中考数学 第十八讲 勾股定理配套课件 北师大版.ppt

第十八讲勾股定理 1 了解 直角三角形的相关概念 2 理解 直角三角形的有关性质 3 掌握 勾股定理及其逆定理的应用 4 能 利用勾股定理及其逆定理进行有关的计算和证明 一 直角三角形的性质1 直角三角形的两个锐角 2 勾股定理 直角三角形两条直角边的 等于斜边的平方 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 4 直角三角形中30 角所对的直角边等于 5 直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角等于 互余 平方和 一半 斜边的一半 30 即时应用 1 如图所示 rt abc中 c 90 ac2 2 bc2 3 则ab2 2 如图所示 rt abc中 c 90 a 30 若bc 6 则ab 5 12 3 如图所示 rt abc中 acb 90 点d是斜边ab的中点 且ab 16 则cd 4 如图所示 rt abc中 c 90 若bc ab 则 b 8 60 5 如图所示 在5 5的正方形网格中 每个最小正方形的边长都等于1 则线段ab 二 直角三角形的判别1 有一个角是 的三角形是直角三角形 2 有两个角 的三角形是直角三角形 3 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的 那么这个三角形是直角三角形 4 如果三角形一边上的 等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 直角 互余 平方 中线 即时应用 1 如图所示 abc中 ae bd为三角形的两条高 则图中共有 个直角三角形 6 2 abc中 若ac2 bc2 ab2 则 a b 3 如图所示 abc中 ad bd cd 若 a 20 则 b 90 70 核心点拨 1 应用勾股定理计算时 要分清直角边和斜边 题目中没有指出时 应进行分类讨论 2 直角三角形中 若已知一条边和另外两条边的关系 常借助勾股定理列出方程求解 这一方法在解决折叠问题时经常使用 勾股定理 例1 2012 青岛中考 如图 圆柱形玻璃杯 高为12cm 底面周长为18cm 在杯内离杯底4cm的点c处有一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点a处 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 思路点拨 画出侧面展开图 找出a c的位置 作点a的对称点a 构造直角三角形 求出距离 自主解答 将圆柱的侧面展开 如图所示 作点a关于直线de的对称点a 连接a c 则a c就是所求的最短距离 此时在rt a hc中 a h 12 hc 18 9 所以a c 15 答案 15 对点训练 1 2012 广州中考 在rt abc中 c 90 ac 9 bc 12 则点c到ab的距离是 a b c d 解析 选a 根据勾股定理 得设点c到ab的距离为h 根据三角形的面积公式得 故选a 2 2011 贵阳中考 如图 矩形oabc的边oa长为2 边ab长为1 oa在数轴上 以原点o为圆心 对角线ob的长为半径画弧 交正半轴于一点 则这个点表示的实数是 a 2 5 b c d 解析 选d 由勾股定理求出根据同弧的半径相等 因此这个点表示的实数是 3 2012 荆门中考 如图 abc是等边三角形 p是 abc的平分线bd上一点 pe ab于点e 线段bp的垂直平分线交bc于点f 垂足为点q 若bf 2 则pe的长为 a 2 b c d 3 解析 选c bd是 abc的平分线 abd cbd 30 fq bd bf 2 根据勾股定理得bq bp 2bq 在rt bpe中 abd 30 bp pe 4 2011 广安中考 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造 测得两直角边长为6m 8m 现要将其扩建成等腰三角形 且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形 求扩建后的等腰三角形花圃的周长 解析 在rt abc中 ac 8m bc 6m ab 10m 1 当ab ad时 cd 6m abd的周长为32m 2 当ab bd时 cd 4m ad abd的周长是 3 当da db时 设ad x 则cd x 6 则x2 x 6 2 82 abd的周长是答 扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 勾股定理的逆定理 例2 如图 p是等边三角形abc内的一点 连接pa pb pc 以bp为边作 pbq 60 且bq bp 连接cq 1 观察并猜想ap与cq之间的大小关系 并证明你的结论 2 若pa pb pc 3 4 5 连接pq 试判断 pqc的形状 并说明理由 思路点拨 1 等边三角形性质 abp cbq 结论 2 由勾股定理逆定理判别即可 自主解答 1 猜想ap cq abc是等边三角形 ab bc abc 60 pbq 60 abp cbq 又 bp bq abp cbq ap cq 2 可设pa 3x pb 4x pc 5x 由已知可得pb bq pbq 60 pbq是等边三角形 pq pb 4x 在 pcq中 pq 4x cq 3x pc 5x pq2 cq2 pc2 pqc 90 pqc是直角三角形 对点训练 5 2010 湛江中考 下列四组线段中 可以构成直角三角形的是 a 1 2 3 b 2 3 4 c 3 4 5 d 4 5 6 解析 选c 在一个三角形中 如果某两条边的平方和等于第三条边的平方 则这三条线段构成直角三角形 因为选项c满足32 42 52 所以可以构成直角三角形 6 2011 龙东中考 在 abc中 bc ac ab 1 1 则 abc是 a 等腰三角形 b 钝角三角形 c 直角三角形 d 等腰直角三角形 解析 选d 设三角形三边长分别为a a 因a2 a2 故该三角形为等腰直角三角形 7 2011 大庆中考 已知a b c是 abc的三边长 且满足a3 ab2 bc2 b3 a2b ac2 则 abc的形状是 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰三角形或直角三角形 d 等腰直角三角形 解析 选c 由a3 ab2 bc2 b3 a2b ac2变形得a3 a2b ab2 b3 bc2 ac2 0 a2 a b b2 a b c2 a b 0 即 a b a2 b2 c2 0 所以a b 0或a2 b2 c2 0 即a b或a2 b2 c2 故选c 高手支招 如何判定特殊三角形的形状 1 利用角的关系判定三角形的形状 三角形中 若有一个角是直角 或有两个角互余 则此三角形是直角三角形 若三角形中有两个角相等 则此三角形为等腰三角形 若三角形中的三个角都相等 则此三角形为等边三角形 2 利用边的关系判定三角形的形状 若三角形的三边满足 其中两边的平方和等于第三条边的平方 则此三角形是直角三角形 若三角形的两条边相等 则此三角形是等腰三角形 若三角形的三条边都相等 则此三角形为等边三角形 直角三角形的性质 例3 2011 黄石中考 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上 另一个顶点在纸带的另一边沿上 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角 如图 则三角板的最大边的长为 a 3cm b 6cm c d 思路点拨 构造直角三角形 利用含有30 角的直角三角形的性质求出三角板的腰长 再利用勾股定理求出最大边的长度 自主解答 选d 如图所示 过点a作ad cd 根据题意可知 ad 3cm 又因为 acd 30 因此ac 6cm 根据勾股定理得 对点训练 8 2011 贵阳中考 如图 abc中 c 90 ac 3 b 30 点p是bc边上的动点 则ap的长不可能是 a 3 5 b 4 2 c 5 8 d 7 解析 选d 在rt abc中 b 30 ac 3 因此ab 6 所以3 ap 6 则ap的长不可能是7 9 2011 枣庄中考 将一副三角尺如图所示叠放在一起 若ab 14cm 则阴影部分的面积是 cm2 解析 在rt abc中 b 30 ac ab 7 cm 由题意可知bc de afc d 45 又 acf是直角三角形 cf ac 7 cm 阴影部分的面积是答案 创新命题 方程思想在勾股定理中的应用 例 2011 安顺中考 如图 在rt abc中 c 90 bc 6cm ac 8cm 按图中所示方法将 bcd沿bd折叠 使点c落在ab边的c 点 那么 adc 的面积是 解题导引 设出未知数 分别表示出c d和ad 然后在rt adc 中利用勾股定理列方程求解 规范解答 根据勾股定理得ab 10cm 设cd x 则c d x ad 8 x 根据折叠可知bc bc 6 因此ac 4cm 在rt adc 中 根据勾股定理得 8 x 2 42 x2 解得x 3 因此c d 3cm 因此求得 adc 的面积为6cm2 答案 6cm2 名师点评 通过对方程思想在勾股定理中的应用的分析和总结 我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示 2012 河南中考 如图 在rt abc中 acb 90 b 30 bc 3 点d是bc边上一动点 不与点b c重合 过点d作de bc交ab边于点e 将 b沿直线de翻折 点b落在射线bc上的点f处 当 aef