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第四章函数应用 1函数与方程1 1利用函数性质判定方程解的存在 1 理解函数 结合二次函数 零点的概念 领会函数零点与相应方程解的关系 2 掌握零点存在的判定条件 韦达 viete francois seigneurdelabigotiere 是法国十六世纪最有影响的数学家之一 第一个引进系统的代数符号 并对方程论做了改进 他的 解析方法入门 一书 1591年 集中了他以前在代数方面的大成 使代数学真正成为数学中的一个优秀分支 他对方程论的贡献是在 论方程的整理和修正 一书中提出了二次 三次和四次方程的解 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数 未知数及其乘幂 带来了代数学理论研究的重大进步 韦达讨论了方程根的各种有理变换 发现了方程根与系数之间的关系 所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为 韦达定理 一元一次方程的解和相应的一次函数的图像与轴交点坐标有何关系 x 方程的根等于交点的横坐标 一元二次方程的解和相应的二次函数的图像与轴交点坐标有何关系 x 方程的根等于交点的横坐标 函数的零点 我们把函数y f x 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 方程有实数解 函数的图像与轴有交点 函数有零点 等价关系 1 利用函数图像判断下列方程有没有实数解 有几个 1 x2 3x 5 0 2 2x x 2 3 有 2个 没有 3 x2 4x 4 4 5x2 2x 3x2 5 有 2个 有 1个 观察二次函数f x x2 2x 3的图像 2 1 f 2 0f 1 0f 2 f 1 0 2 1 x 1x2 2x 3 0的一个解 2 4 f 2 0f 2 f 4 0 2 4 x 3x2 2x 3 0的另一个解 零点存在定理 若函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 注 只要满足上述两个条件 就能判断函数在指定区间内存在零点 1 如果二次函数y x2 2x m 3 有两个不同的零点 则m的取值范围是 a m 2b m2d m 22 函数f x x3 3x 5的零点所在的大致区间为 a 1 2 b 2 0 c 0 1 d 0 0 5 b a 1 在二次函数中 ac 0 则其零点的个数为 不存在 b 2 已知函数f x 的图像是连续不断的 有如下的x f x 对应值表 那么函数在区间 1 6 上的零点至少有 个a 5b 4c 3d 2 c
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