高中数学 阶段复习课 第三讲 柯西不等式与排序不等式课件 新人教A版选修45.ppt

阶段复习课第三讲 答案速填 三维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 乱序和 顺序和 向量形式 三角不等式 类型一利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证题的技巧及注意事项 1 证题技巧 柯西不等式的一般形式为 ai bi r i 1 2 n 形式简洁 美观 对称性强 灵活地运用柯西不等式 可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解 利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数 并向着柯西不等式的形式进行转化 运用时要注意体会 2 注意事项 利用柯西不等式证明时要注意等号是否成立 典例1 已知实数a b c d e满足a b c d e 8 a2 b2 c2 d2 e2 16 试证明 证明 根据柯西不等式可知 4 a2 b2 c2 d2 1 1 1 1 a2 b2 c2 d2 a b c d 2 即4 16 e2 8 e 2 即64 4e2 64 16e e2 所以5e2 16e 0 故 类型二利用排序不等式证明不等式利用排序不等式证明不等式的策略 1 在利用排序不等式证明不等式时 首先考虑构造出两个合适的有序数组 并能根据需要进行恰当地组合 这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择 2 根据排序不等式的特点 与多变量间的大小顺序有关的不等式问题 利用排序不等式解决往往很简捷 典例2 若a1 a2 an 而b1 b2 bn或a1 a2 an 而b1 b2 bn 证明 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时等号成立 证明 不妨设a1 a2 an b1 b2 bn 则由排序原理得 a1b1 a2b2 anbn a1b1 a2b2 anbn a1b1 a2b2 anbn a1b2 a2b3 anb1 a1b1 a2b2 anbn a1b3 a2b4 an 1b1 anb2 a1b1 a2b2 anbn a1bn a2b1 anbn 1 将上述n个式子相加 得 n a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an b1 b2 bn 上式两边除以n2 得 等号当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时成立 类型三利用不等式求最值利用不等式求最值的策略 1 有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定 其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理 在这类题目中 利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易 2 在利用柯西不等式或排序不等式求最值时 要关注等号成立的条件 不能忽略 典例3 设x y z 1 求函数u 2x2 3y2 z2的最小值 解析 根据已知条件和柯西不等式 我们有故而等号成立的条件是 即代入条件x y z 1得此时 故当时 函数u 2x2 3y2 z2的最小值是 类型四利用不等式解决实际问题数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题 将实际问题数学化是解应用题的关键 方法是通过阅读分析题目 建立恰当的数学模型解决 确定考查的要点 应用柯西不等式或排序不等式便可使问题迎刃而解 典例4 等腰直角三角形aob的直角边长为1 如图 在此三角形中任取点p 过p分别引三边的平行线 与各边围成以p为顶点的三个三角形 图中阴影部分 求这三个三角形的面积和的最小值 以及达到最小值时p的位置 解析 分别取oa ob所在的直线为x轴 y轴 建立如图所示的直角坐标系 则ab的方程为x y 1 记p点坐标为p xp yp 则以p为公共顶点的三个三角形的面积和s为 由柯西不等式 得即2s 3 6s 1 所以当且仅当时 等号成立 即时 面积和s最小 且最小值为从而p点坐标为时 这三个三角形的面积和取最小值 跟踪训练 1 设a b c r 且a b c 3 则的最小值为 a 9b 3c d 1 解析 选b 即又因为a b c 3 所以当且仅当a b c 1时 最小值为3 2 设a b c d m n都是正实数 则p与q的大小关系为 解析 由柯西不等式 得答案 p q 3 函数的最大值为 解析 当且仅当即时 函数有最大值答案 4 设a b c为正数 利用排序不等式证明a3 b3 c3 3abc 证明 不妨设a b c 0 所以a2 b2 c2 由排序原理 顺序和 反序和 得 a3 b3 a2b b2a b3 c3 b2c c2b c3 a3 a2c c2a 三式相加得2 a3 b3 c3 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 又a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 所以2 a3 b3 c3 6abc 所以a3 b3 c3 3abc 当且仅当a b c时 等号成立 5 设a b c是正实数 求证 证明 不妨设a b c 0 则lga lgb lgc 据排序不等式有 alga blgb clgc blga clgb algc al