高中数学 4.1.1 导数与函数的单调性配套多媒体教学优质课件 北师大版选修11.ppt

第四章导数应用 1函数的单调性与极值1 1导数与函数的单调性 通过动画演示 观察运动员在各时段运动状态及速度v对时间t的函数的变化 就观察结果给予总结 通过观察我们可以发现 1 运动员从起跳到最高点 离水面高度h随时间t的增加而增加 即h t 在定义域上是增加的 相应地v t 0 2 从最高点到入水 运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小 即h t 在定义域上是减少的 相应地v t 0 这种情况是否具有一般性呢 1 正确理解利用导数判断函数单调性的原理 2 会利用导数判断函数单调性 并求函数单调区间 重点 3 探索导数特征与函数性质之间的关系 难点 探究点1导数与函数单调性之间关系 实例1 看下面几个函数的导数及其单调性 1 y f x x 2 y f x 2x 5 3 y f x 3x 4 函数 1 2 的导数都是正的 函数 1 2 在定义域上是增加的 函数 3 的导数是负的 这个函数在定义域上是减少的 函数图像如图 y 2x 5 y x y 3x 4 实例2 再看指数函数 对数函数的导数及其单调性 对函数 1 和 3 无论x取定义域内的什么实数都有 函数y f x 在定义域上是增加的 对于函数 2 和 4 无论x取定义域内的什么实数都有 函数y f x 在定义域上是减少的 y x o y x o y x o y x o 函数图像如图 4 2 1 3 实例3 再看函数y x2的导数及其单调性 我们已经知道 曲线y f x 的切线的斜率就是函数y f x 的导数 y x o 1 1 1 当x 0 时 函数y x2在区间 0 上是增加的 当x 0 时 函数y x2在区间 0 上是减少的 思考 通过上面三个实例思考导函数的符号与函数的单调性之间具有什么关系 提示 如果在某个区间内 函数y f x 的导数 则在这个区间上 函数y f x 是 如果在某个区间内 函数y f x 的导数 则在这个区间上 函数y f x 是 增加的 减少的 f x 0 f x 0 特别提醒 如果在某个区间内恒有 则为常数 图像表示如下 增加的 减少的 练一练 求下列函数的单调性 解析 1 由 又因为x 0 所以f x 在区间 0 与 0 上是减少的 2 由在定义域r上是增加的 增加的 减少的 探究点2利用导数讨论函数单调性 若f x 在g上是增加的或减少的则g称为f x 的单调区间 用单调性定义及函数图像讨论函数单调性虽然可行 但比较麻烦 利用导数讨论函数单调性更方便 单调函数的图像特征 思考 观察图中的函数y f x 的图像 对f 2 f 3 f 3 f 2 与0的大小进行排序 提示 f 2 f 3 是x分别为2 3时对应图像上点的切线斜率 是图像上x为2和3对应点两点连线的斜率 故f 2 f 3 f 2 f 3 0 例1求函数的递增性与递减区间 分析 根据上面的结论 我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关 因此 可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间 解 由导数公式表和求导法则可得 当x 2 或x 3 时 因此在这两个区间上 函数是增加的 当x 2 3 时 因此 在这个区间上 函数是减少的 所以 函数的递增区间是 2 和 3 递减区间为 2 3 函数的单调性决定了函数图像的大致形状 因此 当确定了函数的单调区间后 再通过描出一些特殊的点 就可以画出一个函数的大致图像 下图即为函数的大致图像 x y o 2 3 当x 2或3时 f x 0 函数在该点单调性发生改变 导数为零点是分界点 提升总结 1 确定函数f x 的定义域 2 求函数f x 的导函数 3 解不等式 解集在定义域内的部分是减少的 解不等式 解集在定义域内的部分是增加的 利用导数求单调区间的步骤 求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 变式练习 解 函数的定义域为r 令6x2 12x 0 解得x2 则f x 的递增区间为 0 和 2 再令6x2 12x 0 解得0 x 2 则f x 的递减区间为 0 2 a 1 函数f x 2x sinx在 上 a 是增加的b 是减少的c 在 0 上是增加的 在 0 上是减少的d 在 0 上是减少的 在 0 上是增加的解析 f x 2 cosx 0在 上恒成立 故选a a 2 若在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 则在 a b 内有 a f x 0b f x 0c f x 0d 不能确定解析 因为在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 所以函数f x 在区间 a b 上是增加的 且f x f a 0 b 3 在下列函数中 在 0 上为增加的是 a sin2xb xexc x3 xd x ln 1 x 解析 y xex 则y ex x ex ex 1 x 又因为x 0 所以y 0 故选b 4 2012 辽宁高考 函数的单调递减区间为 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 解析 由 又函数的定义域为 0 故单调减区间为 0 1 b 解析 5 函数f x x3 x的递增区间是 和 递减区间是 6 已知函数f x x3 ax 8的递减区间为 5 5 求函数f x 的递增区间 解析 f x 3x2 a 因为 5 5 是函数y f x 是递减区间 则 5 5是方程3x2 a 0的根 所以a 75 此时f x 3x2 75 令f x 0 则3x2 75 0 解得x 5或x 5 所以函数y f x 的递增区间为 5 和 5 1 函数导数与单调性的关系 函数y f x 在某个区间内 如果f x 0 则f x 是增加的 如果f x 0 则f x 是