广东高考数学二轮复习专题五解析几何专题强化练十五圆锥曲线中的热点问题理.docx

专题强化练十五 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1若双曲线1(01)的离心率e(1，2)，则实数的取值范围为()A. B(1，2) C(1，4) D.解析：易知c1，a，且e(1，2)，所以12，得1.答案：D2椭圆C：1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足AMB120，则实数m的取值范围是()A(3，) B1，3)C(0，) D(0，1解析：依题意，当0m3时，焦点在x轴上，要在曲线C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.答案：D3.如图所示，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是()A(2，6) B(6，8)C(8，12) D(10，14)解析：抛物线的准线l：x2，焦点F(2，0)由抛物线定义可得|AF|xA2，圆(x2)2y216的圆心为(2，0)，半径为4，所以三角形FAB的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB.由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2.所以xB(2，6)，因此，86xB12.答案：C4(2018山东德州一模)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y216x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(，3)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由双曲线的一条渐近线过点(，3)，可得，双曲线的一个焦点(c，0)在抛物线y216x的准线x4上，可得c4，即有a2b216，由解得a2，b2，则双曲线的方程为1.答案：C二、填空题5(2018山西太原一模)过双曲线1(a0，b0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_解析：由过双曲线1(a0，b0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得2，所以e ，因为e1，所以1e，所以此双曲线离心率的取值范围为(1，)答案：(1，)6(2018济南模拟)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：不妨设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，(y20)则|AC|BD|x2y1y1.又y1y2p24.所以|AC|BD|(y20)设g(x)，g(x)，令g(x)0，得x2，令g(x)0得2x0.所以g(x)在(，2)递减，在(2，0)递增所以当x2，即y22时，|AC|BD|取最小值为3.答案：3三、解答题7已知动圆M恒过点(0，1)，且与直线y1相切(1)求动圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点(1)解：由题意得点M与点(0，1)的距离等于点M与直线y1的距离由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0，1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，所以p2.所以圆心M的轨迹方程为x24y.(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，由得x24kx80，所以x1x24k，x1x28.kAC，直线AC的方程为yy1(xx1)即yy1(xx1)xx，因为x1x28，所以yx2，则直线AC恒过点(0，2)8(2018西安质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线xy10被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且|MA|MB|，求的取值范围解：(1)原点到直线xy10的距离为，由题得b2(b0)，解得b1.又e21，得a2.所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率为0时，|MA|MB|12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：xmy4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组化简得(m24)y28my120.由64m248(m24)0，得m212，所以y1y2.|MA|MB|y1|y2|(m21)|y1y2|12.由m212，得0，所以12.综上可得，12，即.9(2018惠州调研)在平面直角坐标系xOy中，过点C(2，0)的直线与抛物线y24x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由(1)证明：法一当直线AB垂直于x轴时，不妨取y12，y22，所以y1y28(定值)当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为yk(x2)，由得ky24y8k0，所以y1y28.综上可得，y1y28为定值法二设直线AB的方程为myx2.由得y24my80，所以y1y28.因此有y1y28为定值(2)解：存在理由如下：设存在直线l：xa满足条件，则AC的中点E，|AC|，因此以AC为直径的圆的半径r|AC|，点E到直线xa的距离d，所以所截弦长为2 2 ，当1a0，即a1时，弦长为定值2，这时的直线的方程为x1.10(2018河南郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x1相切(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B、C两点，求ABC面积的最大值解：(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，所以动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y24x.(2)设直线l的方程为yxm，其中3m0.联立方程组消去y，得x2(2m4)xm20，(2m4)24m216(1m)恒大于零设C(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x242m，x1x2m2，所以|CB|