（应用数学专业论文）几类离散人口模型的持久性和周期性问题.pdf

硕士学位论文 摘要 本文在已有的l o t k a - v o l t e r r a 模型的基础上，考虑多个物种并加入常时滞或 变时滞，得到了更符合现实的几类离散时滞人口模型我们主要对这几类模型的 持久性和周期解的存在性进行了较深入的研究本篇论文由四章构成 第一章概述了数学生态学的发展历史和前人所做的一些相关工作以及本文问 题的产生另外还简单介绍了本文的主要工作 第二章讨论了具有变时滞的一般n - 种群周期l o t l ( a - v o l t e r r a 互惠差分系统 利用拓扑度理论中的连续定理以及m 一矩阵的性质获得了该系统正周期解存在的 充分条件由此结果推得的二维系统正周期解存在的充分条件与相应微分系统的 已知结果相同 第三章考虑了具有时滞的1 2 种群非自治的l o t k a - v o l t e r r a 竞争差分系统通 过构造一个新的拟李雅谱诺夫函数，得到了判定该系统持久的一些易于检验的准 则这些结果较好地推广了一些已知结论另外，尽管有的模型覆盖面比该模型要 广，但它要求的条件过于苛刻，而我们大大地减弱了这些条件在此条件下，我们 较大程度上改进了这个结果 第四章研究的仍然是n 一种群的l o t k a - v o l t e r r a 竞争差分系统，但是是具有不 同变时滞的周期系统利用重合度理论得到了该系统正周期解存在的充分条件 关键词：互惠系统；竞争系统；离散的；正周期解；变时滞；持久性；n 一种群 些耋塞塑旦堡型竺垫垒堡塑堡塑堡堡堡：一 a b s t r a c t b a s e do nt h ee x i s t e dl o t k a - v o l t e r r ap o p u l a t i o nm o d e l s ，w ec o n s i d e rm u l t i - s p e c i e s m o d e l sw i t hc o n s t a n to rv a r i e dd e l a y si n s t e a do ft w o s p e c i e so n e s a n do b t a i n s e v e r a lc l a s s e so fd i s c r e t ed e l a y e dp o p u l a t i o nm o d e l sw h i c hs e e mm o r ep r a c t i c a l t h a nt h o s ee x i s t e d w em a i n l ym a k em u c h i n v e s t i g a t i o n f o rt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i c s o l u t i o na n dt h ep e r m a n e n c eo ft h e s en e wm o d e l s t h i st h e s i si sc o m p o s e do f f o u r c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w es t a t et h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c a le c o l o g y sd e v e l o p m e n t ，t h ee x i s t e dr e l a t e dw o r ka n dt h eo r i g i no ft h ep r o b l e m sw ed i s c u s s e d a n d t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri sa l s os i m p l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rap e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r ac o o p e r a t i v ed i f - f e r e n c es y s t e mw i t hv a r i e dd e l a y s b yu s i n gt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo ft o p o l o g y d e g r e et h e o r ya n dp r o p e r t i e so fn o n s i n g u l a rm m a t r i x ，w e o b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h i ss y s t e m ，a st h es p e c i a l c a s e ，t h er e s u l t sf o rt h et w os p e c i e sm o d e la r eo b t a i n e d ，w h i c ha r es a m et ot h e k n o w nr e s u l t so ft h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n t i a ls y s t e m t h ep u r p o s eo ft h et h i r dc h a p t e ri st 0s t u d yt h ep e r m a n e n c eo fan o n a u t o n o m o u sn s p e c i e sl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i v ed i s c r e t es y s t e mw i t hd e l a y s b y c o n s t r u c t i n g an e w q u s i - l i a p n n o vf u n c t i o n ，w eo b t a i ns o m en e w c r i t e r i aw h i c ha r e e a s i l yc h e c k e d t h ek n o w nr e s u l t so fs e v e r a lt w o s p e c i e sc o m p e t i t i v em o d e l sa r e w e l lg e n e r a l i z e d o nt h eo t h e rh a n d ，a l t h o u g hs o m em o d e l sc o v e rt h i sm o d e l ，t h e r e q u i r e dc o n d i t i o n sa r et o or i g o r o u st of i t ，a n dt h ec o n d i t i o n sa r ew e a k e n e d i no u r t h e o r e m s i nt h i ss e n s e ，w ei m p r o v et h e s er e s u l t s f i n a l l y , i nt h ef o u r t hc h a p t e r w es t i l lc o n s i d e ra 一s p e c i e sl o t k a v o l t e r r a c o m p e t i t i v ed i f f e r e n c es y s t e m ，b u tt h i sm o d e l i sap e r i o d i cs y s t e mw i t hd i f f e r e n tv a r i e d d e l a y s t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h i ss y s t e mi se s t a b l i s h e db y u s i n gc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y k e yw o r d s ：c o o p e r a t i v es y s t e m ；c o m p e t i t i v es y s t e m ；d i s c r e t e ；p o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n ；v a r i e dd e l a y s ；p e r m a n e n c e ；n s p e c i e s i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：福矿l 群日期：洲弘年4 月，彳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：掰年华月，孑日 日期：加d 牛年牛月加日 矸镪 剐闲 硕士学位论文 第1 章前言 1 1 前人所做的工作 数学生态学就是用数学的方法对给定种群本身的动力学特性和结构的研究以 及给定种群与相关种群相互作用下演变规律的研究它的历史可以追溯到1 6 世 纪，中国明朝的著名科学家徐启光( 1 5 6 2 1 6 3 3 ) 就曾用数学的方法估算过人口的增 长他说：“头三十年为一世”，即人口大致每3 0 年增加一倍，这是把数学应用 到种群生态的最早史例1 6 6 2 年，j g t a u n t 研究了伦敦人口出身率和死亡率， 通过计算后认为：如果略去移民，伦敦每6 4 年将增加一倍更为著名的是英国神 父m a l t h u s 的工作，他在1 7 9 8 年出版的著作中提出了人口按几何级数增长的理 论尽管数学生态学在1 6 世纪已经开始萌芽，但是工作比较零碎1 9 0 0 年意大 利著名数学家v v o l t e r r a 在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的 尝试”的演讲标志了生物数学发展的一个里程碑在这个时期内，k p e a r s o n 在 遗传学方面应用数学的研究成果，t b r o w n l e e 在流行病方面的应用数学的研究 成果相继出现一直到1 9 2 6 年v v o l t e r r a 发表了解释f i n m e 港鱼群变化规律的 著名论文，使数学生态学的发展一度达到高潮不久由于战争因素，使刚刚兴起的 数学生态学以及更广泛的生物数学又寂静下来 近二十多年来，一方面由于世界范围倡导和平，发展，另一方面又由于过速的 发展所带来的全球范围的人口爆炸、环境污染、能源危机等问题，使得人们对种群 内部以及种群与种群之间是否协调发展愈发关心了而种群生态学中的数学模型 有一大部分是离散或连续的方程，这就吸引国内外一大批微分和差分方面的学者 纷纷加入到这一研究领域，并且取得了不少成绩，见 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 等。他 们研究的问题主要有两个方面：( 一) 种群随时间的演变规律；( 二) 如何实施人 工干预对种群进行保护、开发和利用第个方面又包括了几个小方面：( 1 ) 随着 时间的推移，种群是持续生存还是走向灭绝? ( 2 ) 种群的规模是否具有一个或多 个平衡状态? ( 3 ) 这种平衡状态是否稳定? ( 4 ) 如果平衡状态是稳定的，那么能 够恢复到平衡态的种群初始规模变化的最大区域称为此平衡态的吸引域对于给 定的具有稳定平衡态的种群，怎样去求平衡态吸引域? ( 5 ) 由于环境的变坏或外 来物的侵入，将对种群发生怎样的影响? 有关模型方面的知识可参考f 9 ，l o ，1 1 1 我们所研究的内容是基于l o t k a v o l t e r r a 模型，它作为著名的种群间作用模 型按生态意义可以分为三类：捕食与被捕食，竞争，互惠下面仅就本文所要研究 的几个问题的历史背景作一个简单介绍 几类离散人口模型的持久性和周期性问题 一、具有时滞的多维离散互惠系统的正周期解 在三类v o t k a v o l t e r r a 模型当中，互惠系统的研究相对较少，而象蜜蜂和花朵 这样互惠互利的物种，自然界中随处可见，它的重要性是不容忽视的 1 9 9 7 年，g o p a l s a m yk 等在j m a t h a n a l a p p l 上发表论文【1 2 考虑了 带时滞的二维自治互惠系统 蒙一( t ) r l - a l l x ( t 一) + 牝卵吖) ， ( 1 1 ) 掣：( 讹+ 。2 1 z ( t 一7 - ) 一喇( t 下) 】， 。 其中r l ，r 2 ，a 1 1 ，a 1 2 ，a 2 l ，a 2 2 ，r 是正数作者研究了( 1 1 ) 的持久性、最终有界性 和全局吸引性 2 0 0 2 年，杨帆等在文 1 3 】中讨论了下面多时滞非自治周期l o t k a - v o l t e r r a 互 惠系统，研究了它的正周期解的存在性问题 口l ( t ) = y l ( t ) r l ( t ) 一a l l ( ) 1 0 一n ( ) ) + 口1 2 ( t ) 2 ( 口2 ( # ) = y 2 ( t ) r 2 ( t ) + a 2 1 ( t ) y l ( t n ( t ) ) 一n 2 2 ( t ) 2 0 其中r i ，8 玎，瓦：r _ ( 0 ，+ o o ) ( i ，j = 1 ，2 ) 是一周期函数事实上，( 1 2 ) 考虑了 一类比( 1 1 ) 更广泛的模型，加入了变系数和变时滞，而且推广了g o p a l s a m y 及 h e 在 1 2 1 中的结果 2 0 0 1 年，l iy o n g k u n 和k u a n gy a n g 在j m a t h a n a l a p p l 上发表论文 1 4 考虑了两种分别多维的带离散时滞和连续分布时滞的周期l o t k a - v o l t e r r a 互 惠系统。 r” 血( t ) = 孔( t ) k t ) 一a i i ( t ) + a t j ( t ) x j ( t ) 。 和 1( 1 3 ) n l、， + b , j ( t ) x j ( t 一勺( t ，z 1 ( t ) ，。( ) ) ) l ， j = lj i = l ，2 ，仡 引归烈小_0l小)+套atj(t)xj(t)售吲厶(t+o)d01卜4 ) 训= 删协) _ 0 l ：( t ) + + 6 d ( t ) qj ，( 1 4 ) j lj = 1 。 j i = 1 ，2 ，n 。 在( 1 3 ) 和( 1 4 ) 中c i ，a i j ，b i j ( i ，j = 1 ，2 ，n ) 是非负叫一周期函数但文【1 4 没 有包含文 1 3 的结果 硕士学位论文 上面研究的都是l o t k a - v o l t e r r a 互惠微分系统1 9 9 9 年，l uz h e n g y i 和 w a n gw e n d i 在j m a t h b i o 上发表论文 1 7 】，讨论了下面二维自治互惠差分系 统的持久性 茁n + l2 x ne x p r l a l l e n 十a 1 2 y , t j , ，1n 掣。+ l = e x p r 2 十凸2 l z n n 2 2 y n j ， 、上u 7 其中r 1 ，7 2 ，a 1 1 ，8 1 2 ，a 2 1 ，a 2 2 是正数 那么很自然我们会考虑下面几个方面： 1 把模型( 1 5 ) 推广到n 维； 2 考虑周期因素的和时滞的影响； 3 在什么条件下，新模型会存在正周期解? 二、带时滞的多维非自治竞争差分系统的持久性 1 9 9 4 年，l uz h e n g y i 在n o n l i n e a ra n a l y s i s 发表文章【1 5 ，讨论了带时滞的 二维自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统 当p l 1 ，p 2 曼1 时，系统( 1 6 ) 是持久的 作为系统( 1 6 ) 的推广，2 0 0 1 年滕志东在数学学报发表文章f 1 6 】，考虑 了具有离散时滞和连续分布时滞的一般n - 种群非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统 掣小) 卜) 一妄州她( t - t q ( t ) ) - 妻。f o 。c i j s 蚓hs ) d s ( 1 7 ) i = 1 ，2 ，一，乱， 得到了此系统持久和灭绝的一些判别准则 介绍过微分系统的持久性之后，接下来是一些差分方面的1 9 9 9 年， l u z h e n g y i 和w a n gw e n d i 在文 1 7 1 中还讨论t - - 维离散的自治竞争系统 当条件r ：a u r l a 2 1 0 ，r l a 2 2 一r 2 a 1 2 0 被满足，系统( 1 8 ) 是持久的经过整 理，与系统( 1 6 ) 持久条件一致 一3 一 l ，i 毋疗 n 见 一 一 2 2 z o m 一 一d 0 他 n 一 一0 0 q 1 2 z 肛 一 1 l 、j、) 0 0 1 2 万 嚣 n 您 l l l l 、j、)0 1 2 z z q 搿 一 一 啦眈 一 一 h h唧唧；芰 = = “ “；宝 几类离散人口模型的持久性和周期性问题 在系统( 1 8 ) 中加上时滞，即 也可以写成 z ( n + 1 ) = z ( n ) e x p r l 1 一z ( n 一七1 ) 一# l y ( n 一女2 ) 】) ， g ( n + 1 ) = y ( n ) e x p r 2 1 一p 2 x ( n 一1 i ) 一( 礼一2 2 ) ) 这正是系统( 1 6 ) 的离散形式2 0 0 0 年，s a t i o 等人在文 1 8 中就讨论了( 1 9 ) 当与文 1 7 ，1 5 】相同的条件被满足时，系统( 1 9 ) 持久 由于变化的环境，2 0 0 3 年， z h o uz h a n 等在文 1 9 】中进一步考虑了非自治 的情形，即 获得了与文【1 8 】中相同的结论 在这些前提下，我们禁不住要问； 把二维的模型( 1 1 0 ) 推广到n 维后，在什么条件下，新模型是持久的，可否 包括 1 8 】中的结论? 三、具有变时滞的多维周期竞争差分系统的正周期解 2 0 0 0 年，l iy o n g k u n 在文f 2 0 】中讨论了下面具有离散时滞的周期竞争系统 的正周期解的存在性 掣一水) 卜h “咖水) - 争旧啄卜咖1 ( t ) j 一，吣啪) ( 1 1 1 ) i = 1 ，2 ，n 离散方面，2 0 0 2 年g a im i n g j i u 等在文 2 1 】中考虑的模型包含了下面的系统 x i ( 女+ 1 ) = 规( ) e x pi b i ( 七) 一。巧( 七) 巧( 七一勺( 圳，江l ，2 ，佗( 1 1 2 ) lj = lj 注意到在不同的方程中带相同时滞勺( 女) ( j = 1 ，2 ，n ) 但不同物种与前几 代的关系不同不仅仅体现在种群间的作用系数a 。，上，也体现在时滞上我们在模 型( 1 1 2 ) 中引进功( 七) 表示物种x i 和物种即的作用时滞此时，在什么条件下， 正周期解会存在? 4 9 蚴玑 一 一、三= ，竹 删州 。 眈 一 一 0 卜 h 一 一 唧 恤虮啦 一 一 h h唧唧 z 可 | | | | q d + + n n 顶“ 加 蚴训“ 毗蚴 一 一薹茎 吼蛳 一 一 州酬唧州州 | | = 咖咖 硕士学位论文 1 2 本文的主要工作 本文的主要工作是围绕上一小节提出的问题进行研究和讨论，并回答了这些 问题 第二章讨论了下面具有变时滞一般n 一种群周期l o t k a - v o l t e r r a 互惠差分系统 的正周期解的存在性 蚶+ 1 ) ：玑啡k 。pk ) 飞鼬) 蜘一心) ) + 妻a i j ( ( 一珊) ) ， l j j ( 1 1 3 ) 其中 n ( ) ) ， o “( ) ) ( i = 1 ，2 ，n ) 是正的u 一周期序列， n 。j ( ) ) ， 巧( ) ) ( j i ，i ，j = 1 ，2 ，n ) 是非负的u 一周期序列利用f 2 2 中拓扑度理论的连续定理， 结合m 一矩阵的性质，我们得到了一个简单、易于验证的周期解存在的充分条件 在第三章，我们研究了下列具有时滞的n 一种群l o t k a - v o l t e r r a 竞争差分系统 的持久性 r n 研( 七+ 1 ) = 甄( ) e x ph ) 一。d ( ) 。，( 七一) l ， ( 1 1 4 ) lj = ij i = 1 ，2 ，一，n ， 其中n ( ) ) ， o ( ) ) ，( i ，j = 1 ，2 ，n ) 是非负序列，劭( i ，j = 1 ，2 ，站) 是非 负整数在这一章，我们构造了一个新的拟l i a p u n o v 函数并结合离散系统的特点 获得了一个判定( 1 1 4 ) 持久的准则作为( 1 1 4 ) 的特殊情况，此判定准则大大推 广了文【1 8 】和文【1 9 】中的结果 在第四章，我们把变时滞加入到( 1 1 4 ) 中，即 r ” 1 以( 女+ 1 ) = 瓤( 七) e x p 女) 一a j ( k ) x j ( k 一甸( ) ) i ， ( 1 1 5 ) lj = lj i = 1 ，2 ，n ， 其中 n ( ) ， o 玎( 七) ) ， ( 七) ) ( i ，j = 1 ，2 ，r t ) 是非负u 一周期序列，借助于重 合度理论，我们得到了系统( 1 1 5 ) 正周期解存在的充分条件 1 3 通用符号 有关方程方面的基础知识可参考( 2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 为了方便，我们 引入下面的符号，若没有特别声明，这将在本篇论文中通用 5 几类离散人口模型的持久性和周期性问题 r 一全体实数组成的集合； r o 一一全体非负实数组成的集合； 醒+ 一一全体正实数组成的集合； z 一一全体整数组成的集合； z o 一一全体非负整数组成的集合； z + 一一全体正整数组成的集合； ( o ) = o ，a + 1 ，- ) ； n ( a ，b ) = ，a + 1 ，6 ( b n ) ； l = o ，1 ，“j 一1 一6 硕士学位论文 第2 章变时滞多维l o t k a - v o l t e r r a 互惠差 分系统正周期解的存在性 2 1 引言 在种群动力学、生物学的研究中，l o t k a - v o l t e r r a 模型一直备受学术界的关 注 g o p a l s a m y 在文【1 2 】中考虑带时滞的二维互惠系统 蓑一h - - a x ( t 7 - ) + 毗绯叫卜 ( 2 1 ) 掣刊计2 - f a 2 。x ( h ) - 酬h ) 】1 一u 其中r l ，r 2 ，a l l ，a 1 2 ，a 2 1 ，0 2 2 ，7 - 是正数建立了系统( 2 1 ) 解的最终有界性和持续 性之间的关系，并且得到了其正平衡点全局吸引的充分条件 在现实生活中还存在着许许多多周期因素的影响，比如季节交替，食物供应， 后代繁殖等这势必就要考虑作用系数随时间呈规律性变化的情形，并且时滞也 是有规律变化的在文 1 3 中，杨帆等就考虑了下面的多时滞非自治周期l o t k a v o l t e r r a 互惠系统 口1 ( t ) = y l ( t ) r l ( t ) a l l ( t ) y l ( t n ( f ) ) + 0 1 2 ( t ) 口2 ( t r 2 ( t ) ) 】， r 。m 扔( t ) = y 2 ( t ) r 2 ( t ) + a 2 1 ( t ) y l ( t n ( ) ) 一a 2 2 ( t ) 9 2 0 一亿( t ) ) 】， 其中n ，a i j ，t ：r 寸( 0 ，+ ) ( i ，j = 1 ，2 ) 是u 一周期函数，用重合度的方法获得了 正周期解存在的充分条件 除了 1 3 之外，最近几年，许多作者都对周期解进行了研究，得到了很多好 的结论【1 ，3 ，4 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 但大多局限于连续模型，却很少涉及离散模 型在文【17 中l uz h e n g y i 讨论了二维自治互惠差分系统 z n + 1 = z ne x p r l a l l x n + a 1 2 y n 】 y n + l2 e x p r 2 + a 2 1 x n a 2 2 y n 】 ( 2 3 ) 其中r l ，r 2 ，a l l ，a 1 2 ，a 2 1 ，a 2 2 是正数证明了在不加任何条件的情况下，系统( 2 3 ) 不持久 、 下面我们采取半离散的方法来获取微分系统( 2 2 ) 离散类似对于任意的t 一7 一 几类离散人口模型的持久性和周期性问题 ( k + 1 ) ) ，k z o ，我们有 r l ( t ) 一a n ( t ) y l ( t 州m 刮 r 2 ( t ) + a 2 1 ( t ) y 1 ( t 您( m 吲 一t 1 ( t ) ) + a 1 2 ( t ) y 2 ( t m t ) ； ，可- c ； 一nc i ， 一t 1 ( t ) ) 一a 2 2 ( t ) y 2 ( t 一记( t ) ；h 协c 阶州m + a 1 2 f a 2 2 【 ； ，。c ； 一n c ； ， m 抛c 褂 这里 q 】表示实数q 的整数部分，h 0 是一个固定的数，表示离散化的步长注 意到 i t = 七，因而( 2 4 ) 可写为 r l ( t ) 一a l i ( t ) y l ( t n ( ) + a 1 2 ( y 2 一亿( t ) ) “rl(k)h+)-n：a。(1t1)(可k。ho)yl(kh(印-)rl(kh：)o)+可。a12一(k死h)(y茚2()kr2(t t 1a 2 一r 2 ) ) ( 2 5 ) ) + n 2 l ( t ) 可o 一( t ) ) 一2 ( t ) 可2 一亿( t ) ) r 2 ( k h ) + a 2 l ( k h ) y l ( k h n ( 七九) ) 一a 2 2 ( k h ) y 2 ( k h n ) ) ， 由( 2 5 ) ，我们用下面的微分系统来近似于( 2 2 ) 1 0 ) 2 们( ) i r l ( 危) 一a l l ( k h ) y l ( k h 一丁l ( 托) ) + a 1 2 ( k h ) y 2 ( k h 亿( 哟) ， r 。r 、 口2 ( ) = y 2 ( t ) r 2 ( k h ) + a 2 1 ) 1 ( 后 一n ( ) ) 一a 2 2 ( k h ) y 2 ( k h 一乃( 七 ) ) 】， 卜 这里t k h ，( k + 1 ) ) ，k z o 我们在区间 k h ，t 】上积分系统( 2 6 ) ，其中 t 0 ， ( 2 1 0 ) 2 2 几个引理 为了证明周期解的存在性，我们首先引入 2 2 l 中的一些概念和结果： 设x ，z 是实b a n a c h 空间，l ：d o m l c x - 2 t z 为线性映射，n ：x _ z 为 连续映射若映射l 满足d i m k e r l = c o d i m h n l 0 ，i = 1 ，札) 是关于 系统f 2 9 ) 的正不变集 证明根据生物学的实际意义有姒一f ) 0 ，f = 1 ，2 ，m i n x 叶，噬，碟j ； 玑( o ) 0 ，由系统( 2 9 ) 立即可得玑( 七) 0 ，k z o ，i = 1 ，故得证 定义2 2 3 设p = 0 i j ) 。，q = ( ) 。，p 茎印是指 p 订q 妇， i = 1 ，2 ，- 一，t t ，j = 1 ，2 ，m 下面介绍的是文 3 6 】中关于m - 矩阵的一些知识按传统习惯，我们引人记 号： z “。“= a = ( 8 甜) 。：a i j r ，a i j o v i j 定义2 2 4a = ( a i j ) 。z “称为非奇异m 一矩阵，若a 的所有前主子 式( 顺序主子式) 为正数 引理2 2 5 设a = ( a i j ) 。z “4 是非奇异m 一矩阵，则a _ 1 0 ( o = ( 0 ) 。一) 引理2 2 6a = ( a i j ) 。z ”“是非奇异m 一矩阵且b = ( b q ) 。n z “满 足b a ，贝4d e t b d e t a 0 引理2 2 7 设a = ( a 4 ，) 。z “”是非奇异m 一矩阵，则a 的任意主子式 为正数显然a i 0 ，v i = 1 ，2 ，n 2 3正周期解存在的充分条件 在本节中，我们将考虑系统( 2 9 ) 周期解的存在性为此令 ，a l 。一吨一叱 l 一。l 。畦。一。孙 a = i 一。；。一日如 。5 。 l i 一蝼。一碟。一唠。 我们有如下的结论； 定理2 3 1 如果系统( 2 9 ) 满足a 是非奇异m 一矩阵，则初值问题( 2 9 ) 和 ( 2 1 0 ) 至少存在一个正0 j 一周期解。 一1 0 、iltf u m “她 孤 n 哪 呔 硕士学位论文 为 证明首先作一个变换y d k ) = e x p ( x ( k ) ) ( i = 1 ，2 ，n ) ，则系统( 2 9 ) 转化 z 。( 南+ 1 ) 一x d k ) = r i ( k ) 一a i | l ( k ) e x p ( x i ( k 一氕( 七) ) ) + ( 七) e x p ( x j ( k 一巧( ( 2 1 1 ) j = l j 1 i = l ，2 ， 若( 2 1 1 ) 存在一个一周期解z ( 南) = ( z l ( 自) ，z 。( 七) ) 丁，则y ( 七) = ( l ( 南) ，( 惫) ) ? 是( 2 9 ) 的正u 一周期解 定义 x = z = ( ( z 1 ，一，z 。) r ：z r ”：z t ( 孟+ u ) = 。( 七) ，后z ，i = 1 ，2 ，一，n ) 对任意( x l ，茁。) t 义( 或z ) ，定义范数 队，瑚硼= ( 静。) 5 则x 和z 按上述范数构成b a n a c h 空间对任意( z 1 ，z 。) 7 x ，作算子 卜 篡：善n = r 。( 七) 一。( 七) e x p ( 。( 七一7 h ( 七) ) ) + 乏：口可( 七) e x p ( 。j ( 七一q ( 七) ) ) j l ( x l ( k ) ，z 。( ) ) t = ( 。- ( 七+ 1 ) 一z 1 ( 七) ，。( 七+ 1 ) 一z 。( k ) ) t 定义两个投影算子p 和臼为： r ，观、，吼、i p i 主j 2 q 【ij 2 ，x 显然，k e r l = 孵，i m l = ( z 1 ，z 2 ，茁。) t x ：”k = 0 1 ( 南) = 0 ，i = 1 ，2 ，n ) 且d i m k e r l = c o d i m i m l = n + o 。，因为i m l 是z 的闭子集，故l 是一个指 $ z 脚；脚 l u 1 一u ，。 几类离散人口模型的持久性和周期性问题 标为零的f r e d h o l m 算子，容易知p 是连续的投影算子，且i m p = k e r l ，i m l = 于是 因而 q ： z 。 三萎h 一 k = o x l 、i ，薹 酬卜q x n 2 l 曼 s = o n d o m l 为 州s ) + 刍( s ) 一( 鲁+ w 。- 。1 ) 。- 1 州s ) + 刍篓洲一( 当+ 百u - - 1 5 2 - - 1 n r ( s ) 一。i ( s ) e x p ( x ( s n ( s ) ) ) + ( s ) e x p ( x j ( s 一勺( s ) ) ) 荔 显然，q n 和k p ( i q ) n 都是连续的， 有界开集qcx ，面页f 二丽是紧的， 一1 2 因为x 是有限维的，不难证明对任意的 且q n ( f i ) 是有界的，因而在q 上为 p “ 一 时 k k 一 一 一巍芦基c 卜 1 一u 1 一u 辱 卜 卜 | | 0 扣 p o 研 龇基枷参删 义，、 广 = 且 。 雕 研； q ，p 睇 v m q 艮 砷 q 勺 巧 胎 q ，一 “ 州 “ x x 毗 毗 毗 们 胁 骱 慰 卜 + + h “脚 卢 、 )、j s s ，l，l l h 砂 妒 硕士学位论文 科1 ) _ 州”a 筝= 焉：) ，( z ， + n 玎( ) e x p ( 码( 一弓( ) ) ) ， 氧er t ( k ) - a i i ( k ) e x p ( x i ( k - t i ( k ) ) ) + 嘉a i j ( k ) e x p ( x j ( k - t j ( k ) ) ) 卜 一氧ea i i ( k ) e x p ( x t ( k - v i ( k ) ) ) - 抄) e x p ( x j ( k - ，- j ( k ) ) ) 卜均 i x d k + 1 ) 一q ( ) i = a k 七) 一o n ( 七) e x p ( 戤( 一n ( k ) ) + a i j ( k ) e x p ( x j ( k 一巧( 女) ) ) i t a - 1 ” 。( 2 1 5 ) ) + 啪) e x p ( 州水) ) ) ) j=lk=0 w - i j + e x p ( 置( 一瓦( 盎j ) ) w - 1 2 0 = 2 a “( 七) e x p ( x i ( k 一兀( ) ) ) ， i = 1 ，n 1 3 几类离散人口模型的持久性和周期性问题 由方程( 2 1 4 ) ，有 u 一1nu l 。i e x p ( x t ( 一瓦( 女) ) ) 曩u + n 嚣e x p ( x j ( k 一勺( ) ) ) 2 0 嚣 k = 0 即 其中， u 一1 一1 y = ( e x p ( x - ( 一n ( ) ) ) ，e x p ( z 。( k = 0k = 0 由引理2 2 5 可知 y s , 4 - 1 r = ：( 己l ，l n ) 7 u 因而 u 一1 e x p ( x ( 一n ( 圳厶u ， i = 1 ，m ( 2 1 6 ) k = 0 再由方程( 2 1 4 ) 得 u l 皑e x p ( x i ( k n ( 七) ) ) 芝吮u ， i = 1 ，扎 k = 0 结合( 2 1 6 ) 可得 最us 。嘶舢叫纠“，m ( 2 1 7 ) 由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 式，有 由( 2 1 7 ) 式，可以得到 2 啦 ( ) e x p ( x l ( 一n ( ) ) ) k = 0 “一1 2 n i e x p ( x i ( k 一兀( ) ) ) 2 0 ；厶w = ：a ，i = 1 ，佗 x ：i n l i = ：尬 1 4 z ? i n 罴= ：m i 瓿 硬士学位论文 则 0 3 - - 1 x d k ) z ：+ i z i ( k + 1 ) 一x d k ) l + q ， i = 1 ， ( 2 1 8 ) k = o 2 。( 奄) 。? 一i z i ( k + 1 ) 一。i j 镌一g ， i = l ，m ( 2 1 9 ) 皿= m a x 1 + a l + 6 ，l m i a | + 6 ) ， 这里5 是一个正实数由方程( 2 ，1 8 ) ，( 2 1 9 ) 可知 2 m 。a 。x j 墨( 奄) f 纭， i i ( x l , x 2 , - , x , 一l 0 ，那么方程组( 2 2 0 ) 有唯一解 ( e “，e “，e “：) t ，取6 足够大使得l t ( e “，e q ，e “：) r | | o ， f 2 2 3 1 抛( 0 ) 0 、7 由定理2 3 。1 ，系统( 2 , 2 2 ) 的正周期解的存在的充分条件是矩阵 警)1 2 吐m ，一 几类离散人口模型的持久性和周期性问题 是非奇异m 一矩阵事实上，只需满足n i l a t 2 o 也。巍，因而有如下结论： 推论2 4 1 如果系统( 2 2 2 ) 满足a i l a t 2 口& 口￥1 ，则初值问题( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 至少有一个正u 周期解 相对应的连续系统( 2 2 ) 在文【1 3 】中结果是： 定理a 如果系统( 2 2 ) 满足0 1 1n ! 。 a “1 2 a “2 1 ，则初值问题( 2 2 ) 至少有一个 正u 一周期解在这里o b = m m t e o ，w 】a i j ( t ) ，o 等= m a x 蚝【o ，。】a i j ( t ) 这与我们主要结论的推论相同我们从离散角度推广了定理a 1 8 硕士学位论文 第3 章非自治时滞多维l o t k a - v o l t e r r a 竞 争差分系统的持久性 3 1 引言 自然界种群的长期共存性与种群间相互作用密切相关，是一个非常根本、重 要的生态学问题从数学观点来看，即是种群的持续性和持久性严格地来讲， 我们说种群x ( t ) 是持续的，若l i mi n f t _ + + 。x ( t ) 0 ，进一步，我们说系统是持续 的，若系统中的所有种群都是持续