高中数学 341,342三角函数的周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)课件 湘教版必修2.ppt

1 理解周期函数与最小正周期的意义 会求三角函数的最小正周期 2 了解y asin x 的实际意义 3 理解y sinx的图象与y asin x的图象之间的变换关系 4 掌握参数a 对y asin x 的图象的影响 3 4函数y asin x 的图象与性质 3 4 2函数y asin x 的图象与性质 一 3 4 1三角函数的周期性 函数的周期性 1 一般地 对于函数f x 如果存在 使得当x取定义域内的 时x t都有意义 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 2 一般地 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的 3 2 是y sinx y cosx的最小正周期 是y tanx的最小正周期 自学导引 1 非零常数t 每一个值 f x t f x 最小正周期 2 图象的伸缩变换 1 一般地 对任意a 0 a 1 函数y asinx x r的图象可以由y sinx的图象上每一点的横坐标不变 纵坐标乘以a得到 y asinx的周期仍是2 值域为 a a 最大值和最小值分别为a和 a 3 函数f x atan x a 0 是否为周期函数 如果是 它的最小正周期是多少 自主探究 1 答案c 预习测评 y cosx 的周期是 2 解析由函数y cosx 的图象可知 它的周期t 答案b 把y sinx的图象上每个点的横坐标缩短到原来的得到函数 的图象 3 答案a 4 答案d 对函数周期的理解 1 定义应对定义域中的每一个x值来说 只有个别的x值满足f x t f x 不能说t是f x 的周期 例如 名师点睛 1 3 对于周期函数来说 如果所有的周期中存在着一个最小的正数 就称它为最小正周期 今后提到的三角函数的周期 如未特别指明 一般都是指它的最小正周期 4 并不是所有周期函数都存在最小正周期 例如 常数函数f x c c为常数 x r 当x为定义域内的任何值时 函数值都是c 即对于函数f x 的定义域内的每一个值x 都有f x t c 因此f x 是周期函数 由于t可以是任意不为零的常数 而正数集合中没有最小者 所以f x 没有最小正周期 5 周期函数的周期不止一个 若t是周期 则kt k z 且k 0 一定是函数的周期 6 在周期函数中 t是周期 若x是定义域内的一个值 则x kt k z 且k 0 也一定属于定义域 因此周期函数的定义域一定是无限集 1 这种y sinx与y asinx a 0 之间的图象变换实质上是纵向的伸缩 2 对于函数y sinx与y sin x 0 之间的图象变换实质上是横向的伸缩 2 求下列函数的周期 题型一三角函数的周期性 例1 典例剖析 2 作出y sin2x 的图象 2 求函数的最小正周期的常用方法有 定义法 即观察出周期 再用定义来验证 也可由函数所具有的某些性质 如本例中sin x 2k sinx 进而推出使f x t f x 成立的t即可 图象法 即作出y f x 的图象 观察图象便可求出t 结论法 即利用上述结论求形如y asin x 及y acos x 的周期 1 如何由y sinx的图象得到函数y 3sin2x的图象 题型二图象的伸缩变换 例2 把函数y sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 所得函数图象所对应的解析式为 2 判断函数f x tan x 的周期性 错解当x 0时 f x tan x 化为y tanx 它是周期函数 周期为 当x 0时 f x tan x 化为y tanx 它也是周期函数 周期为 故函数f x tan x 是周期函数 周期为 错因分析函数的周期性是对整个定义域而言的 而这种错误解法把一个应整体考虑的问题人为地分割成x 0和x 0两部分 使得函数表面看起来是周期函数 其实不然 误区警示未透彻理解周期函数的定义而出错 示例 纠错心得判断一个函数是周期函数 需要按照定义进行证明 指出一个函数不是周期函数 则只须举一反例即可 本例也可以通过画出其图象来说 明它不是周期函数 当x 0时 f x tan x 化为f x tanx 它的图象是可知的 再将这部分图象以y轴为对称轴作出其在y轴左侧的图象 整个图象如图 即可知道它不是周期函数 周期性是三角函数的重要性质之一 周期的求法有定义法 公式法 图象法等 伸缩变换y af