高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第二章 2.3.4 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 4平面与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质定理 一个平面内 交线 垂直 a a l 思考 如果 那么平面 内的直线都和平面 垂直吗 提示 如果 那么平面 内的直线不一定与平面 垂直 知识点拨 对平面与平面垂直的性质定理的两点说明 1 定理的作用该定理也可以视为直线与平面垂直的判定定理 2 定理的意义从平面与平面垂直的性质定理可以看出 由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直 而由平面与平面垂直的判定定理可以看出 由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直 其转化关系可表示为这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法 类型一平面与平面垂直的性质及应用 典型例题 1 2013 运城高一检测 已知直线m n和平面 若 m n 要使n 则应增加的条件是 a m nb n mc n d n 2 如图 在斜三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 bc1 ac 则点c1在平面abc上的射影h必在 a 直线ab上b 直线bc上c 直线ac上d abc的内部 3 如图 已知pa 平面abc 平面pab 平面pbc 求证 bc 平面pab 解题探究 1 应用面面垂直的性质定理需要具备哪些条件 能得到什么结论 2 题2中有哪些线面垂直 由此可以推出哪些面面垂直关系 若 则过平面 内的一点作平面 的垂线 该垂线与平面 有什么关系 3 题3中为了应用 平面pab 平面pbc 应如何作出辅助线 结合条件 pa 平面abc 应如何作辅助线 探究提示 1 应用面面垂直的性质定理需要具备以下条件 1 两个平面垂直 2 在其中一个平面内作交线的垂线 结论 可以得到垂线与另一个平面垂直 2 ac 平面abc1 由此可以推出平面abc 平面abc1 平面aa1c1c 平面abc1 平面ab1c 平面abc1 若 则过平面 内的一点作平面 的垂线 该垂线在平面 内 3 为了应用 平面pab 平面pbc 应在平面pab 或平面pbc 内作直线pb的垂线 结合条件 pa 平面abc 应在平面pab内作直线pb的垂线 解析 1 选b 已知直线m n和平面 若 m n 应增加条件n m 才能使得n 2 选a 因为bc1 ac ab ac bc1 ab b 所以ac 平面abc1 又ac 平面abc 所以平面abc 平面abc1 又平面abc 平面abc1 直线ab 所以过点c1再作c1h 平面abc 则h ab 即点c1在平面abc上的射影h在直线ab上 3 过点a作ae pb 垂足为e 因为平面pab 平面pbc 平面pab 平面pbc pb 所以ae 平面pbc 因为bc 平面pbc 所以ae bc 因为pa 平面abc bc 平面abc 所以pa bc 因为pa ae a 所以bc 平面pab 拓展提升 1 应用面面垂直性质定理应注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时 一般需要作辅助线 过其中一个平面内一点作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后 进一步转化为线线垂直 2 平面与平面垂直的其他性质 1 如果两个平面垂直 那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 2 如果两个平面垂直 那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面 3 如果两个平面垂直 那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内 变式训练 在斜三棱柱abc a1b1c1中 侧面acc1a1 平面abc acb 90 求证 bc aa1 证明 因为 acb 90 所以bc ac 又因为侧面acc1a1 平面abc 侧面acc1a1 平面abc ac 所以bc 侧面acc1a1 又aa1 侧面acc1a1 所以bc aa1 类型二折叠问题 典型例题 1 如图 在平行四边形abcd中 ab 2 ad 4 bd 将 cbd沿bd折起到 ebd的位置 使平面ebd 平面abd 则四面体abde的表面积是 2 2013 济宁高一检测 如图 正方形abcd的边长为4 沿对角线bd将 bcd折起 使二面角c bd a为直二面角 1 求证 ac bc 2 求三棱锥c abd的体积 解题探究 1 四面体abde的四个面是什么图形 如何证明 2 折叠之后有哪些线线垂直关系是不变的 有哪些线段的长度不变 探究提示 1 通过证明ab 平面bde ed 平面abd可知 四面体abde的四个面都是直角三角形 2 折叠之后有oc od oc ob ao ob ao od bc cd ab ad 线段oa ob oc od ab bc cd da的长度不变 解析 1 因为ab 2 ad 4 bd 所以ab2 bd2 ad2 所以ab bd 因为平面ebd 平面abd 所以ab 平面bde 同理可证ed 平面abd 所以ab be ed bd ed ad 所以四面体abde的四个面都是直角三角形 所以s abd 又s bdc s abd 而 ebd即为 bdc 所以s bde 因为be bc ad 4 所以s abe ab be 4 又de dc ab 2 所以s ade ad de 4 故四面体abde的表面积为答案 2 1 因为co bd 平面bcd 平面abd co 平面bcd 平面bcd 平面abd bd 所以co 平面abd 因为正方形abcd边长为4 所以co oa 在rt coa中 所以ac bc 2 vc abd 拓展提升 解决折叠问题的关键和解题步骤 1 关键 解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况 看看哪些元素的位置变了 哪些没有变 2 解题步骤 平面 空间 根据平面图形折出满足条件的空间图形 想象出空间图形 完成平面图形与空间图形在认识上的转化 另外弄清楚变与不变的元素以后 再立足于不变的元素的位置关系 数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系 空间 平面 为解决空间图形问题 要回到平面上来 重点分析元素的变与不变 变式训练 2013 焦作高一检测 已知矩形abcd ab 1 bc 将 abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折 在翻折过程中 a 存在某个位置 使得直线ac与直线bd垂直b 存在某个位置 使得直线ab与直线cd垂直c 存在某个位置 使得直线ad与直线bc垂直d 对任意位置 三对直线 ac与bd ab与cd ad与bc 均不垂直 解题指南 对a c的判断可以采用反证法 即假设两条直线垂直推出线面垂直关系 再推出线线垂直关系与题目条件中线段长度关系矛盾 对于b可以利用面面垂直的性质推导其正确 解析 选b a错误 理由如下 过a作ae bd 垂足为e 若直线ac与直线bd垂直 则可得bd 平面ace 于是bd ce 而由矩形abcd边长的关系可知bd与ce并不垂直 所以直线ac与直线bd不垂直 b正确 理由 翻折到点a在平面bcd内的射影恰好在直线bc上时 平面abc 平面bcd 此时由cd bc可证cd 平面abc 于是有ab cd 故b正确 c错误 理由如下 若直线ad与直线bc垂直 则由bc cd可知bc 平面acd 于是bc ac 但是ab bc 在 abc中 acb不可能是直角 故直线ad与直线bc不垂直 由以上分析显然d错误 类型三平行 垂直关系的综合应用 典型例题 1 2013 攀枝花高一检测 已知直线m n与平面 下列说法正确的是 a m n 且 则m nb m n 且 则m nc m n m且 则n d m n 且 则m n 2 2013 朝阳高一检测 如图 在 abc中 ac bc ab 四边形abed是边长为a的正方形 平面abed 平面abc 若g f分别是ec bd的中点 1 求证 gf 平面abc 2 求证 平面ebc 平面acd 3 求几何体a debc的体积v 解题探究 1 面面垂直的性质定理在应用时要特别注意什么 2 判定线面平行的常用方法有哪些 证明面面垂直的基本方法是什么 求锥体的体积关键是什么 探究提示 1 面面垂直的性质定理在应用时要特别注意在其中一个平面内作交线的垂线 2 判定线面平行的常用方法 1 用线面平行的判定定理 2 用面面平行的性质 证明面面垂直的基本方法是判定定理 即证明一个平面经过另一个平面的垂线 求锥体的体积关键是求锥体的底面积和高 解析 1 选b a 错误 由m 可知m 或m 又n 所以m与n的位置关系不确定 b 正确 因为 设 l 在l上取点o 过o在 内作oa l 则oa 又n 所以oa n 过o在 内作ob l 则ob 又m 所以ob m aob是二面角 l 的平面角 由 知 aob 90 所以m n c 错误 由面面垂直的性质定理可知 因为缺少n 所以无法推出n d 错误 m与n位置关系不确定 2 1 如图 取be的中点h 连接hf gh 因为g f分别是ec和bd的中点 所以hg bc hf de 又因为四边形adeb为正方形 所以de ab 从而hf ab 所以hf 平面abc hg 平面abc 所以平面hgf 平面abc 所以gf 平面abc 2 因为四边形adeb为正方形 所以eb ab 又因为平面abed 平面abc 所以be 平面abc 所以be ac 又因为ca2 cb2 ab2 所以ac bc 所以ac 平面bce 从而平面ebc 平面acd 3 取ab的中点n 连接cn 因为ac bc 所以cn ab 且又平面abed 平面abc 所以cn 平面abed 因为c abed是四棱锥 所以 互动探究 题1选项c改为 m n 且m n 则 是否正确 解析 此说法正确 理由 显然 与 相交 否则m n 设 l 在空间中取点o 过o作oa ob 因为m n 所以oa m ob n 由m n知 aob 90 设平面aob与直线l相交于点c 由l 平面aob知 acb是二面角 l 的平面角 因为四边形oacb是矩形 所以 acb 90 所以 拓展提升 1 垂直关系之间的相互转化 2 平行关系与垂直关系之间的相互转化 变式训练 2012 江苏高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de f为b1c1的中点 求证 1 平面ade 平面bcc1b1 2 直线a1f 平面ade 证明 1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de 又因三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱 所以有bb1 平面adc 即有ad bb1 又在平面bcc1b1内bb1与de必相交 所以ad 平面bcc1b1 又ad 平面ade 所以平面ade 平面bcc1b1 2 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 所以有ab ac 又由 1 知ad 平面bcc1b1 所以ad bc 所以d为边bc上的中点 连接df 得aa1fd为平行四边形 故a1f ad 又ad 平面ade a1f 平面ade 所以直线a1f 平面ade 空间角 距离的计算问题 典型例题 1 如图 矩形abcd中 ab 2 bc 4 将 abd沿对角线bd折起到 a bd的位置 使点a 在平面bcd内的射影点o恰好落在bc边上 则异面直线a b与cd所成角的大小为 2 2013 攀枝花高一检测 如图所示 正方形abcd和矩形adef所在平面相互垂直 g是af的中点 1 求证 ed ac 2 若直线be与平面abcd成45 角 求异面直线ge与ac所成角的余弦值 解析 1 如题图所示 由a o 平面abcd 可得平面a bc 平面abcd 又由dc bc 可得dc 平面a bc 所以dc a b 即得异面直线a b与cd所成角的大小为90 答案 90 2 1 由矩形adef可知ed ad 又因为平面adef 平面abcd 得到ed 平面abcd 从而有ed ac 2 由 1 知 ed 平面abcd 所以 ebd是直线be与平面abcd所成的角 即 ebd 45 设ab a 则de bd a 取de中点m 连接am 因为g是af的中点 所以am ge 所以 mac是异面直线ge与ac所成角或其补角 连接bd交ac于点o 因为o是ac的中点 所以mo ac 所以即异面直线ge与ac所成角的余弦值为 拓展提升 1 与面面垂直有关的计算问题的类型 1 求角的大小 或角的某个三角函数值 如两异面直线所成的角 二面角等 2 求线段的长度或点到直线 平面的距离等 3 求几何体的体积或平面图形的面积 2 空间角 距离的计算问题的解决方法 1 空间角 距离的计算问题一般在三角形中求解 所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直 然后转化为线线垂直 往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题 2 作二面角的平面角常用方法如图所示 过p作po 垂足为o 过o作oa l于a 连接ap 则 pao为二面角 l 的平面角 此法的关键是作垂线po 高考题中利用面面垂直的性质定理作线面垂直是一种常见的命题方式 规范解答 面面垂直性质的应用 典例 条件分析 规范解答 1 如图 因为sd 平面abcd 故bc sd 又bc bd 所以bc 平面bds 所以bc de 2分作bk ec k为垂足 由平面edc 平面sbc 平面edc 平面sbc ec 故bk 平面edc 又de 平面edc 所以bk de 4分又因为bk 平面sbc bc 平面sbc bk bc b 所以de 平面sbc 6分 2 由 1 知de sb 所以在直角三角形sdb中 由等积法知sd db sb de 所以 10分所以se 2eb 12分 失分警示 防范措施 1 转化意识在证明时要善于把已知条件转化 如本例中的面面垂直 则需转化为线面垂直进而得出线线垂直 2 计算能力在解题时要注意条件的应用及计算能力的培养 如本例中 处的计算是证明 2 的关键 类题试解 正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直 ef ac ab ce ef 1 求证 cf 平面bde 证明 设ac bd g 连接fg 因为ef cg ef cg 1 且ce 1 所以四边形cefg