高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图课件 新人教A版必修2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修2 空间几何体 第一章 1 2空间几何体的三视图和直观图 第一章 1 2 3空间几何体的直观图 课标展示1 掌握斜二测画法的步骤 2 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 3 通过观察三视图和直观图 了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系 温故知新旧知再现1 给出一个空间图形 如何把它画在平面内 使得它既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 是我们本节课研究的重点 2 初中我们就学会了在平面上画正方体和长方体 它们的六个面只有两个面画成了正方形或长方形 其余各面都画成了平行四边形 这样画出的几何体才有立体感 完成以下练习为学新知打下基础 1 2014 全国高考四川卷 某几何体如右图 下列给出的四个俯视图中正确的是 答案 b 2 一个几何体的三视图如图 则组成该几何体的简单几何体为 a 圆柱和圆锥b 正方体和圆锥c 四棱柱和圆锥d 正方体和球 答案 c 解析 由正视图和侧视图可知 该几何体的上部可能为棱锥或圆锥 下部可能为棱柱和圆柱 结合俯视图为圆和圆心及正方形知 上部是圆锥 下部是四棱柱 3 2010 北京理 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如下图所示 则该几何体的俯视图为 答案 c 解析 由正视图和侧视图知 该长方体上面去掉的小长方体 从正前方看在观察者左侧 从左向右看时在观察者右侧 故俯视图为c 新知导学1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 1 在已知图形中取互相 的x轴和y轴 两轴相交于点o 画直观图时 把它们画成对应的x 轴与y 轴 两轴交于点o 且使 x o y 45 或135 它们确定的平面表示水平面 2 在已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成 于x 轴或y 轴的线段 3 在已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度 平行于y轴的线段 长度变为原来的 垂直 平行 不变 一半 名师点拨 用斜二测画法画直观图 关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法 而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点 因为多边形顶点的位置一旦确定 依次连接这些顶点就可画出多边形 2 画空间几何体的直观图的步骤 1 在几何体中取水平平面 作互相垂直的轴ox oy 再作oz轴 使 xoy 90 xoz 90 2 画出与ox oy oz对应的轴o x o y o z 使 x o y 45 或135 x o z 90 x o y 所确定的平面表示水平平面 3 在几何体中 平行于x轴 y轴或z轴的线段 在直观图中分别画成 于x 轴 y 轴或z 轴的线段 并使它们和所画坐标轴的位置关系 与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 4 在几何体中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持长度 平行于y轴的线段 长度为原来的 5 擦除作为辅助线的坐标轴 就得到了空间几何体的直观图 平行 不变 一半 名师点拨 用斜二测画法画几何体的直观图时 与画水平放置的平面图形的直观图相比 只是多画一个与x轴 y轴都垂直的z轴 并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变 在直观图中 平面x o y 表示水平平面 平面y o z 和z o x 表示直立平面 3 三视图与直观图的异同 自我检测1 在已知图形中平行于x轴的线段ab 6cm 则在直观图中线段a b cm 在已知图形中平行于y轴的线段cd 4cm 则在直观图中线段c d cm 答案 62 2 在空间几何体中 平行于z轴的线段ab 10cm 则在直观图中对应的线段a b cm 答案 10 解析 由于平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变 则a b ab 10cm 3 水平放置的 abc的直观图如图所示 已知a c 3 b c 2 求ab边上的中线的实际长度为多少 分析 建立坐标系xoy后 b e两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上 故需作bg x轴于g eh x轴于h 水平放置的平面图形直观图的画法 典例探究 画法 1 以正五边形的中心为原点o 建立如图 1 所示的直角坐标系xoy 再建立如图 2 所示的坐标系x o y 使 x o y 45 规律总结 画平面图形的直观图的关键点画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置 顶点位置可以分为两类 一类是在轴上或与轴平行的线段上 另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上 遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段 将其转化到与轴平行的线段上来确定 特别提醒 同一个图形选取坐标系的角度不同 得到的直观图可能不同 画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图 解析 1 如图所示 以bc边所在直线为x轴 以bc边上的高线ao所在直线为y轴 再画对应的x 轴与y 轴 两轴相交于点o 使 x o y 45 解析 画法 1 画六棱锥p abcdef的底面 在正六边形abcdef中 取ad所在直线为x轴 对称轴mn所在直线为y轴 两轴相交于o 如图1所示 画相应的x 轴和y 轴 z 轴 三轴交于o 使 x o y 45 x o z 90 如图2所示 画几何体的直观图 2 画六棱锥p abcdef的顶点 在o z 轴上截取o p op 3 成图 连接p a p b p c p d p e p f 并擦去x 轴 y 轴 z 轴 便得到六棱锥p abcdef的直观图p a b c d e f 图3 规律总结 利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则 画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下 长度和角度可适当选取 为了增强立体感 被挡住的部分通常用虚线表示 画法规则可简记为 两轴夹角为45 竖轴垂直仍不变 平行不变 长度变 横竖不变 纵折半 画空间几何体的直观图 要注意选取适当的原点 建系画轴 用斜二测画法画长 宽 高分别是4cm 3cm 2cm的长方体abcd a b c d 的直观图 3 画侧棱 过a b c d各点分别作z轴的平行线 并在这些平行线上分别截取2cm长的线段aa bb cc dd 4 成图 顺次连接a b c d 并加以整理 擦掉辅助线 将被遮挡的线改为虚线 就得到长方体的直观图 如图 由三视图画直观图 分析 先根据该几何体的三视图得到该几何体的上部是一个圆锥 下部是一个圆台 再利用 斜二测画法 画出该几何体的直观图 画法 1 画轴 如图 画x轴 y轴 z轴 使 xoy 45 xoz 90 2 画圆台的两底面 利用斜二测画法 画出底面 o 在z轴上截取oo 使oo 等于三视图中相应的高度 过o 作ox的平行线o x 作oy的平行线o y 利用o x 与o y 画出上底面 o 与画 o一样 3 画圆锥的顶点 在oz上取一点p 使po 等于三视图中相应的高度 4 成图 连接pa pb a a b b 整理得到三视图表示的几何体的直观图 如图 1 利用下图所示的三视图 画出它的直观图 分析 由正视图和俯视图知该几何体为柱体 由侧视图知 该几何体是一横放的三棱柱 解析 该几何体是一个三棱柱 直观图如下图所示 2 下图是一个几何体的直观图 画出它的三视图 解析 三视图如图所示 与直观图有关的计算问题 答案 d 规律总结 1 已知一个平面图形 求其直观图的面积 解决此类问题的关键是利用斜二测画法画出直观图 然后利用面积公式求解 2 已知平面图形的直观图求原图形的面积 解决此类问题时 应根据所给的直观图确定原图形中线与线间的关系 长度 夹角 从而具体研究原图形的面积 由直观图还原为原图是画直观图的逆过程 有两个量发生了变化 一是 x o y 由45 恢复为 xoy 90 二是与o y 平行的线段 在平面xoy中的长度是原来的2倍 答案 d 解析 如图 1 为实际图形 建立如图所示的平面直角坐标系xoy 错解 bac 2 b a c bca b c a 错因分析 错误的原因是对斜二测画法理解不透 在用斜二测画法画直观图时 角的度数一般会发生变化 但这种变化并不是角的度数减小了一半 它的变化与角的两边的位置有关 正解 如图 所示 画出直角坐标系xoy 以点a为原点 在直观图中过c 作c d o y 轴 交a b 于d 在ox轴上截取ab a b ad a d 过d作dc oy轴 使dc 2d c 连接ac bc 则 abc为原三角形 用量角器量出 bac 可以得出 bac 60 所以 bac 2 b a c bca b c a 如图所示的是水平放置的三角形abc在直角坐标系中的直观图 其中d为ac的中点 原abc中 acb 30 则原图形中与线段bd的长相等的线段有 答案 ad dc 解析 先按照斜二测画法把直观图还原为原来的平面图形 然后根据平面图形的几何性质找与线段bd长度相等的线段 把 abc还原为平面图形后为直角三角形 则d为斜边ac的中点 1 下列关于直观图的说法不正确的是 a 原图形中平行于y轴的线段 对应线段平行于直观图中y 轴 长度不变b 原图形中平行于x轴的线段 对应线段平行于直观图中x 轴 长度不变c 画与直角坐标系xoy对应的x o y 时 x o y 可以画成135 d 在画直观图时 由于选轴的不同所画直观图可能不同 答案 a 解析 平行于y轴的线段 直观图中长度变为原来的一半 故a错 2 下列关于用斜二测画法画直观图的说法中 正确的是 a 水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形b 平行四边形的直观图仍是平行四边形c 两条相交直线的直观图可能是平行直线d 两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 答案 b 解析 点评 斜二测画法主要保留了原图的三个性质 保平行 保共点 保平行线段的长度比 3 在用斜二测画法画水平放置的 abc时 若 a的两边平行于x轴 y轴 则在直观图中 a a 45 b 135 c 90 d 45 或135 答案 d 解析 因 a的两边平行于x轴 y轴 故 a 90 在直观图中 按斜二测画法规则知 x o y 45 或135 即 a 45 或135 答案 c 解析 ab x轴 cd y轴 ab a b cd 2c d a b ab 2cd 2 2c d 4c d 5 有一个长为5cm 宽为4cm的矩形 则其直观图的面积为 6 用斜二测画法画一个底面边长为4cm 高为6cm的正六棱柱的直观图 分析 要画正六棱柱的直观图 根据斜二测画法的画法规则 只需建立恰当的坐标系 画出下底面的直观图 再根据正六棱柱的对称性确定上底面的六个顶点 即可根据斜二测画法的画法规