高中数学 23反证法与放缩法课件 新人教A版选修45.ppt

第三节反证法与放缩法 课标要求 1 理解反证法在证明不等式中的作用 掌握用反证法证明不等式的方法 2 掌握放缩法证明不等式的原理 并会用其证明不等式 核心扫描 1 利用反证法 放缩法证明不等式或常规问题是本节的热点 2 在不等式的证明中 常与数列 三角结合 将放缩法渗透其中进行考查 难点 自学导引1 反证法先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 矛盾 想一想 哪些命题或不等式适合用反证法证明 提示存在性命题 否定性命题 唯一性命题或结论中出现 至少 至多 全都 等字词的命题或不等式 2 放缩法将所需证明的不等式的值适当 或 使它由繁化简 达到证明目的 如果所要证明的不等式中含有分式 把分母放大 则相应分式的值 反之 把分母缩小 则分式的值 放大 缩小 缩小 放大 试一试 用放缩法证明不等式常用的方法有哪些 基础自测1 实数a b c不全为0等价于 a a b c均不为0b a b c中至多有一个为0c a b c中至少有一个为0d a b c中至少有一个不为0解析a b c不全为0 等价于 a b c中至少有一个不为0 答案d 答案b 3 否定 自然数a b c中恰有一个为偶数 时正确的反设为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中至少有两个偶数或都是奇数解析三个自然数的奇偶情况有 三偶 三奇 二偶一奇 二奇一偶 4种 而自然数a b c中恰有一个为偶数只包含 二奇一偶 的情况 故反面的情况有3种 只有d项符合 答案d 题型一反证法证明不等式 例1 已知 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 思维启迪 利用反证法求证 证明假设a b c不全是正数 即至少有一个小于或等于0 又abc 0 不妨假设a a 0 a b c 0 a b c 0矛盾 假设不成立 故a 0 b 0 c 0成立 规律方法用反证法证明不等式 其实质是从否定结论出发 通过逻辑推理 导出与已知条件或公理相矛盾的结论 从而肯定原命题成立 规律方法 1 用放缩法证明不等式的过程中 往往采用添项 添舍 放缩 分项放缩 函数的单调性放缩 重要不等式收缩等 放缩时要注意适度 否则不能同向传递 思维启迪 1 问考查由递推关系式求通项的方法 2 问考查放缩法证明不等式 1 解 an 1 2an 1 n n an 1 1 2 an 1 数列 an 1 是以a1 1 2为首项 2为公比的等比数列 an 1 2n 即an 2n 1 n n 规律方法解数列不等式综合题要注意 数列不等式综合题难度大 内容丰富 是考察数学能力的良好载体 数列问题重点在数列通项上 解决问题的方法也蕴含在其中 注意考察的方式 注意放缩的尺度 过大过小都不能解决问题 方法技巧用反证法证明否定性结论 示例 已知0 x 2 0 y 2 0 z 2 求证 x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 思路分析 由题目可获取以下主要信息 x y z范围已知 要证明的为否定性结论 解答本题可用反证法加以证明 解法一假设x 2 y 1且y 2 z 1且z 2 x 1均成立 则三式相乘有 xyz 2 x 2 y 2 z 1 由于0 x 2 0 x 2 x x2 2x x 1 2 1 1 同理 0 y 2 y 1 且0 z 2 z 1 三式相乘得 0 xyz 2 x 2 y 2 z 1 与 矛盾 故假设不成立 x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 方法点评 1 当证明的结论中含有 不是 不都