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文档简介

2 3数学归纳法 第二章推理与证明 学习导航 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做 n0 n0 n n k 1 数学归纳法 想一想1 利用数学归纳法证明与正整数有关的问题时 能缺少步骤 1 或步骤 2 吗 为什么 提示 步骤 1 和 2 都不能缺少 因为若缺少步骤 1 步骤 2 中的假设可能不成立 若缺少步骤 2 只能保证 1 中检验过的n0命题成立 但不能保证n0以后的正整数成立 2 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1 提示 不一定 名师点评 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 题型三利用数学归纳法证明整除和几何问题 1 求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n n 2 有n个圆 其中每两个圆相交于两点 并且每三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆把平面分成f n n2 n 2部分 名师点评 1 用数学归纳法证明整除性问题的关键是 凑项 先采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑成n k时的情形 再利用归纳假设使问题获证 2 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k增加到k 1时 所证的几何量增加多少 同时要善于利用几何图形的直观性 建立k与k 1之间的递推关系 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点 1 验证是基础 找准起点 奠基要稳 有些问题中验证的初始值不一定为1 2 递推是关键 正确分析由n k到n k 1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障 3 利用假设是核心 在第二步证明中一定要利用归纳假设 这是数学归纳法证明的核心环节 否则这样的证明就不是数学归纳法证明 抓信息破难点 1 利用方程根及sn与an关系解得a1 类似地可求得a2 2 利用 1 中的方法求得sn与s
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