高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件 理 新人教A版选修21.ppt_第1页
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3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 第三章空间向量与立体几何 学习导航 1 空间向量基本定理 1 定理 如果三个向量a b c 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 使得 2 基底 空间中任一组 的三个向量a b c都可以组成空间的一个基底 即 3 基向量 空间的一个基底 a b c 中的三个向量 叫做基向量 不共面 x y z p xa yb zc 不共面 a b c a b c 想一想1 空间向量的基底是唯一的吗 提示 不唯一 2 0能是基向量吗 提示 不能 两两垂直 单位向量 i j k xi yj zk 3 空间向量的坐标表示 空间任一向量p作正交分解可得p 则 称作向量p在单位正交基底 i j k 下的坐标 记作 这也是p在空间直角坐标系oxyz中的 xi yj zk x y z p x y z 坐标 做一做设 i j k 是空间向量的一个单位正交基底 且m 2i 3j 4k n i 2j 5k 则m n的坐标分别为 答案 2 3 4 1 2 5 题型一基底的判断若 a b c 是空间一个基底 试判断 a b b c c a 能否作为该空间的一个基底 名师点评 判断三个向量能否作为基底 关键是判断它们是否共面 若从正面判断难以入手 可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形进行判断 互动探究1 若本例条件不变 试判断向量a b a b c能否作为空间的一个基底 解 假设a b a b c共面 则存在实数x y 使c x a b y a b 即c x y a x y b 从而由共面向量知c与a b共面 这与a b c不共面矛盾 a b a b c不共面 即可以作为空间的一个基底 名师点评 用基底表示向量的方法 1 根据已知条件 确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 2 用确定的基底 或已知基底 表示目标向量 需要根据三角形法则及平行四边形法则 结合相等向量的代换 向量的运算进行变形 化简 最后求出结果 跟踪训练 名师点评 用坐标表示空间向量的方法步骤为 跟踪训练 1 空间向量基本定理表明 用空间三个不共面向量组 a b c 可以线性表示出空间任意一个向量 而且表示的结果是唯一的 2 建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征 尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线 若找不到 要想办法去构造 易错警示求解空间点的坐标中的易误点 失误防范 1 在解题时 建立适当的空间直角坐标系是解答关键 2 若选取点b 或a 为原点 应注意ba与bc 或ab与ac 不垂直 此时需要在平面abc中作fb bc
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