高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第四章 4.2.2 圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

4 2 2圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系及判定已知两圆c1 x x1 2 y y1 2 r12 圆c2 x x2 2 y y2 2 r22 圆心距d c1c2 则两圆c1 c2有以下位置关系 思考 当两个不重合的圆的圆心距等于零时两圆位置关系如何 提示 当两个不重合的圆的圆心距为零时 两个圆内含且为同心圆 知识点拨 1 对圆与圆的位置关系的两点说明 1 根据圆心距与圆的半径之和或之差的绝对值的大小关系 两个圆的位置关系分为外离 外切 相交 内切和内含五种位置关系 2 圆与圆的公共点个数 当两圆外离或内含时 两圆无公共点 当两圆内切或外切时 两圆仅有一个公共点 当两圆相交时 两圆有两个公共点 2 圆与圆位置关系的判断判断两圆位置关系可采用代数法和几何法两种方法 1 几何法 主要利用圆心距d与两圆半径之和或之差的绝对值之间的关系 2 代数法 将两圆的方程联立解方程组 若方程组有两解 则两圆相交 若方程组只有一解 则两圆外切或内切 若方程组没有实数解 则两圆内含或外离 类型一圆与圆的位置关系的判定 典型例题 1 1 2012 山东高考 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的位置关系为 a 内切b 相交c 外切d 外离 2 2013 雅安高二检测 圆o1 x2 y2 6x 4y 12 0与圆o2 x2 y2 14x 2y 14 0的位置关系是 a 外离b 内含c 外切d 内切 2 已知两圆c1 x2 y2 4x 6y 12 0 c2 x2 y2 2x 14y k 0 k 50 当两圆有如下位置关系时 1 外切 2 内切 3 相交 4 内含 5 外离 试确定上述条件下k的取值范围 解题探究 1 判定两圆位置关系有哪些方法 2 解决与两圆位置关系有关的问题时圆的方程应如何处理 探究提示 1 判断两圆位置关系的方法有几何法和代数法 2 解决与两圆位置关系有关的问题时要把圆的方程化为标准形式 找到圆心坐标与半径的大小 解析 1 1 选b 因为两圆的圆心距为又因为3 2 3 2 所以两圆相交 2 选d 分别将两圆的方程化为 x 3 2 y 2 2 1 x 7 2 y 1 2 36 则圆心o1 3 2 o2 7 1 o1o2 5 由于 o1o2 5 6 1 故两圆内切 2 将两圆的方程化为标准方程 c1 x 2 2 y 3 2 1 c2 x 1 2 y 7 2 50 k 则圆c1的圆心坐标c1 2 3 半径r1 1 则圆c2的圆心坐标c2 1 7 半径r2 从而圆心距 1 当两圆外切时 d r1 r2 即解得k 34 2 当两圆内切时 d r1 r2 即 1 5 解得k 14 3 当两圆相交时 r1 r2 d r1 r2 即 1 d 1 解得14 k 34 4 当两圆内含时 d r1 r2 即 1 5 解得k 14 5 当两圆外离时 d r1 r2 即1 5 解得k 34 拓展提升 判断两圆位置关系的步骤 1 将圆的方程化为标准方程 写出圆心和半径 2 计算两圆圆心的距离d 3 通过d r1 r2 r1 r2 的关系来判断两圆位置关系或求参数范围 变式训练 2013 锦州高一检测 两圆x2 y2 1 0和x2 y2 4x 2y 4 0的位置关系是 a 内切b 相交c 外切d 外离 解析 选b 圆x2 y2 1 0的圆心c1 0 0 半径r1 1 圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心c2 2 1 半径r2 3 两圆心距离d c1c2 又r2 r1 2 r1 r2 4 所以r2 r1 d r1 r2 故两圆相交 类型二与两圆相切有关的问题 典型例题 1 2013 哈尔滨高二检测 半径为6的圆与x轴相切 且与圆x2 y 3 2 1内切 则此圆的方程是 a x 4 2 y 6 2 6b x 4 2 y 6 2 6或 x 4 2 y 6 2 6c x 4 2 y 6 2 36d x 4 2 y 6 2 36或 x 4 2 y 6 2 36 2 求与圆x2 y2 2x 0外切且与直线x y 0相切于点m 3 的圆的方程 解题探究 1 已知半径确定圆的方程的关键是什么 2 两圆外切时圆心距与半径之和有什么关系 当直线与圆相切时圆心到直线的距离与圆的半径是什么关系 探究提示 1 已知半径确定圆的方程的关键是确定圆心坐标 2 两圆外切时圆心距等于半径之和 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径长 解析 1 选d 由题意可设圆的方程为 x a 2 y 6 2 36 由题意 得 5 所以a2 16 所以a 4 2 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 由题知所求圆与圆x2 y2 2x 0外切 则 r 1 又所求圆过点m的切线为直线x y 0 故 解由 组成的方程组得a 4 b 0 r 2或a 0 b r 6 故所求圆的方程为 x 4 2 y2 4或x2 y 2 36 互动探究 将题2变为 求与圆x2 y2 2x 0内切且圆心为m 的圆的方程 如何求解 解析 由于32 2 2 3 0 故点m在圆外 设所求圆的方程为 x 3 2 y 2 r2 r 0 则有r 1 所以r 1 即所求圆的方程为 x 3 2 y 2 1 2 即x2 y2 6x 2y 4 2 0 拓展提升 处理两圆相切问题两个步骤 1 定性 即必须准确把握是内切还是外切 若只是告诉相切 则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论 2 转化思想 即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值 内切时 或两圆半径之和 外切时 变式训练 已知两圆x2 y2 2x 6y 1 0和x2 y2 10 x 12y m 0 求 1 m取何值时两圆外切 2 m取何值时两圆内切 此时公切线方程是什么 解析 两圆的标准方程分别为c1 x 1 2 y 3 2 11 c2 x 5 2 y 6 2 61 m 圆心分别为c1 1 3 c2 5 6 半径分别为和 1 当两圆外切时 解得 2 当两圆内切时 因定圆的半径小于两圆圆心间距离5 故有解得m 因为所以两圆公切线的斜率是设切线方程为y x b 则有 解得容易验证 当 直线与后一圆相交 故所求公切线方程为即4x 3y 13 0 类型三与两圆相交有关的问题 典型例题 1 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦长为 则a 2 已知圆c的圆心为 2 1 若圆c与圆x2 y2 3x 0的公共弦所在直线经过点 5 2 求圆c的方程 解题探究 1 怎样确定两圆公共弦长 2 由两圆的方程如何求出公共弦所在的直线方程 探究提示 1 确定两圆公共弦长时 一般是通过由弦长的一半 半径和弦心距组成的直角三角形求解 2 两圆方程相减即可得公共弦所在的直线方程 解析 1 两方程作差得公共弦所在的直线方程为y 由已知得 圆心 0 0 到公共弦的距离为所以 1 所以a 1 答案 1 2 设圆c的半径长为r 则圆c的方程为 x 2 2 y 1 2 r2 即x2 y2 4x 2y 5 r2 两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为x 2y 5 r2 因为该直线过点 5 2 所以r2 4 故圆c的方程为 x 2 2 y 1 2 4 拓展提升 处理两圆相交问题的方法 1 两圆的公共弦所在直线的方程 将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程 但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时 才能如此求解 否则应先调整系数 2 求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标 再用距离公式求解 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程 再利用半径长 弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解 变式训练 圆c1 x2 y2 1与圆c2 x2 y2 2x 2y 1 0的公共弦所在直线l被圆c3 x 1 2 y 1 2 所截得的弦长为 解题指南 首先求出两圆的公共弦所在直线方程 再利用弦心距 半径及弦长的一半构成的直角三角形求解 解析 由题意圆c1和圆c2公共弦所在的直线l为x y 1 0 圆c3的圆心为 1 1 其到l的距离d 由条件知 所以弦长为答案 规范解答 圆与圆相切问题的综合应用 典例 条件分析 规范解答 设所求圆的圆心为p a b 因为此圆与 x 2 2 y 1 2 4相切于点 4 1 且半径为1 所以 1 1分若两圆外切 则有 2 3分由 1 2 解得a 5 b 1 5分所以所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 1 6分若两圆内切 则有 3 8分 由 1 3 解得a 3 b 1 10分所以所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 1 11分综上 可知所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 1或 x 3 2 y 1 2 1 12分 失分警示 防范措施 1 分类讨论的意识涉及两圆相切的情况 要分清是内切还是外切 切莫将外切等同于相切 以免出现知识性错误 如本例 若不分内切和外切两种情况讨论 则会丢解 2 方程的思想求解圆的方程问题 一般是用待定系数法或用定义法求解 设出圆的方程 有几个未知数就需建立几个方程 如本例含有两个未知数 需根据两圆位置关系建立方程 通过解方程组求解 类题试解 求与y轴相切 且与圆a x2 y2 4x 0也相切的圆p的圆心的轨迹方程 解析 把圆的方程化为 x 2 2 y2 4 设p x y 为轨迹上任意一点 1 当圆p与定圆a相外切时 不妨设两圆切点为b 且圆p与y轴相切于点n 则 pa pn ab 即 x 2 当x 0时 y2 8x 当x 0时 y 0 2 当圆p与定圆a相内切时 pa po oa 即当x 0时 y 0 当x0 和y 0 x 0且x 0 2 1 圆c1 x2 y2 4x 8y 5 0与圆c2 x2 y2 4x 4y 1 0的位置关系为 a 相交b 外切c 内切d 外离 解析 选c 由已知 得c1 2 4 r1 5 c2 2 2 r2 3 则d c1c2 2 所以d r1 r2 所以两圆内切 2 两圆x2 y2 4x 2y 1 0与x2 y2 4x 4y 1 0的公切线有 a 1条b 2条c 3条d 4条 解析 选c 圆x2 y2 4x 2y 1 0的圆心为 2 1 半径为2 圆x2 y2 4x 4y 1 0的圆心为 2 2 半径为3 故两圆外切 即两圆有三条公切线 3 两圆x2 y2 r2 x 3 2 y 4 2 4外切 则正实数r的值为 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 两圆心的距离d 5 由题意 得r 2 5 所以r 3 4 圆c1 x2 y2 12x 2y 13 0和圆c2 x2 y2 12x 16y 25 0的公共弦所在的直线方程是 解析 两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x 3y 2 0 答案 4x 3y 2 0 5 设m 0 则圆x2 y2 2mx 2my 2m2 0与圆x2 y2 8mx 6my 16m2 0的位置关系是 请填写 内含 内切 相交 外切