行列式线性代数与解析几何清华大学01.pdf

1 引言引言 2 排列与逆序排列与逆序 3 排列的性质排列的性质 第一节 排列第一节 排列 记记 阶行列式第二节阶行列式第二节n 用定义计算的例子 阶行列式的定义 用定义计算的例子 阶行列式的定义 2 1n 阶行列式的定义阶行列式的定义n 1 定义定义 sgn 2 1 21 21 2121 21 22221 11211 2 元排列求和其中和号对所有 下式确定的一个数 通过个数阶行列式是由 元排列求和其中和号对所有 下式确定的一个数 通过个数阶行列式是由 n aaajjj aaa aaa aaa njiann n n jjj njjjn nnnn n n ij l ll l llll l l l 是是奇排奇排列列 是是偶排偶排列列 n njjj n jjj jjj jjj n l l l l 21 21 21 1 1 1 sgn 21 用定义计算的例子用定义计算的例子 2 行列式的性质第三节 利用性质计算行列式 行列式的性质 行列式的性质第三节 利用性质计算行列式 行列式的性质 2 1 行列式的性质行列式的性质 1 nnnn qnqq qnpnqpqp n nnnn qnqq pnpp n aaa aaa kaakaakaa aaa aaa aaa aaa aaa l llll l llll l llll l l llll l llll l llll l 21 21 2211 11211 21 21 21 11211 利用性质计算行列式利用性质计算行列式 2 例例1 xaa axa aax l llll l l xaxan axxan aaxan l llll l l 1 1 1 xa ax aa xan l llll l l 1 1 1 1 ax ax aa xan l llll l l 00 00 1 1 1 1 n axxan 例例2 1 2 1 ayyy xayy xxay xxxa n n n l lllll l l l 1 2 1 0 0 0 ayyy xayy xxay xxxyya d n n n n l lllll l l l 1 2 1 1 2 1 0 0 0 ayyy xayy xxay xxxy ayy xay xxa xxxya n n n n n l lllll l l l l lllll l l l 1 2 1 1 1 1 1 1 ayy xay xxa xxx ydya n n nn l lllll l l l xaxyxy xaxy xa ydya n n nn 1 2 1 1 1 01 001 0001 l lllll l l l xaxaxaydya nnnn 1211 l xaxaxaydyad nnnnn 1211 l yayayaxdxad nnnnn 1211 l xy yayayax xy xaxaxay d yx nn nn n 若 若 11 11 l l 例例3vandermonde行列式行列式 nij ji n n nnn n n aa aaaa aaaa aaaa 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 l lllll l l l 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n n aaaa aaaa aaaa v l lllll l l l 2 1 12 31 1 3 2 21 1 2 1 2 31 2 321 2 2 11312 0 0 0 1111 n n n n nnnn nn n aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa l lllll l l l 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa n n n nn nn n l llll l l 22 3 2 2 32 11312 111 n n nn n n aaa aaa aaaaaa l llll l l l 111312 nn vaaaaaal nij jin aaaaaaaa 2 11312 l nij ji aa 1 例例4 jiij nn n n aa aa aa aa 0 0 0 21 212 112 l llll l l 0 0 0 21 212 112 l llll l l nn n n aa aa aa d 令 令 0 0 0 21 212 112 l llll l l nn n n aa aa aa 0 0 0 1 21 212 112 l llll l l nn n n n aa aa aa d n 1 例例1 m cba cba cba 333 222 111 已知已知 333333 222222 111111 accbba accbba accbba 求 求 例例2 0 111 111 111 21 2 1 n n aaa a a a l l llll l l 其中其中 按行展开定理第四节 行列式利用按行展开公式计算 式行列式按一行展开的公 余子式 代数余子式 按行展开定理第四节 行列式利用按行展开公式计算 式行列式按一行展开的公 余子式 代数余子式 3 2 1 余子式 代数余子式余子式 代数余子式 1 式行列式按一行展开的公 式行列式按一行展开的公 2 knknkkkk aaaaaad l 2211 knknkkkk aaaaaad l 2211 432 131211 aaa 23 131211 aaa 行列式利用按行展开公式计算行列式利用按行展开公式计算 3 1 10 0 01 1 oo o nn dd 法则的应用 法则 法则的应用 法则 cramer cramer 2 1 第5节 cramer法则 第5节 cramer法则 法则法则cramer 1 例例2 0 02 2 2 0 1 21 21 21 零解取何值时 方程组有非试问 设齐次线性方程组 零解取何值时 方程组有非试问 设齐次线性方程组 a xannxnx xxax xxxa n n n l llllllllllll l l 例例3 43332313 aaaa febq dfbg gfbe dcba 求设行列式 例 求设行列式 例4 例例5 1 1 1 121 xaaaa x x x nn l oo计算计算 例例6 1 1 1 21 22212 12111 nnnn n n bababa bababa bababa l