高中数学 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 新人教A版选修23.ppt

第一章计数原理 第一章计数原理 1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一章计数原理 学习导航 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 做一做1 若某班有男生26人 女生24人 从中选一位同学为数学课代表 有 种不同选法 答案 50 m n 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 想一想分步乘法计数原理中的 各步方法 能单独 完成这件事 吗 提示 不能 m n 做一做2 已知集合a 1 2 b 3 4 5 从集合a和集合b中分别取一个元素作为平面直角坐标系中的点的横 纵坐标 可确定 个不同点 答案 6 题型一分类加法计数原理 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 解 法一 按十位上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 法二 按个位上的数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 所以按分类加法计数原理 满足条件的两位数共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 名师点评 利用分类加法计数原理时要注意 1 要准确理解题意 确定分类的标准 2 分类时要做到 不重不漏 即类与类之间要保证相互间的独立性 互动探究1 本例条件不变 问个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 解 当个位数字为0 1 2 3 4 5 6 7 8时 符合条件的两位数分别有9 8 7 6 5 4 3 2 1个 根据加法计数原理共有9 8 7 6 5 4 3 2 1 45 个 从1 2 3 4中选三个数字 组成无重复数字的整数 则满足下列条件的数有多少个 1 三位数 2 三位数的偶数 解 1 三位数有三个数位 故可分三个步骤完成 第1步 排个位 从1 2 3 4中选1个数字 有4种方法 第2步 排十位 从剩下的3个数字中选1个 有3种方法 第3步 排百位 从剩下的2个数字中选1个 有2种方法 依据分步乘法计数原理 共有4 3 2 24个满足要求的三位数 题型二分步乘法计数原理 2 分三个步骤完成 第1步 排个位 从2 4中选1个 有2种方法 第2步 排十位 从余下的3个数字中选1个 有3种方法 第3步 排百位 只能从余下的2个数字中选1个 有2种方法 故共有2 3 2 12个三位数的偶数 名师点评 利用分步乘法计数原理解决问题时 一定要正确设计 分步 的程序 即完成这件事共分几步 每一步的具体内容是什么 各步的方法 种数是多少 最后用分步乘法计数原理求解 跟踪训练2 某商店现有甲种型号电视机10台 乙种型号电视机8台 丙种型号电视机12台 从这三种型号的电视机中各选1台检验 有多少种不同的选法 解 从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成 第一步 从甲种型号中选1台 有10种不同的选法 第二步 从乙种型号中选1台 有8种不同的选法 第三步 从丙种型号中选1台 有12种不同的选法 根据分步乘法计数原理 不同的选法共有10 8 12 960种 现有高一学生50人 高二学生42人 高三学生30人 组成冬令营 1 若从中选1人作总负责人 共有多少种不同的选法 2 若每年级各选1名负责人 共有多少种不同的选法 3 若从中推选两人作为中心发言人 要求这两人要来自不同的年级 则有多少种选法 解 1 从高一选1人作总负责人有50种选法 从高二选1人作总负责人有42种选法 从高三选1人作总负责人有30种选法 由分类加法计数原理 可知共有50 42 30 122 种 选法 题型三两个计数原理的综合应用 2 从高一选1名负责人有50种选法 从高二选1名负责人有42种选法 从高三选1名负责人有30种选法 由分步乘法计数原理 可知共有50 42 30 63000 种 选法 3 高一和高二各选1人作中心发言人 有50 42 2100 种 选法 高二和高三各选1人作中心发言人 有42 30 1260 种 选法 高一和高三各选1人作中心发言人 有50 30 1500 种 选法 故共有2100 1260 1500 4860 种 选法 名师点评 1 在处理具体的应用题时 首先必须弄清是 分类 还是 分步 其次要搞清 分类 或 分步 的具体标准是什么 选择合理的标准处理事件 可以避免计数的重复或遗漏 2 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题 我们可以恰当地画出示意图或列出表格 使问题更加直观 清晰 跟踪训练3 某艺术小组有9人 每人至少会钢琴和小号中的一种乐器 其中7人会钢琴 3人会小号 从中选出会钢琴与小号的各1人 有多少种不同的选法 解 由题意可知 在艺术小组9人中 有且仅有1人既会钢琴又会小号 把该人称为 多面手 只会钢琴的有6人 只会小号的有2人 把选出会钢琴 小号各1人的方法分为两类 第一类 多面手入选 另1人只需从其他8人中任选一个 故这类选法共有8种 第二类 多面手不入选 则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出 会小号者也只能从只会小号的2人中选出 故这类选法共有6 2 12种 因此n 8 6 2 20 种 故共有20种不同的选法 用两个计数原理解决计数问题时 要明确需要分类还是需要分步 1 分类 是将完成这件事的所有方式分类 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步 是将完成这件事的每一个方式分步 分步要做到 步骤完整 完成了所有步骤 恰好完成任务 当然步与步之间要相互独立 分步后再计算每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 3 对于有些计数问题的解决 对它们既需要进行 分类 又需要进行 分步 那么此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题 解决这类问题 首先 要明确是先 分类 后 分步 还是先 分步 后 分类 其次 在 分类 和 分步 的过程中 均要确定明确的分类标准和分步程序 4 有些计数问题既可以用分类加法计数原理 又可以用分步乘法计数原理解决问题 此时要注意权衡用哪种方法解决较为简单 题意不明致误有红 黄 蓝旗各3面 每次升1面 2面 3面在某一旗杆上纵向排列 表示不同的信号 顺序不同也表示不同的信号 共可以组成多少种不同的信号 常见错误 求解只注意顺序不同表示不同的信号 而忽略了旗数不同也表示不同信号 易错警示 解 每次升1面旗可组成3种不同的信号 每次升2面旗可组成3 3 9 种 不同的信号 每次升3面旗可组成3 3 3 27 种 不同的信号 根据分类加法计数原理得 共可组成 3 9 27 39 种 不同的信号 防范措施 求解此类问题 一般是先分类再分步 分类时要设计好标准 设计好分类方案 防止重复和遗漏 分步时要注意步与步之间的连续性