高中数学 1.6三角函数模型的简单应用课件 新人教A版必修4.ppt

1 6三角函数模型的简单应用 三角函数的应用 1 根据实际问题的图象求出函数解析式 2 将实际问题抽象为与 有关的简单函数模型 3 利用搜集的数据作出 并根据 进行函数拟合 从而得到函数模型 三角函数 散点图 散点图 思考 1 散点图在建模过程中起到什么作用 提示 利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系 然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点 从而避免因盲目选择函数模型而造成不必要的失误 2 应按怎样的流程解决三角函数模型的应用问题 提示 应按照审题 建模 解模 还原等流程 知识点拨 三角函数应用题的三种模式 1 给定呈周期变化规律的三角函数模型 根据所给模型 结合三角函数的性质 解决一些实际问题 2 给定呈周期变化的图象 利用待定系数法求出函数解析式 再解决其他问题 3 整理一个实际问题的调查数据 根据数据作出散点图 通过拟合函数图象 求出可以近似表示变化规律的函数模型 进一步用函数模型来解决问题 类型一图象与函数解析式对应问题 典型例题 1 与图中曲线对应的函数解析式为 a y sinx b y sin x c y sin x d y sinx 2 2013 济宁高一检测 若函数f x sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线y k有且只有两个不同的交点 则k的取值范围是 解题探究 1 奇函数 偶函数的图形各有什么特点 2 若x 0 2 sinx 中的绝对值号应如何处理 探究提示 1 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 2 解析 1 选c 图象对应的函数值有正有负 所以排除a d 又x 0 时 图中函数值小于0 所以选c 2 其图象如图 与y k有且只有两个不同的交点 则1 k 3 答案 1 k 3 互动探究 题2中 若问函数f x sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线y k有四个不同的交点 则k的取值范围是 解析 由图象知 0 k 1 答案 0 k 1 拓展提升 解决函数图象与解析式对应问题的策略 1 解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决 如函数的奇偶性 周期性 图象的对称性 单调性 值域 此外零点也可以作为判断的依据 2 利用图象确定函数y asin x 的解析式 实质就是确定其中的参数a 其中a由最值确定 由周期确定 而周期由特殊点求得 由点在图象上求得 确定 时 注意它的不唯一性 一般是求 中最小的 变式训练 画出y cosx 1的图象 观察其周期 写出单调增区间 解析 把余弦曲线在x轴下方的部分翻折到x轴上方 x轴上方的图象不动 然后再把整个图象向上平移1个单位得到y cosx 1的图象 如图 观察知 周期为 单调增区间为 类型二用三角函数模型解决有关应用题 典型例题 1 已知函数y asin x b的周期为t 在一个周期内的图象如图所示 则 2 如图表示电流i与时间t的函数关系式 i asin t 在一个周期内的图象 1 根据图象写出i asin t 的解析式 2 为了使i asin t 中t在任意 段秒的时间内电流i能同时取得最大值和最小值 那么正整数 的最小值是多少 解题探究 1 题1中 由图象如何确定a和b 2 对于i asin t 能同时取得最大值和最小值的最小范围是多少 探究提示 解析 1 因为所以t 4 可得又因为函数最大值为2 最小值为 4 所以2a 2 4 6 可得因此 函数表达式为 因为当时 函数最小值为 4 所以解之得因为所以取k 0 得答案 2 1 由图知因为所以由得所以 2 问题等价于即所以 100 所以正整数 的最小值为315 拓展提升 解三角函数应用问题的基本步骤 变式训练 据市场调查 某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上 按月呈f x asin x b的模型波动 x为月份 已知3月份达到最高价9千元 7月份价格最低为5千元 根据以上条件可确定f x 的解析式为 解题指南 由最大值和最小值的间隔得出为可求得 的值 由最大值和最小值得出a b的值 利用特殊点 3 9 求 解析 由题可知所以t 8 所以即又过点 3 9 代入 式得由所以即答案 类型三根据数据拟合函数 典型例题 1 某港口水的深度是关于时间t 时 的函数 其中0 t 24 下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系 经长期观察 函数y f t 的图象可以近似地看成函数y k asin t 的图象 根据上述数据 函数y f t 的解析式为 a b c d 2 已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 时 的函数 其中0 t 24 记y f t 下表是某日各时的浪高数据 经长期观测 y f t 的图象可近似地看成是函数y acos t b的图象 1 根据以上数据 求其最小正周期 振幅及函数解析式 2 根据规定 当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断一天内的8 00到20 00之间 有多少时间可供冲浪者进行活动 解题探究 1 建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么 2 如何建立拟合函数模型 探究提示 1 1 先寻找与角有关的信息 确定选用正弦 余弦还是正切函数模型 2 其次是搜集数据 建立三角函数解析式并解题 3 最后将所得结果翻译成实际答案 2 1 利用搜集到的数据 作出相应的 散点图 2 观察 散点图 并进行数据拟合 获得具体的函数模型 3 利用这个函数模型解决相应的实际问题 并进行检验 解析 1 选a 由t 0 y 12知 排除d 由t 6 y 12知 排除c 因t 3 y 15知 可排除b 2 1 由表中数据可知 t 12 所以又t 0时 y 1 5 所以a b 1 5 t 3时 y 1 0 得b 1 0 所以振幅为函数解析式为 2 因为y 1时 才对冲浪爱好者开放 所以又0 t 24 所以0 t 3或9 t 15或21 t 24 所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动 即9 t 15 拓展提升 建立三角函数拟合模型的注意事项 1 在由图象确定函数的解析式时 注意运用方程思想和待定系数法来确定参数 2 在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题 3 在应用三角函数模型解答应用题时 要善于将符号 图形 文字等各种语言巧妙转化 并充分利用数形结合思想直观地理解问题 变式训练 某 海之旅 表演队在一海滨区域进行集训 该海滨区域的海浪高度y 米 随着时间t 0 t 24 单位 时 而周期性变化 为了了解变化规律 该队观察若干天后 得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表 1 试画出散点图 2 观察散点图 从y ax b y asin t b y acos t 中选择一个合适的函数模型 并求出该拟合模型的解析式 3 如果确定当浪高不低于0 8米时才进行训练 试求安排白天内进行训练的具体时间段 1 散点图如图所示 2 由散点图可知 选择y asin t b函数模型较为合适 由图可知 则把t 0代入 得即 0 所以 3 由即则得 1 12k t 7 12k k z 从而0 t 7或11 t 19或23 t 24 所以 应在白天11时 19时进行训练 规范解答 根据三角函数模型求其表达式中各要素 条件分析 典例 规范解答 1 设振幅为a 则2a 20cm 所以a 10cm 3分设周期为t 则周期t 1s 5分频率f 1hz 6分 2 振子在1个周期内通过的路程为4a 8分故在5s内通过的路程为s 5 4a 200 cm 10分5s末振子在b点 相对于平衡位置的位移为5cm或 5cm 12分 失分警示 防范措施 明确量的物理意义对于三角函数表述的各个量 要明确其物理意义 结合实际 深入理解 如本例中由b c相距20cm可知振幅 另外 对物理中的概念要理解其内涵和外延 明确其本质的区别 如本例中路程与位移的区别 类题试解 弹簧挂着的小球做上下振动 它在时间t s 内离开平衡位置 静止时的位置 的距离h cm 有下面的函数关系式 1 求小球开始振动的位置 2 求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置 3 经过多长时间小球往返振动一次 4 每秒内小球能往返振动多少次 解析 1 令t 0 得所以开始振动的位置为 2 最高点为最低点为 3 即每经过约3 14秒小球往返振动一次 4 即每秒内小球往返振动约0 318次 1 已知函数f x asin x b的周期为初相为值域为 1 3 则其函数式的最简形式为 a b c d 解析 选a 初相为排除d 值域为 1 3 排除b c 2 函数y xcosx的部分图象是 解析 选d 首先该函数是奇函数 故排除a c 又当时 y 0 排除b 故选d 3 电流i a 随时间t s 变化的关系是i 3sin100 t