高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第一章 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件 新人教A版必修2.ppt

1 3空间几何体的表面积与体积1 3 1柱体 锥体 台体的表面积与体积 一 柱体 锥体 台体的表面积 平面图形 各个面 展开图 底面半径r 侧面积 母线l 底面周长 2 r2 2 rl 2 r r l 侧面积s 底面周长 底面半径r 母线l r2 rl r r l 上 下底面半径r r 侧面积 上 下底面周长 母线l r 2 r2 r l rl 思考 求圆柱 圆锥 圆台的表面积时 要求的关键量是什么 提示 求圆柱 圆锥的表面积时 关键是求其母线长与底面的半径 求圆台的表面积时 关键是求其母线长与上 下底面的半径 二 柱体 锥体 台体的体积 r2h sh 判断 正确的打 错误的打 1 圆台的体积可由两圆锥的体积差得出 2 棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的 3 圆台的高就是相应母线的长 提示 1 正确 由平行于底面的平面去截圆锥 底面与截面之间的部分即可得圆台 因此圆台的体积可由大圆锥的体积减去小圆锥的体积得出 2 错误 棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的 不一定是等腰梯形 3 错误 圆台的高是指两个底面之间的距离 答案 1 2 3 知识点拨 1 对几何体表面积的几点说明 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面面积公式间的关系 3 特殊的多面体 1 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱 2 底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱 3 底面是正多边形 顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥 4 正棱锥被平行于底面的平面所截 截面和底面之间的部分叫做正棱台 4 公式推导过程中体现的数学思想公式推导过程中体现的核心数学思想是转化与化归的思想 具体实例如下 1 求多面体及圆柱 圆锥 圆台的表面积时转化为求其展开图的面积 这样可以将空间几何问题转化为平面几何问题求解 2 求台体的体积转化为求锥体的体积 根据台体的定义进行 补形 还原为锥体 采用 大锥体 减去 小锥体 的方法求台体的体积 5 对柱体 锥体 台体的体积公式的三点认识 1 等底 等高的两个柱体的体积相同 2 等底 等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出 等底 等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍 3 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 类型一柱体 锥体 台体的表面积 典型例题 1 若一个圆锥的轴截面是等边三角形 其面积为 则这个圆锥的侧面积是 a 2 b c 6 d 9 2 已知棱长均为5 底面为正方形的四棱锥s abcd 如图 求它的侧面积 表面积 解题探究 1 若圆锥的轴截面是等边三角形 则母线长与底面半径存在怎样的数量关系 2 求棱锥的侧面积和表面积的关键点是什么 探究提示 1 圆锥的轴截面是等边三角形 则母线长等于底面半径的2倍 2 要求棱锥的侧面积 应先弄清各侧面三角形的形状 并找出求其面积的条件 此棱锥各侧面均为边长为5的正三角形 表面积为侧面积和底面积之和 即s表 s侧 s底 求底面积要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件 2 因为四棱锥s abcd的各棱长均为5 所以各侧面都是全等的正三角形 设e为ab中点 则se ab s侧 4s abs 4 ab se 2 5 s底 52 25 所以s表面积 25 25 解析 1 选a 由题意 母线长l 2 底面半径为1 所以侧面积为 2 1 2 2 互动探究 题1中 若条件不变 又如何求圆锥的全面积呢 解析 设圆锥的母线长为l 则由轴截面面积为得l 2 则圆锥的底面半径为1 所以圆锥的全面积s 12 2 1 2 3 拓展提升 1 圆柱 圆锥 圆台的表面积的求解步骤解决圆柱 圆锥 圆台的表面积问题 要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图 借助于平面几何知识 求得所需几何要素 代入公式求解即可 基本步骤如下 1 得到空间几何体的平面展开图 2 依次求出各个平面图形的面积 3 将各平面图形的面积相加 2 求棱柱 棱锥 棱台的表面积的基本步骤 1 清楚各侧面的形状 求出每个侧面的面积 2 求出其底面的面积 3 求和得到表面积 变式训练 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 则这个圆柱的表面积与侧面积的比是 解析 选a 设圆柱的底面半径为r 高为h 则h 2 r s侧 2 r h 4 2r2 s表 2 r2 2 r h 2 r2 4 2r2 所以表面积与侧面积的比值为 类型二柱体 锥体 台体的体积 典型例题 1 如图所示 在棱长为4的正方体abcd a1b1c1d1中 p是a1b1上一点 且pb1 a1b1 则多面体p bcc1b1的体积为 2 圆台上 下底面面积分别为 4 侧面积为6 求这个圆台的体积 解题探究 1 求锥体的体积的关键点是什么 2 求圆台的体积应明确哪几个关键量 探究提示 1 明确锥体的底面和高 求出相应的底面积和高 代入体积公式v锥体 s底面h即得 2 由圆台的体积公式v圆台 h r 2 rr r2 可知 必须求出圆台的上下底面圆的半径以及圆台的高 解析 1 选b 由图可知此多面体是一个以p点为顶点 以bcc1b1为底面的四棱锥 则pb1为四棱锥p bcc1b1的高 则由锥体的体积公式可得 2 设圆台的上 下底面半径分别为r r 母线长为l 高为h 轴截面如图所示 题意可得 r2 所以r 1 r2 4 所以r 2 由 rl rl 6 得l 2 所以所以v台 拓展提升 求空间几何体体积的常用方法 变式训练 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面 求这个圆柱的体积 解题指南 由于没有明确是按照哪一边卷成圆柱的侧面 因此要分当卷成的圆柱的底面周长分别为6和3两种情况计算 解析 设圆柱的底面半径为r 母线长为l 则 1 当2 r 6时 r l 3 所以v r2 l 2 3 2 当2 r 3时 r l 6 所以v r2 l 2 6 故所求圆柱的体积为或 类型三组合体的表面积与体积 典型例题 1 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 2 如图 已知某几何体的三视图如图 单位 cm 1 画出这个几何体的直观图 不要求写画法 2 求这个几何体的表面积及体积 解题探究 1 通过几何体的三视图求几何体的体积的关键点是什么 2 题2中的几何体由哪些简单几何体构成 探究提示 1 关键是由三视图还原到原几何体的形状 弄清楚几何体的结构特征 从而转化为求简单几何体的体积 2 根据直观图与三视图的关系 将三视图还原后可知该几何体由下部的正方体和上部的三棱柱构成 解析 1 选a 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体 即一个正方体中间去掉一个圆锥 所以它的体积v 23 12 2 8 2 1 这个几何体的直观图如图所示 2 解题流程 拓展提升 求组合体的表面积与体积的方法 1 分析结构特征弄清组合体的组成形式 找准有关简单几何体的关键量 2 设计计算方法根据构成形式 设计计算方法 特别要注意 拼接面 面积的处理 利用 切割 补形 的方法求体积 3 计算求值 变式训练 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示 则这个空间几何体的表面积是 解析 选d 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半 根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1 下底面半径是2 高为 母线长是2 其表面积是两个半圆面积 圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和 故 易错误区 由三视图误判多面体的形状导致求体积时致误 典例 2012 天津高考 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为m3 解析 由三视图可知 这是由下面是一个长方体 上面是一个平躺着的四棱柱构成的组合体 长方体的体积为3 4 2 24 m3 四棱柱的体积为 1 4 6 m3 所以该几何体的总体积为24 6 30 m3 答案 30 误区警示 防范措施 1 几何体的结构特征的掌握准确掌握几何体的结构特征 是由三视图正确确定原几何体形状的基础 如本例中通过三视图 判断出此几何体是由下面是一个长方体 上面是一个平躺着的四棱柱构成的组合体 2 准确应用公式要注意各个公式的区别 不能混淆公式 如本例中棱柱体积公式的应用 若把握不准 则出现失误 类题试解 2012 新课标全国卷 如图所示 网格纸上小正方形的边长为1 粗线画出的是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 a 6b 9c 12d 18 解析 选b 由题意知 此几何体是三棱锥 其高h 3 相应底面面积为s 6 3 9 所以v sh 9 3 9 1 长方体过一个顶点的三条棱长的比是1 2 3 对角线的长是 则这个长方体的体积是 a 6b 12c 24d 48 解析 选d 设长方体的三条棱长分别为a 2a 3a a 0 由题意得 a2 2a 2 3a 2 2 解得a 2 v 2 4 6 48 2 已知圆柱o o的底面半径为r 母线长是底面直径的2倍 则圆柱o o的表面积是 a 4 r2b 6 r2c 8 r2d 10 r2 解析 选d 因为母线l 2 2r 4r 所以s侧 2 r l 2 r 4r 8 r2 s表 2 r2 8 r2 10 r2 3 若一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 a b 5c 4d 解析 选c 由三视图可判断该几何体为直六棱柱 其底面积为4 高为1 所以体积为4 4 一个圆柱和一个圆锥的母线相等 底面半径也相等 则圆柱和圆锥侧面积之比是 解析 设圆锥 圆柱的母线为l 底面半径为r 则圆锥的侧面积为 rl 圆柱的侧面积为2 rl 所以圆柱和圆锥的侧面积的比为2 1 答案 2 1 5 2013 湖北高考 我国古代数学名著 数书九章 中有 天池盆测雨 题 在下雨时 用一个圆台形的天池盆接雨水 天池盆盆口直径为二尺八寸 盆底直径为一尺二寸 盆深一尺八寸 若盆中积水深九寸 则平地降