高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第四章 4.1.2 圆的一般方程课件 新人教A版必修2.ppt

4 1 2圆的一般方程 圆的一般方程 思考 当m为何值时方程x2 y2 mxy 2x 0表示圆 提示 由圆的一般方程可知 若方程表示圆 则满足m 0 且 2 2 0 0 0 即m 0 知识点拨 对圆的一般方程的三点说明 1 圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0体现了圆的形式上的特点 x2与y2的系数相同且不为零 没有xy项 参数d e f满足d2 e2 4f 0 2 圆的标准方程明确表达了圆的圆心与半径 而一般方程则体现出了明显的代数结构形式 经过一定的代数运算才能求出圆心和半径 3 二者可以互化 将标准方程展开即得圆的一般方程 将圆的一般方程配方即得圆的标准方程 类型一二元二次方程与圆的关系 典型例题 1 2013 荆州高二检测 圆x2 y2 2x 4y 0的圆心坐标为 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 2 2013 绵阳高二检测 方程x2 y2 ax 2ay a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 a a1c 2 a d 2 a 0 解题探究 1 怎样由圆的一般方程得出其圆心和半径 2 题2中二元二次方程在什么条件下表示圆 探究提示 1 只要将圆的一般方程化为标准方程即可求出圆心和半径 2 二元二次方程表示圆需满足d2 e2 4f 0 解析 1 选b 将圆的方程化为标准方程 x 1 2 y 2 2 5 可知其圆心坐标是 1 2 2 选a 当a2 4a2 4 a2 a 1 0时表示圆的方程 故 a 1 0 解得a 1 互动探究 题2中的方程变为x2 a 2 y2 2ax a 0 若它表示一个圆 则a的值是什么 解析 由二元二次方程表示圆可知首先a 2 1 即a 1 同时还需满足 2 2 4 1 0 满足要求 故a 1 拓展提升 判断二元二次方程表示圆的 两看 一看方程是否具备圆的一般方程的特征 当它具备圆的一般方程的特征时 二看它能否表示圆 此时有两种途径 一是看d2 e2 4f是否大于0 二是直接配方变形 看方程等号右边是否为大于零的常数 变式训练 圆x2 y2 2x 6y 8 0的周长等于 a b 2 c 2 d 4 解析 选c 圆的方程x2 y2 2x 6y 8 0可化为 x 1 2 y 3 2 2 所以圆的半径r 故周长l 2 r 2 类型二待定系数法求圆的方程 典型例题 1 过三点a 1 5 b 5 5 c 6 2 的圆的方程是 a x2 y2 4x 2y 20 0b x2 y2 4x 2y 20 0c x2 y2 4x 2y 20 0d x2 y2 4x 4y 20 02 2013 吉林高一检测 已知圆c x2 y2 dx ey 3 0 圆心在直线x y 1 0上 且圆心在第二象限 半径为 求圆的一般方程 解题探究 1 题1中三点与圆心 半径无直接联系 应怎样设出圆的方程 2 圆的一般方程中含有几个待定系数 在求圆的方程时如何求出待定系数 探究提示 1 可设出圆的一般方程求解 2 含有三个待定系数 需三个独立条件 列出三个方程构成方程组求出待定系数 解析 1 选c 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0分别代入 1 5 5 5 6 2 得解得所以圆的方程是x2 y2 4x 2y 20 0 2 圆心c 因为圆心在直线x y 1 0上 所以 即d e 2 又所以d2 e2 20 由 可得或又圆心在第二象限 所以0 所以所以圆的一般方程为x2 y2 2x 4y 3 0 拓展提升 圆的一般方程和标准方程的选择 1 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题 一般采用圆的标准方程 再用待定系数法求出a b r 2 如果已知条件和圆心或半径都无直接关系 一般采用圆的一般方程 再利用待定系数法求出常数d e f 变式训练 圆心在直线y x上 且经过点a 1 1 b 3 1 的圆的一般方程是 解析 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 则圆心是 由题意知 解得d e 4 f 2 即所求圆的一般方程是x2 y2 4x 4y 2 0 答案 x2 y2 4x 4y 2 0 类型三与圆有关的轨迹问题 典型例题 1 2013 惠州高二检测 若rt abc的斜边的两端点a b的坐标分别为 3 0 和 7 0 则直角顶点c的轨迹方程为 a x2 y2 25 y 0 b x2 y2 25c x 2 2 y2 25 y 0 d x 2 2 y2 252 已知点a 3 0 b 3 0 动点p满足 pa 2 pb 若点p的轨迹为曲线c 则此曲线的方程为 解题探究 1 直角三角形中的两条直角边 反映在直线位置关系上是什么 2 几何关系 pa 2 pb 如何用数量关系表示 探究提示 1 直角三角形中的两条直角边 反映在直线位置关系上便是垂直 因而其斜率之积为 1 2 几何关系 pa 2 pb 可通过两点间的距离公式转化为数量关系 解析 1 选c 线段ab的中点为 2 0 因为 abc为直角三角形 c为直角顶点 所以c到点 2 0 的距离为 ab 5 所以点c x y 满足 y 0 即 x 2 2 y2 25 y 0 2 设点p的坐标为 x y 则化简可得 x 5 2 y2 16 此即为所求 答案 x 5 2 y2 16 拓展提升 求轨迹方程的一般步骤 1 建立适当坐标系 设出动点m的坐标 x y 2 列出点m满足条件的集合 3 用坐标表示上述条件 列出方程f x y 0 4 将上述方程化简 5 证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点 变式训练 2013 合肥高一检测 过原点o作圆x2 y2 8x 0的弦oa 求弦oa中点m的轨迹方程 解析 设m x y a x0 y0 依题意得所以x0 2x y0 2y 又a在圆x2 y2 8x 0上 所以4x2 4y2 16x 0 即x2 y2 4x 0 故弦oa中点m的轨迹方程为x2 y2 4x 0 规范解答 与圆有关的轨迹问题 典例 条件分析 规范解答 设另一端点c的坐标为 x y 1分依题意 得 ac ab 3分由两点间距离公式得 5分平方整理得 x 4 2 y 2 2 10 8分这是以点a 4 2 为圆心 以为半径的圆 但a b c为三角形的顶点 所以a b c三点不共线 当b与c重合时 c 3 5 当bc为直径时 c 5 1 所以端点c的轨迹方程是 x 4 2 y 2 2 10 其中点 3 5 和 5 1 除外 10分故端点c的轨迹是以a 4 2 为圆心 为半径的圆 但要除去 3 5 和 5 1 两点 如图所示 12分 失分警示 防范措施 1 注意轨迹的完备性和纯粹性求解轨迹问题时 要注意轨迹的完备性和纯粹性 即必须同时具备 以方程的解为坐标的点都在曲线上和曲线上点的坐标都是方程的解 两个方面 如本例 若不注意三点不共线则造成轨迹不满足纯粹性而失分 2 注意轨迹方程与轨迹的区别求轨迹不但要把方程求出来 而且要通过方程说明方程表示的曲线 求轨迹方程只需求出方程即可 如本例 易漏掉对轨迹的说明而失分 类题试解 已知圆o的方程为x2 y2 9 求经过点a 1 2 的弦的中点p的轨迹 解析 设动点p的坐标为 x y 根据题意可知ap op 当ap垂直于x轴时 p的坐标为 1 0 此时x 1 当x 0时 y 0 当x 0且x 1时 有kap kop 1 因为所以即x2 y2 x 2y 0 x 0且x 1 经检验 点 1 0 0 0 适合上式 综上所述 点p的轨迹是以 1 为圆心 以为半径的圆 1 若直线3x y a 0过圆x2 y2 2x 4y 0的圆心 则a的值为 a 1b 1c 3d 3 解析 选b 圆的方程可变为 x 1 2 y 2 2 5 因为直线经过圆的圆心 所以3 1 2 a 0 即a 1 2 经过圆x2 2x y2 0的圆心 且与直线x y 0垂直的直线方程是 a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0 解析 选d 由题意知圆心坐标是 1 0 故所求直线方程为y x 1 即x y 1 0 3 点p 1 2 和圆c x2 y2 m2x y m2 0的位置关系是 解析 将点p 1 2 代入圆的方程 得1 4 m2 2 m2 2m2 3 0 所以点p在圆c外部 答案 点p在圆c外部 4 圆心是 3 4 经过点m 5 1 的圆的一般方程为 解析 圆的半径从而圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 73 化为一般方程为x2 y2 6x 8y 48 0 答案 x2 y2 6x 8y 48 0 5 若方程x2 y2 dx ey f 0表示以 2 4 为圆心 4为半径的圆 则f 解析 由题意 知d 4 e 8 所以f 4 答案 4 6 判断方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0能否表示圆 若能表示圆 求出圆心和半径 解析 方法一 由方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0 可知d 4m e 2m f 20m 20