高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件 新人教A版必修4.ppt

2 3平面向量的基本定理及坐标表示2 3 1平面向量基本定理 一 平面向量基本定理 不共线 任意 有且只有一对 1e1 2e2 不共线 所有 判断 正确的打 错误的打 1 平面向量的一组基底e1 e2一定都是非零向量 2 在平面向量基本定理中 若a 0 则 1 2 0 3 在平面向量基本定理中 若a e1 则 2 0 若a e2 则 1 0 4 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 提示 1 正确 平面向量基本定理的前提条件是e1 e2不共线 若e1 e2中有零向量 而零向量和任意向量共线 这与定理的前提矛盾 故e1 e2中不可能有零向量 2 正确 当a 0即 1e1 2e2 0时 因为0 e1 0 e2 0 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 3 正确 当a e1时 a e1 1e1 2e2 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 同理可知当a e2时 1 0 4 错误 同一平面的基底可以不同 只要它们不共线 是不唯一的 答案 1 2 3 4 二 两向量的夹角与垂直 非零 aob 0 180 垂直 a b 反向 同向 思考 等边三角形abc中 向量与的夹角是60 吗 提示 不是 求两个向量的夹角时 两个向量的起点必须相同 所以等边三角形abc中 向量与的夹角是120 而不是60 知识点拨 1 对平面向量基本定理的三点说明 1 实质平面向量基本定理的实质是向量的分解 即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式 2 唯一性平面向量基本定理中 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底 一旦选定一组基底 则给定向量沿着基底的分解是唯一的 3 体现的数学思想这个定理体现了转化与化归的数学思想 用向量解决几何问题时 我们可以选择恰当的基底 将问题中涉及的向量用基底化归 使问题得以解决 2 正确理解向量的夹角 1 向量夹角的几何表示 依据向量夹角的定义 两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点 这样它们所成的角才是两向量的夹角 如图 已知两向量a b 作则 aob为a与b的夹角 2 注意事项 向量的夹角是针对非零向量定义的 向量的夹角和直线的夹角范围是不同的 它们分别是 0 和 类型一平面向量基本定理的理解和应用 典型例题 1 已知平行四边形abcd 下列各组向量中 是该平面内所有向量基底的是 2 如图 在 abc中 点d e分别在边ab ac上 de bc ad 2bd 已知 1 用向量a b分别表示向量 2 作出向量分别在a b方向上的分向量 写出结论 不要求写作法 解题探究 1 两个向量可以作为基底的条件是什么 2 1 如何确定点e在ac上的位置 用已知向量表示其他向量常用哪些知识 2 作出一个向量分别在a b方向上的分向量的基本步骤是什么 探究提示 1 两个向量可以作为基底的条件是不共线 2 1 根据de bc和ad 2bd 利用相似三角形的性质确定点e在ac上的位置 用已知向量表示其他向量常用到向量加法 减法和数乘向量的几何意义 2 基本步骤 平移使向量共起点 作平行线构造平行四边形 解析 1 选d 由于不共线 则是一组基底 2 1 因为de bc 所以 aed acb ade abc 所以 ade abc 又因为ad 2bd 所以所以因为所以 2 如图所示 向量在a b方向上的分向量分别是 拓展提升 1 平面向量基本定理中基底的理解 1 两个向量能否构成基底 主要看两向量是否为不共线 2 基底不唯一 不共线就能构成基底 2 平面向量基本定理的作用 1 平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理 同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据 是一个承前启后的重要知识点 2 根据平面向量基本定理 任何一组基底都可以表示任意向量 用基底表示向量 实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则 进行向量的加减法运算 要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形 利用已知向量表示未知向量 或找到已知向量与未知向量的关系 用方程的观点求出未知向量 变式训练 如图 已知点d为 abc中ac边上一点 且设 1 在图中画出向量分别在a b方向上的分向量 2 试用a b表示向量 解析 1 如图 过点d作de bc 交ab于e 作df ab 交bc于f 向量在a方向上的分向量是向量在b方向上的分向量是 2 因为所以所以所以 类型二向量的夹角问题 典型例题 1 若a 0 且b 0 且 a b a b 则a与a b的夹角是 2 已知两非零向量a与b的夹角为80 试求下列向量的夹角 1 a与 b 2 2a与3b 解题探究 1 根据向量加法和减法的几何意义 向量a b a b a b是否可以出现在同一个平行四边形中 2 依据向量夹角的定义可知 求两个向量的夹角关键是什么 探究提示 1 首先平移向量a b使两个向量共起点 然后以两个向量为邻边作平行四边形 则a b a b恰好是此平行四边形的对角线所表示的向量 2 求两个向量的夹角关键是让两个向量共起点 解析 1 如图所示 作以oa ob为邻边作平行四边形oacb 则所以 aoc是a与a b的夹角 因为 a b a b 所以 oab是等边三角形 平行四边形oacb是菱形 所以答案 30 2 1 由向量夹角的定义 如图 向量a与 b的夹角为100 2 如图 向量2a与3b的夹角为80 互动探究 题1中 若 a b a b 求a与a b的夹角 解析 如图所示 作以oa ob为邻边作平行四边形oacb 则所以 aoc是a与a b的夹角 因为 a b a b 所以 oac是等边三角形 平行四边形oacb是菱形 所以 aoc 60 拓展提升 两向量夹角的实质和求解 1 明确两向量夹角的定义 实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角 结合平面几何知识加以解决 2 求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合 作出两个向量的夹角 按照 一作二证三算 的步骤求出 类型三任意一向量基底表示的唯一性的应用 典型例题 1 2013 遵义高一检测 在 abc中 已知d是ab边上一点 若则 2 如图所示 在 oab中 点m是ab的靠近b的一个三等分点 点n是oa的靠近a的一个四等分点 若om与bn相交于点p 求 解题探究 1 题1中 向量与是否可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底 基底给定时 向量分解形式唯一吗 2 题2中 与点p有关的共线向量有哪些 探究提示 1 由题意知不共线 故可以作为一平面内所有向量的基底 基底给定时 向量分解形式唯一 2 题2中 与点p有关的共线向量有与共线 与共线 解析 1 选d 因为所以所以又因为且与不共线 所以 2 因为与共线 故可设又与共线 可设所以解得所以 拓展提升 1 任意一向量基底表示的唯一性的理解 2 任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1 e2的线性组合 1e1 2e2 在具体求 1 2时有两种方法 1 直接利用三角形法则 平行四边形法则及向量共线定理 2 利用待定系数法 即利用定理中 1 2的唯一性列方程组求解 变式训练 如图所示 在 abc中 点m是ab的中点 且bn与cm相交于e 设试用基底a b表示向量 解析 易得由n e b三点共线 设存在实数m 满足由c e m三点共线 设存在实数n满足 所以由于a b为基底 所以解之得所以 易错误区 平面向量基本定理理解不准确致误 典例 2013 遵义高一检测 如图 在平面内有三个向量满足与的夹角为120 与的夹角为30 设则m n等于 a b 6c 10d 15 解析 选d 如图 过c作ca ob 交oa的延长线于点a 过c作cb oa 交ob的延长线于点b 因为 aob 120 aoc 30 所以 boc aob aoc 90 在rt b oc中 b co aoc 30 oc 因为四边形oa cb 是平行四边形 所以因为与共线 与共线 所以所以由平面向量基本定理可知m 10 n 5 故m n 15 误区警示 防范措施 1 重视向量线性运算几何意义向量加法的平行四边形法则 三角形法则以及向量减法和数乘向量的几何意义是向量运算的基础 解题时要重视这些基础知识的应用 例如 本例中表示向量的有向线段为平行四边形的对角线 表示向量和的有向线段为邻边 作出平行四边形才可以用向量和表示向量 2 理解任意一向量基底表示的唯一性利用任意一向量基底表示的唯一性 即a 1e1 1e2且a 2e1 2e2 则可以构建方程组 使得问题获解 如本例中 由及与不共线可知m 10 n 5 类题试解 如图所示 两射线oa与ob交于o 给出向量 这些向量中以o为起点 终点在阴影区域内的是 写出所有符合要求向量的序号 解析 假设线段oa的三个四等分点分别为e f g 线段ob的中点为p ab的中点为q 由向量加法的平行四边形法则知 满足题意 由向量加法的平行四边形法则知 终点在阴影区域内 符合题意 由向量减法的几何意义知 终点不在阴影区域内 不合题意 不合题意 答案 1 下面三种说法 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底 零向量不可作为基底中的向量 其中正确的说法是 a b c d 解析 选b 平面内向量的基底不唯一 在同一平面内 任意一对不共线的向量都可以作为基底 而零向量与任何向量共线 故不可作为基底中的向量 故 正确 选b 2 已知向量e1与e2不共线 实数x y满足 3x 4y e1 2x 3y e2 6e1 3e2 则x y等于 a 3b 3c 0d 2 解析 选a 因为 3x 4y e1 2x 3y e2 6e1 3e2 所以 3x 4y 6 e1 2x 3y 3 e2 0 所以由 得x y 3 0 即x y 3 3 若向量a与b的夹角为60 则向量 a与 b的夹角是 a 60 b 120 c 30 d 150 解析 选a 将向量a b移至共同起点o 如图所示 则由对顶角相等可得向量 a与 b的夹角也是60 4 abc中 若d e f依次是的四等分点 则以为基