高中数学 262求曲线的方程课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 1 了解求曲线方程的一般步骤 2 能求一些简单曲线的方程 核心扫描 1 求一些简单曲线的方程 重点 2 求一些简单曲线的方程 难点 2 6 2求曲线的方程 平面解析几何研究的主要问题是 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过方程 研究平面曲线的性质 求曲线 图形 的方程一般有下面几个步骤 1 建立 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用 表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 自学导引 1 2 适当的坐标系 最简形式 坐标 求曲线方程 轨迹方程 的常用方法有 定义法 参数法 待定系数法 想一想 1 在求动点m的轨迹时 动点m满足的条件如何确定 提示已知条件告之 几何方法确定等 2 化简轨迹方程要注意什么 提示保持不改变点的坐标的取值范围 3 直接法 代入法 求轨迹与求轨迹方程不同 求轨迹是要在求出轨迹方程后再依方程说出轨迹的名称 大小 位置等 求轨迹方程的方法可由五步缩为如下三步 恰当建立坐标系 设动点m x y 建等式列方程 同解变形化简所得方程为最简形式 最后虽不用再证明 但必须检验一下是否有多余或漏掉的点 求轨迹方程的方法 一般有直接法 定义法 代入法 参数法 交轨法及待定系数法等 求曲线的方程 关键在于找出动点的坐标x y所满足的等式f x y 0 然后化简 化简前后方程的解集是相同的 名师点睛 1 2 3 4 题型一直接法求曲线方程 已知线段ab与cd互相垂直平分于o ab 8 cd 4 动点m满足ma mb mc md 求动点m的轨迹方程 思路探索 1 解决本题的关键是建立恰当的坐标系 若建系不恰当 计算量会大大增加 有时很可能得不出正确的结果 例1 2 一般地 当直角坐标系未建立时 求曲线方程的第一步是建立恰当的直角坐标系 若直角坐标系已经建立 则 建系 这一步必须省掉 直接 设点 即设曲线上任意一点的坐标为 x y 如何判定问题中是否已经建立直角坐标系呢 依据是看题目中是否有与坐标系相关的内容 也就是看题目中是否涉及坐标系的概念 如坐标轴 原点等 以及点的坐标 方程等 规律方法 1 求曲线方程实质上是求曲线上动点的纵坐标 横坐标所满足的等量关系 因此用直接法求曲线方程的关键是寻求几何的等量关系 有时题目中已经给出了明显的几何等量关系 如本例中 ma mb mc md 此时只要把它 翻译 成方程即可 但更多的问题是题目中并没有给出明显的几何等量关系 此时 应该充分挖掘隐藏在其中的几何等量关系 如有两条互相垂直的直线 则其几何等量关系可以由斜率之积为 1得到 也可以利用勾股定理得到 还可利用直角三角形的斜边中线长定理得到 2 注意求 轨迹 与 轨迹方程 的区别 轨迹是指几何图形 轨迹方程是指方程 设a b两点的坐标分别为 1 0 1 0 若kma kmb 1 求动点m的轨迹方程 变式1 abc的三边a b c成等差数列 a c两点的坐标分别是 1 0 1 0 求顶点b的轨迹方程 解由题意得2b a c 即a c 4 bc ba 4 ac 2 题型二定义法求轨迹方程 例2 规律方法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义 可以设出其标准方程 然后用待定系数法求解 这种求轨迹方程的方法称为定义法 利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征 已知圆a x 2 2 y2 1与定直线l x 1 且动圆p和圆a外切并与直线l相切 求动圆圆心p的轨迹方程 解依题意可知 p到圆心a 2 0 的距离和到定直线x 2的距离相等 p点轨迹为抛物线且p 4 p点轨迹方程为y2 8x 变式2 14分 已知定点a 4 0 和曲线x2 y2 4上的动点b 点p分之比为2 1 求点p的轨迹方程 审题指导本题考查曲线与方程的概念 以及向量的概念与运算 题型三代入法求轨迹方程 例3 已知抛物线y x2和点a 3 0 在抛物线上任取一点b 在线段ab上取一点p 使得 3 求点p的轨迹方程 变式3 用参数法求轨迹方程的基本思路是 引入参数 用参数表示动点p的横 纵坐标 再消去参数便得到所求的曲线方程 而常用的消参法有代入消参 加减消参以及三角消参等 方法技巧参数法求轨迹方程 在正方形abcd中 ab bc边上各有一个动点q r且bq cr 试求直线ar与dq的交点p的轨迹方程 思路分析 建系 引入参数求轨迹方程 解如图所示 取a为原点 ab所在直线为x轴 建立直角坐标系 设正方形abcd的边长为a aq t br t 示例 方法点评用参数法求曲线方程实质上是 迂迥包抄 战略思想的具体体现 也就是当问题较为复杂 量与量之间存在较多的依赖关系