在,请求出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由解：(1)将A(0,6)和C(6,0)代入yx2bxc中,得,解得,抛物线的解析式为yx25x6；(2)由x25x60,解得x11,x26,点B的坐标为B(1,0),即点B在(6,0)与原点之间,又OAOC6,BAC为锐角,ABC为锐角三角形； (3)存在如解图,设M为线段AC的中点,则OM为AC的垂直平分线,直线OM与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P,A(0,6),C(6,0),点M的坐标为(3,3),设直线OM的解析式为ykx, 将点M(3,3)代入得,k1, 即直线OM的解析式为yx,联立,得x24x60,x12, x22,或,点P的坐标为(2,2)或(2,2)第6题解图7. 如图,抛物线与直线yx1交于A、B两点,点A的纵坐标为4,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作 PCx轴于点C,交直线AB于点D. (1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少？(3)是否存在点P,使PAD是直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由第7题图解：(1)在 yx1 中,当 x0 时,y1,当 y4 时,x3,点 B 的坐标为(0,1),点 A 的坐标为(3,4),抛物线 与直线 yx1 交于 A、B 两点,解得,抛物线的解析式为 yx24x1；(2)点 P的横坐标是 m,且点P在抛物线yx24x1上, PCx 轴,P(m,m24m1), D(m,m1)点 P 在线段 AB 的下方,3m0,当时,线段 PD 取得最大值,最大值是；(3)存在当APD90时,如解图,PCx 轴,PCF90,PCFAPD,CFAP,即 x 轴AP,点 P 与点 A 的纵坐标相同,即 m24m14,解得 m11,m23(与 A 重合,舍去),P(1,4)； 第7题解图第7题解图当PAD90时,如解图,过点 A 作 AEx 轴于点 E,PD3mm2,CE3m,在 yx1 中,当 y0 时,x1,F(1,0),即 OF1,EF4,AF,PCx 轴,AECD,AECD,ADPEAF,PADAEFDCF90,PADFEA,m32,m43(与 A 重合,舍去),P(2,5),综上所述,P 点的坐标为(1,4)或(2,5).类型五 特殊四边形存在性问题8.如图,一次函数yx1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数yx2bxc的图象与一次函数yx1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式；(2)若抛物线上存在点P,使SBDCSPBC,求出P点坐标(不与已知点重合)；(3)点N为x轴上一点,平面内是否存在点M,使得B、N、C、M为顶点构成矩形？如果存在,请求出M点的坐标；如果不存在,请说明理由第8题图解：(1)将x0代入yx1中,得：y1,B(0,1),将B(0,1),D(1,0)的坐标代入yx2bxc得：,解得,二次函数的解析式为yx2x1；(2)如解图,过点D作DFy轴交AC于点F,过点P作PGy轴交AC于点G,第8题解图将x1代入直线BC的解析式得：y,即F(1,),设点P(x,x2x1),则G(x,x1),GP|x1(x2x1)|x22x|.PBC的面积DBC的面积,DFGP,即|x22x|,当x22x时,解得x2或x2,点P的坐标为(2,)或(2,),当x22x时,解得x3或x1(舍去),点P的坐标为(3,1),综上所述,点P的坐标为(3,1)或(2,)或(2, )；(3)如解图所示,当CBN90时,则BN的解析式为y2x1,将直线BC的解析式与抛物线的解析式联立得：,第8题解图解得（舍去）,或,点C的坐标为(4,3),将y0代入直线BN的解析式得：2x10,解得x,点N的坐标为(,0),设点M的坐标为(x,y),四边形BNMC为矩形,解得x,y2,点M的坐标为(,2)；如解图所示,当CNM90时,第8题解图设CN的解析式为y2xn,将点C的坐标代入得：8n3,解得n11,CN的解析式为y2x11,将y0代入得2x110,解得x,点N的坐标为(,0),设点M的坐标为(x,y),四边形BMNC为矩形,解得x,y2,点M的坐标为(,2)；如解图所示,当BNC90时,过点C作CFx轴,垂足为F, 第8题解图设ONa,则NF4a,BNOOBN90,BNOCNF90,OBNCNF,又BONCFN,BONNFC,即,解得：a1或a3,当a1时,点N的坐标为(1,0),设点M的坐标为(x, y),四边形BNCM为矩形,解得x3,y4,点M的坐标为(3,4)；当a3时,点N的坐标为(3,0 ),设点M的坐标为(x, y),四边形BNCM为矩形,解得x1,y4,点M的坐标为(1,4),综上所述,点M的坐标为(3,4),(1,4),(,2)或(,2)9.如图,直线y=x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当BEC面积最大时,请求出点E的坐标和BEC面积的最大值；(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由.第9题图 备用图 解:（1）直线y=x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,点B的坐标是（0,3）,点C的坐标是（4,0）,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,解得,y=x2+x+3；（2）如解图,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,交x轴于点F,第9题解图点E是直线BC上方抛物线上的一动点,设点E的坐标是（x,x2+x+3）,则点M的坐标是（x,x+3）,EM=x2+x+3(x+3)=x2+x, SEBC=SBEM+SMEC =EMOC =（x2+x）4 =x2+3x =（x2）2+3, 当x=2时,即点E的坐标是（2,3）时,BEC的面积最大,最大面积是3.（3）在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.（I） 如解图,由（2）可得点M的横坐标是2,点M在直线y=x+3上,点M的坐标是（2,）,y=x2+x+3的对称轴是直线x=1,设点Q的坐标是（1,m),点P的坐标是（x,x2+x+3）,x0,由平行四边形的性质可得xMxA=xPxQ,则2（2）=x1,解得x=5,点P的坐标是（5,）.（III）如解图,点M的坐标是（2,）,设点Q的坐