高中数学 9.4分期付款问题中的有关计算课件 湘教版必修4.ppt

9 4分期付款问题中的有关计算 课标要求 1 通过探究 分期付款 等日常生活中的实际问题 体会等差数列 等比数列知识在现实生活中的应用 2 通过具体问题情境 主动思考 互相交流 共同讨论 总结概括 发现并建立等差 等比数列这个数学模型 会利用它解决一些存款问题 感受等差 等比数列的广泛应用 3 通过本节学习 让学生感受生活中处处有数学 从而激发学生的积极性 提高数学学习的兴趣和信心 等差数列 an 的通项公式 前n项和公式 或 自学导引 1 答案an a1qn 1sn na1有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关 计算储蓄所得利息的基本公式是 利息 本金 存期 利率 根据国家规定 个人取得储蓄存款利息 应依法纳税 计算公式为 应纳税额 利息全额 税率 1 整存整取定期储蓄 2 3 一次存入本金金额为a 存期为n 每期利率为p 税率为q 则到期时 所得利息为 应纳税为 实际取出金额为 2 定期存入零存整取储蓄每期初存入金额a 连存n次 每期利率为p 税率为q 则到第n期末时 应得到全部利息为 应纳税为 实际受益金额为 分期付款问题贷款a元 分m个月将款全部付清 月利率为r 各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息 同样按月以复利计算 那么每月付款款额为 4 在分期付款问题中 贷款a元 分m个月付清 月利率为r 每月付x元 想一想 每月付金额x元应如何计算 试给出推导过程 提示一方面货款a元 m个月后本息和为a 1 r m 另一方面每月付款x元 从第一个月开始每次付款x元 m个月后本息和见下表所示 自主探究 某人从2000年起 每年1月1日到银行存入a元 一年定期 若年利率r保持不变 且每年到期存款均自动转为新的一年定期 到2004年1月1日将所有存款及利息全部取回 他可取回的钱数 单位为元 是 答案b 预习测评 1 某地区农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成 2008年该地区农民人均收入为4150元 其中工资性收入为2800元 其他收入为1350元 预计该地区自2009年起的5年内 农民的工资性收入将以每年6 的年增长率增长 其他收入每年增加160元 根据以上数据 2008年该地区农民人均收入介于 a 5200元 5400元b 5400元 5600元c 5600元 5800元d 5800元 6000元答案d 2 某种产品三次调价 单价由原来的每克512元降到216元 则这种产品平均每次降价的百分率为 答案25 某地今年产值为a 若今后每年平均比上一年增长10 则从今年起到第五年底该地总产值为 答案10 1 15 1 a 3 4 解答数列应用题的基本步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的特征 要求什么 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 具体解题步骤如下框图所示 名师点睛 1 数列应用问题的常见模型 1 等差模型 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的具体量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d 常数 例如 银行储蓄单利公式 2 利息按单利计算 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y a 1 xr 例如 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y a 1 r x 产值模型原来产值的基础数为n 平均增长率为p 对于时间x的总产值y n 1 p x 分期付款模型 3 混合模型 在一个问题中 同时涉及到等差数列和等比数列的模型 4 生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数增加 或减少 同时又以一个固定的具体量增加 或减少 称该模型为生长模型 如分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等 5 递推模型 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的递推关系式 那么我们可以用递推数列的知识求解问题 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房 共需1150万元 购买当天先付150万元 以后每月这一天都交付50万元 并加付欠款利息 月利率为1 若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月 问分期付款的第10个月应付多少钱 全部按期付清后 买这40套住房实际花了多少钱 解因购房时先付150万元 则欠款1000万元 依题意分20次付款 则每次付款数额顺次构成数列 an 题型一等差数列模型的应用 例1 典例剖析 a1 50 1000 1 60 a2 50 1000 50 1 59 5 a3 50 1000 50 2 1 59 a4 50 1000 50 3 1 58 5 实际共付1105 150 1255 万元 所以第10个月应付55 5万元 实际共付1255万元 方法点评与等差数列有关的实际应用题 要抓住其反映等差数列特征 仔细审题 用心联想 如本例中 每月比上一月都少付了50万元的月息 即0 5万元 所以每月付款成等差数列 一个水池有若干出水量相同的水龙头 如果所有水龙头同时放水 那么24min可注满水池 如果开始时全部放开 以后每隔相等的时间关闭一个水龙头 到最后一个水龙头关闭时 恰好注满水池 而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍 问最后关闭的这个水龙头放水多少时间 解设共有n个水龙头 每个水龙头放水时间从小到大依次为x1 x2 xn 由已知可知x2 x1 x3 x2 xn xn 1 数列 xn 成等差数列 1 某家庭打算以一年定期的方式存款 计划从2011年起 每年年初到银行新存入a元 年利率p保持不变 并按复利计算 到2021年年初将所有存款和利息全部取出 共取回多少元 解从2011年年初到2012年年初有存款b1 a 1 p 元 设第n年年初本息有bn元 第n 1年年初有bn 1元 则有bn 1 bn a 1 p 将之变形为 题型二等比数列模型的应用 例2 方法点评根据问题建立数列关系式是解决问题的关键 依据关系式转化为等差 比 数列求解 银行按规定每经过一定时间结算存 贷 款的利息一次 结息后即将利息并入本金 这种计算利息的方法叫做复利 现在有某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款10万元 第一年便可获利1万元 以后每年比前一年增加30 的利润 乙方案 每年贷款1万元 第一年可获利1万元 以后每年比前一年增加5千元 两方案使用期都是10年 到期后一次性归还本息 若银行贷款利息均按本息10 的复利计算 试比较两种方案谁获利更多 精确到千元 数据1 110 2 594 1 310 13 79 解甲方案10年中每年获利数组成首项为1 公比为1 30 的等比数列 其和为 2 1 1 30 1 30 2 1 30 9到期时银行贷款的本息为10 1 0 1 10 10 2 594 25 94 万元 甲方案扣除贷款本息后 净获利约为42 63 25 94 16 7 万元 乙方案10年中逐年获利数组成等差数列 乙方案扣除贷款本息后 净获利约为32 50 17 53 15 0 万元 比较得 甲方案净获利多于乙方案净获利 某林场去年年底森林中木材存量为3300万立方米 从今年起每年以25 的增长率生长 同时每年冬季要砍伐的木材量为b 为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标 每年冬季木材的砍伐量不能超过多少 取lg2 0 3 解设a1 a2 a20表示今年开始的各年木材存量 且a0 3300 则an an 1 1 25 b 题型三递推数列型应用题 例3 方法点评有些实际应用题 虽然是数列问题 但是既不是等差数列问题 也不是等比数列问题 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的递推关系式 那么我们可以用递推数列的知识求解问题 某地区原有森林木材存量为a 且每年增长率为25 因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b 设an表示n年后该地区森林木材存量 1 求an的表达式 3 要在一段公路上每隔100米竖一块路程牌 共需竖60块路程牌 并依次将它们编号为1 2 3 60 为完成竖牌的任务 要求先用一辆汽车把60块路程牌全部集中到n 1 n 60 n n 号牌处 再由一个工人从n号牌处出发 用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌 n应取多少时 才能使工人竖牌时所行的路程最少 最少路程是多少 错解 找不到解决问题的思路 错因分析一些学生被应用题长长的文字所吓倒 不能从文字中提取有用信息 转化为数学模型 造成应用题不会做的局面 误区警示找不到应用题对应的数列模型 例4 正解 路程牌集中到n号牌处时 该工人所行路程为sn 2 100 n 1 2 100 n 2 2 100 1 2 100 1 2 100 2 2 100 60 n 因为n n 所以当n 30或n 31时 sn 最小 200 302 61 30 1830 180000 米 即n取30或31时 才能使工人竖牌时所行的路程最少 最少路程是180000米 纠错心得树立解应用题的自信心 应用所学知识进行解决 本例运用数列的知识求出从n号到每一号所行路程 它们分别组成两个等差数列 之后运用等差数列前n项和