高中数学 241抛物线的标准方程课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 1 运用抛物线的定义推导标准方程 2 掌握抛物线的标准方程 3 会求抛物线的标准方程 核心扫描 1 求抛物线的标准方程 重点 2 用抛物线的定义推导标准方程 难点 2 4 1抛物线的标准方程 2 4抛物线 方程y2 2px x2 2py p 0 叫做抛物线的 方程 1 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标是 它的准线方程是 它的开口方向 2 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标是 它的准线方程是 它的开口方向 3 抛物线x2 2py p 0 的焦点坐标是 它的准线方程是 它的开口方向 4 抛物线x2 2py p 0 的焦点坐标是 它的准线方程是 它的开口方向 自学导引 标准 向右 向左 向上 向下 想一想 1 抛物线定义中的定点f若在定直线l上 动点轨迹还是抛物线吗 提示不是 是过定点f且与l垂直的直线 对抛物线的标准方程的理解 1 p是抛物线的焦点到准线的距离 所以p的值永远大于0 2 只有以过焦点且与准线垂直的垂线段的中点为坐标原点 垂线段所在直线为坐标轴 x轴或y轴 的抛物线方程才有标准形式 3 抛物线的标准方程必须是二次项变量 系数为1 等于一次项变量与一常数的乘积 4 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 系数为负 则焦点在负半轴上 利用抛物线的定义 可把到焦点的距离转化成到准线的距离 使距离表达式得到简化 名师点睛 1 2 题型一求抛物线的标准方程 根据下列条件 求抛物线的标准方程 1 焦点为 2 0 2 准线为y 1 3 焦点到准线的距离是4 4 过点 1 2 思路探索 求抛物线方程的主要方法是待定系数法 但要依据所给条件选择适当的方程形式 例1 3 p 4 抛物线的方程有四种形式 y2 8x y2 8x x2 8y x2 8y 规律方法所谓抛物线标准方程是指抛物线放置在直角坐标系的 标准 状态 即顶点在原点 焦点在x或y轴上 下的方程 因而求抛物线的标准方程的程序是 先确定抛物线标准方程的类型 即定位 再确定焦参数p的值即可 当抛物线标准方程的类型没有确定时 也可以设其方程为y2 mx或x2 ny 这样可减少讨论情况的个数 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 2 焦点在直线x 3y 15 0上 解 1 点 3 4 在第四象限 抛物线的标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p1y p1 0 把点 3 4 的坐标分别代入得 4 2 2p 3 32 2p1 4 变式1 2 令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为y2 60 x或x2 20y 若抛物线y2 2px p 0 上有一点m 其横坐标为 9 它到焦点的距离为10 求抛物线方程和m点的坐标 思路探索 在涉及抛物线上的点到焦点的距离问题时 往往将其转化为该点到准线的距离问题来解决 题型二抛物线定义的应用 例2 故抛物线方程为y2 4x 将m 9 y 代入抛物线方程得y 6 m 9 6 或m 9 6 已知抛物线的顶点在原点 焦点在x轴上 抛物线上的点m 3 m 到焦点的距离等于5 求抛物线的方程和m的值 变式2 14分 某河上有座抛物线形拱桥 当水面距拱桥顶5m时 水面宽8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面上的部分高为m 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时 小船开始不能通航 审题指导本题属应用性问题 解决应用性问题的关键是建立符合题意的数学模型 该题的数学模型较为明显 就是建立平面直角坐标系 设出抛物线类型 求出抛物线方程 再把点的坐标代入方程 即可求解 题型三抛物线的实际应用 例3 规范解答 如图 建立直角坐标系 设拱桥抛物线方程x2 2py p 0 4分由题意将b 4 5 代入方程得p 1 6 所以x2 3 2y 8分 当船两侧和抛物线相接触时 船不能通航 设这时船面宽为aa 则a 2 ya 答 水面上涨到距抛物线拱顶2m时 小船开始不能通航 14分 题后反思 建立坐标系 合理建立抛物线的位置模型 从而确定抛物线方程是建模的关键 选择抛物线模型要符合真实 合理 方便的原则 抛物线拱桥的跨度为20m 拱高为4m 建桥时每隔4m立一支柱 求最高的一条支柱长 解建立如图所示的坐标系 则a1 10 4 变式3 设抛物线方程为x2 2py p 0 则 10 2 2p 4 解得p 12 5 于是抛物线方程为x2 25y 每隔4m立一支柱 设b3 2 y 代入抛物线方程 得y 0 16 于是a3b3 4 0 16 3 84 m 答 最高支柱长应为3 84m 解决与抛物线有关的最值问题时 一方面要注意从几何角度进行观察 分析 并利用抛物线的定义来解决问题 另一方面 还要注意从代数角度入手 建立函数关系 利用求函数最值和值域的有关方法来求解 方法技巧与抛物线有关的最值问题 已知定点m a 0 试在抛物线y2 2px p 0 上求一点n 使得mn最小 思路分析 在抛物线上任取一点n x0 y0 然后利用两点间的距离公式表示出mn 这样可得到mn关于x0的函数 然后对这个函数进行探讨 示例 方法点评本例中 由点n在抛物线上 因而它满足抛物线方程 代入距离公式便消去y0 化为关于x0的二