高中数学 1.1 归纳推理课件 北师大版选修12.ppt

第三章推理与证明 1归纳与类比1 1归纳推理 历史上 人们曾经有过制造永动机的美好愿望 希望制造出一种不消耗能量的机器 永无休止地为人类服务 人们提出过许多永动机的设计方案 最早永动机的设计方案是13世纪的法国人亨内考提出的 后来人们又提出了各种永动机的设计方案 滚珠永动机 软臂永动机 阿基米德螺旋永动机 磁力型永动机 从大量的失败案例中 科学界归纳出了一个结论 不可能制造出永动机 后来 著名科学家罗蒙诺索夫提出了能量守恒定律 从理论上说明了制造永动机是不可能的 在这里我们用到了数学中的什么原理 请进入本节的学习 1 结合已学过的数学实例 了解归纳推理的含义 重点 2 能利用归纳进行简单的推理 重点 3 体会并认识归纳推理在数学发现中的作用 哥德巴赫猜想 goldbachconjecture 是世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫是德国一位中学教师 也是一位著名的数学家 生于1690年 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士 1742年 哥德巴赫在教学中发现 每个不小于6的偶数都是两个素数之和 如6 3 3 12 5 7等 探究点归纳推理 公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉 提出了以下的猜想 a 任何一个大于或等于6的偶数 都可以表示成两个素数之和 b 任何一个大于或等于9的奇数 都可以表示成三个素数之和 歌德巴赫猜想的提出过程 3 7 10 3 17 20 13 17 30 歌德巴赫猜想 任何一个不小于6的偶数都等于两个素数之和 即偶数 素数 素数 改写为 10 3 7 20 3 17 30 13 17 6 3 3 1000 29 971 8 3 5 1002 139 863 10 5 5 12 5 7 14 7 7 16 5 11 18 7 11 这个结论是否正确呢 人们验证了许多偶数 都满足这个规律 但是至今还没有得到证明 这个结论仍然是猜想 例1在一个凸多面体中 试通过归纳猜想其顶点数 棱数 面数满足的关系 解 考察一些多面体 如图1所示 将这些多面体的面数 f 棱数 e 顶点数 v 列出 得到右表 图1 从这些事实中 可以归纳出 f v e 2这就是著名的欧拉公式 例2如果面积是一定的 什么样的平面图形周长最小 试猜测结论 解 考虑单位面积的正三角形 正四边形 正六边形 正八边形 它们的周长分别记作p3 p4 p6 p8 可得下表 归纳上述结果 可以发现 面积一定的正多边形中 边数越多 周长越小 于是得到猜测 图形面积一定 圆的周长最小 提示 在以上各例的推理过程中 它们的共同之处是 根据一类事物中部分事物具有某种属性 推断该类事物中每一个事物都有这种属性 我们将这种推理方式称为归纳推理 思考 上述各例的推理过程中 它们的共同之处是什么 归纳推理的基础 归纳推理的作用 归纳推理的含义 观察 分析 发现新事实 获得新结论 由部分到整体 由个别到一般的推理 归纳推理的结论不一定成立 感悟交流 注意 点评 由归纳推理获得的结论 仅仅是一种猜想 未必可靠 因此不一定正确 费马猜想 任何形如的数都是素数 反例 例如法国数学家费马观察到 1 观察1 3 4 22 1 3 5 9 32 1 3 5 7 16 42 1 3 5 7 9 25 52 你能得出的一般性结论为 分析 观察各式两边数字特点可得 1 3 5 2n 1 n2 2 观察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由归纳推理可得 若定义在r上的函数f x 满足f x f x 记g x 为f x 的导函数 则g x a f x b f x c g x d g x 解析 由已知观察偶函数的导函数是奇函数 而f x 是r上的偶函数 所以其导函数g x 必为奇函数 故g x g x d 3 2012 江西高考 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 a 28b 76c 123d 199 分析 由前几项发现规律 归纳猜想结果 c 4 观察下列各式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 可以得出的一般结论是 a n n 1 n 2 3n 2 n2b n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2c n n 1 n 2 3n 1 n2d n n 1 n 2 3n 1 2n 1 2解析 分析题设中1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 各式子左右两边的形式 包括项数 每一个式子第一个数的值等 归纳分析后 即可得到结