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第二章逻辑函数 主要内容2 1逻辑函数2 2逻辑函数的简化 2 1逻辑函数 逻辑代数 LogicAlgebra 是由英国数学家乔治 布尔 GeorgeBoole 于1849年首先提出的 因此也称为布尔代数 BooleanAlgebra 逻辑代数研究逻辑变量间的相互关系 是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具 所谓逻辑变量 是指只有两种取值的变量 真或假 高或低 1或0 2 1 1基本逻辑逻辑变量之间的关系多种多样 有简单的也有复杂的 最基本的逻辑关系有 逻辑与 逻辑或和逻辑非三种 1 逻辑与只有当决定某事件的全部条件同时具备时 该事件才发生 这样的逻辑关系称为逻辑与 或称逻辑相乘 2 1逻辑函数 在如图电路中 只有当开关S1和S2同时接通时 电灯F才会亮 若以S1 S2表示两个开关的状态 以F表示电灯的状态 用1表示开关接通和电灯亮 用0表示开关断开和电灯灭 则只有当S1和S2同时为1时 F才为1 F与S1和S2之间是一种与的逻辑关系 逻辑与运算的运算符为 写成F S1 2或F S1S2 逻辑变量之间取值的对应关系可用一张表来表示 这种表叫做逻辑真值表 简称真值表 与逻辑关系的真值表如表所示 与逻辑电路 与逻辑的真值表 2 1逻辑函数 2 逻辑或在决定某事件的诸多条件中 当有一个或一个以上具备时 该事件都会发生 这样的逻辑关系称为逻辑或 或称逻辑相加 在如图电路中 当开关S1和S2中有一个接通 S1 1或S2 1 或一个以上接通 S1 1且S2 1 时 电灯F都会亮 F 1 因此F与S1和S2之间是一种或的逻辑关系 逻辑或运算的运算符为 写成F S1 S2 或逻辑关系的真值表如表所示 或逻辑电路 或逻辑的真值表 2 1逻辑函数 3 逻辑非在只有一个条件决定某事件的情况下 如果当条件具备时 该事件不发生 而当条件不具备时 该事件反而发生 这样的逻辑关系称为逻辑非 也称为逻辑反 在如图电路中 当开关S接通 S 1 时 电灯F不亮 F 0 而当开关S断开 S 0 时 电灯F亮 F 1 因此 F与 之间是逻辑反的关系 写成F 非逻辑关系的真值表如表所示 非逻辑的真值表 非逻辑电路 2 1逻辑函数 4 其他常见逻辑运算除了与 或 非三种最基本的逻辑运算外 常见的复合逻辑运算有 与非 或非 异或 同或 与非与非 或非或非等 这些运算的表达式如下 与非表达式 或非表达式 异或表达式 同或表达式 与非与非表达式 或非或非表达式 以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示 2 1逻辑函数 与非逻辑的真值表 2 1逻辑函数 或非逻辑的真值表 2 1逻辑函数 异或逻辑的真值表 2 1逻辑函数 同或逻辑的真值表 2 1逻辑函数 与非与非逻辑的真值表 2 1逻辑函数 或非或非逻辑的真值表 2 1逻辑函数 5门电路输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路 简称门电路 常用的门电路有与门 或门 非门 与非门 或非门 与或非门 异或门 同或门等 它们的逻辑符号如图所示 常用门电路的逻辑符号 2 1逻辑函数 1 逻辑函数定理 任何逻辑关系都可表示为逻辑函数 输入逻辑变量A B C 输出运算结果Y Y A B C 记为Y F A B C 如果A B C和Y只取0 1两个值 则叫二值逻辑函数 例 楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数 A和B分别是楼下 楼上的两个单刀双掷开关 P为楼道灯 任何时候均可在楼下或楼上开关楼道灯 若用1表示开关掷上 用0表示开关掷下 用1表示灯亮 用0表示灯灭 则灯P是开关A B C的二值逻辑函数 即 P F A B 2 1 3逻辑函数及其表示方法 2 1逻辑函数 2 逻辑函数的表示方法逻辑函数常用的描述方法有函数式 真值表 卡诺图和逻辑图等 1 函数式由逻辑变量和逻辑运算符号组成 用于表示变量之间逻辑关系的式子 称为逻辑函数式 常用的逻辑函数式有与或表达式 标准与或表达式 或与表达式 标准或与表达式 与非与非表达式 或非或非表达式 与或非表达式等 2 1逻辑函数 与或表达式 标准与或表达式 或与表达式 标准或与表达式 与非与非表达式 或非或非表达式 与或非表达式 2 1逻辑函数 2 真值表用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格 称为真值表 例如 在一个判奇电路中 当A B C三个变量中有奇数个1时 输出F为1 否则 输出F为0 可列出下表所示的真值表 2 1逻辑函数 判奇电路的真值表 2 1逻辑函数 3 卡诺图将逻辑变量分成两组 分别在横竖两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合 构成一个有2n个方格的图形 其中 每一个方格对应变量的一个取值组合 这种图形叫做卡诺图 卡诺图分变量卡诺图和函数卡诺图两种 在变量卡诺图的所有方格中 没有相应的函数值 而在函数的卡诺图中 每个方格上都有相应的函数值 2 1逻辑函数 如图为二 五个变量的卡诺图 方格中的数字为该方格对应变量取值组合的十进制数 亦称该方格的编号 卡诺图 a 两变量 b 三变量 c 四变量 d 五变量 2 1逻辑函数 一个四变量函数的卡诺图 如图为一个四变量函数的卡诺图 方格中的0和1表示在对应变量取值组合下该函数的取值 2 1逻辑函数 4 逻辑图由逻辑门电路符号构成的 用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图 简称逻辑图 如图为函数 的逻辑图 函数F的逻辑图 2 1逻辑函数 2 1 4逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式 1 逻辑函数相等定义 如果对应于输入变量的任一状态组合 输出变量F和G的值都相同 则称F和G是等值的 即F G 由定义可知 F和G的真值表相同 F G例2 2 P20 2 1逻辑函数 2 逻辑函数基本公式 2 1逻辑函数 式 8 8 称为同一律 式 9 9 称为交换律 式 10 10 称为结合律 式 11 11 称为分配律 式 12 12 称为德 摩根 De Morgan 定律 式 13 称为还原律 2 1逻辑函数 2 1 5三个定理1 代入规则在一个逻辑等式两边出现某个变量 或表示式 的所有位置都代入另一个变量 或表达式 则等式仍然成立 例如 已知 在等式两边出现B的所有位置都代入BC 则等式仍然成立 即 2 1逻辑函数 2 反演规则对一个逻辑函数F进行如下变换 将所有的 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 则得到函数F的反函数 使用反演规则时 要注意以下两点 保持原函数中逻辑运算的优先顺序 不是单个变量上的反号保持不变 例如 则 2 1逻辑函数 3 对偶规则对一个逻辑函数F进行如下变换 将所有的 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 则得到函数F的对偶函数F 例如 F1 A B C F1 A B CF2 A B A C F2 A B A C 如果两个函数相等 则它们的对偶函数亦相等 这就是对偶规则 例如 已知A B C A B A C 则 A B C A B A C 2 1逻辑函数 2 1 6常用公式下面列出一些常用的逻辑函数公式 利用前面介绍的基本公式可以对它们加以证明 1 A A B A证明 A A B A 1 A B A 1 B A 1 A 公式的含义是 在一个与或表达式中 如果一个与项是另一个与项的一个因子 则另一个与项可以不要 这一公式称为吸收律 例如 2 1逻辑函数 2 证明 2 1逻辑函数 公式的含义是 在一个与或表达式中 如果一个与项的反是另一个与项的一个因子 则这个因子可以不要 例如 2 1逻辑函数 3 证明 公式的含义是 在一个与或表达式中 如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子 则由这两个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的 例如 2 1逻辑函数 2 1逻辑函数 4 证明 2 1逻辑函数 公式的含义是 在一个与或表达式中 如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子 则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是可要可不要的 例如 2 1逻辑函数 2 1 7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式主要有两种 即与一或式和或一与式 1 最小项mi i取0 2n 1 定义 包括全部输入变量的乘积项 并且所有变量均以原变量或反变量的形式在乘积项中必须且只能出现一次 mi的重要特性 在输入变量的任何取值下必须有一个最小项且仅有一个最小项的知为1 全体mi之和为1 任意两个mi的乘积为0 相邻两个mi之和可以合并成一项 并消去一对因子 相邻 两个mi只有因子不同 其余均相同 这两个mi叫相邻mi 如ABC 为什么mi叫最小项 因为包含了全部输入变量的乘积项等于1的机会最小 2 1逻辑函数 求最小项对应的变量取值组合时 如果变量为原变量 则对应组合中变量取值为1 如果变量为反变量 则对应组合中变量取值为0 例如 A B C的最小项ABC对应的变量取值组合为101 其大小为5 所以 ABC的编号为5 记为m5 2 1逻辑函数 例 写出函数的标准与或表达式 解 也可以写成 或或 2 1逻辑函数 从上面例子可以看出 一个与项如果缺少一个变量 则生成两个最小项 一个与项如果缺少两个变量 则生成四个最小项 如此类推 一个与项如果缺少n个变量 则生成2n个最小项 由真值表求函数的标准与或表达式时 找出真值表中函数值为1的对应组合 将这些组合对应的最小项相或即可 2 1逻辑函数 2 最大项Mi i取0 2n 1 定义 包括全部输入变量的和项 并且所有变量均以原变量或反变量的形式在和项中必须且只能出现一次 Mi的重要特性 在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的知为0 全体Mi之积为1 任意两个Mi之和为1 只有一个变量不同的两个Mi的乘积等于各相同变量之和 2 1逻辑函数 例 写出函数的标准或与表达式 解 2 1逻辑函数 也可以写成 或或 2 1逻辑函数 我们知道 同一个逻辑函数可以写成不同的表达式 用基本逻辑门电路去实现某函数时 表达式越简单 需用门电路的个数就越少 因而也就越经济可靠 因此 实现逻辑函数之前 往往要对它进行化简 先求出其最简表达式 再根据最简表达式去实现逻辑函数 最简表达式有很多种 最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式 不同类型的逻辑函数表达式 最简的定义也不同 2 2逻辑函数的化简 函数的最简与或表达式必须满足的条件有 1 与项个数最少 2 与项中变量的个数最少 函数的最简或与表达式必须满足的条件有 1 或项个数最少 2 或项中变量的个数最少 常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种 2 2逻辑函数的化简 2 2 1公式化简法 代数法 公式法化简逻辑函数 就是通过利用逻辑函数的基本公式 对函数进行消项 消因子等 以求得函数的最简表达式 常用方法有以下四种 1 并项法利用公式 将两个与项合并为一个 消去其中的一个变量 2 2逻辑函数的化简 例 求函数的最简与或表达式 解 2 2逻辑函数的化简 2 吸收法利用公式 吸收多余的与项 例 求函数的最简与或表达式 解 F A AB ABC A B C A A B C AA AB AC A AB AC A 2 2逻辑函数的化简 3 消去法利用公式 消去与项多余的因子 例 求函数的最简与或表达式 解 2 2逻辑函数的化简 4 配项消项法利用公式 进行配项 以消去更多的与项 例 求函数的最简与或表达式 解 2 2逻辑函数的化简 例 求函数的最简与或表达式 解 2 2逻辑函数的化简 2 2 2图解化简法 卡诺图化简法 1 用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式卡诺图 将n变量的全部最小项各用一个方块表示 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来 所得到的叫做n变量最小项的卡诺图 由美国工程师卡诺提出 循环码 相邻两组之间只有一个变量值不同的编码 如00 01 11 10 1 卡诺图的相邻性最小项的相邻性定义 两个最小项 如果只有一个变量的形式不同 在一个最小项中以原变量出现 在另一个最小项中以反变量出现 其余变量的形式都不变 则称这两个最小项是逻辑相邻的 卡诺图的相邻性判别 2 2逻辑函数的化简 在卡诺图的两个方格中 如果只有一个变量的取值不同 在一个方格中取1 在另一个方格中取0 其余变量的取值都不变 则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的 在卡诺图中 由于变量取值按循环码排列 使得几何相邻的方格对应的最小项是逻辑相邻的 具体而言 每一方格和上下左右四边紧靠它的方格相邻 最上一行和最下一行对应的方格相邻 最左一列和最右一列对应的方格相邻 对折相重的方格相邻 图1 13画出了卡诺图中最小项相邻的几种情况 2 2逻辑函数的化简 卡诺图中最小项相邻的几种情况 2 2逻辑函数的化简 2 卡诺图化简法的一般规律 1 两个相邻的1方格圈在一起 消去一个变量 如图所示 两个相邻的1方格对应的两个最小项中只有一个变量的形式不同 将它们相或时可以消去该变量 只剩下不变的因子 例如 在图 a 中 两个相邻的1方格对应的两个最小项为和 在这两个最小项中只有变量C的形式不同 因为 结果将变量C消去了 剩下两个不变的因子和 将这两个方格圈在一起得到一个简化的与项 2 2逻辑函数的化简 两个相邻最小项的合并 2 2逻辑函数的化简 2 四个相邻的1方格圈在一起 消去两个变量 如图所示 四个相邻的1方格对应的四个最小项中有两个变量的形式变化过 将它们相或时可以消去这两个变量 只剩下不变的因子 例如 在图 e 中 四个相邻的1方格对应的四个最小项分别为 在这四个最小项中 A和C两个变量的形式变化过 2 2逻辑函数的化简 2 2逻辑函数的化简 3 八个相邻的1方格圈在一起 消去三个变量 如图所示 八个相邻的1方格对应的八个最小项中 有三个变量的形式变化过 将它们相或时可以消去这三个变量 只剩下不变的因子 2 2逻辑函数的化简 四个相邻最小项的合并 2 2逻辑函数的化简 八个相邻最小项的合并 2 2逻辑函数的化简 4 2n个相邻的1方格圈在一起 消去n个变量 2n个相邻的1方格对应的