高中数学 2.2.1.1 综合法课件 新人教A版选修22 .ppt

2 2直接证明与间接证明2 2 1综合法和分析法第1课时综合法 综合法 已知条件 定义 公理 定理 推理 论证 已知 条件 定义 公理 定理 所要证明的结论 1 判一判 正确的打 错误的打 1 综合法是执果索因的逆推证法 2 综合法证明的依据是三段论 3 综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件 解析 1 错误 综合法是一种由因导果的顺推证法 2 正确 综合法的逻辑依据是三段论 3 正确 综合法从 已知 看 可知 逐步推出 未知 其逐步推理实际上是寻找它的必要条件 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知函数f x ax2 bx c是偶函数 则b的值为 2 在不等式 a2 b2 2ab 的证明中 因为a2 b2 2ab a b 2 0所以a2 b2 2ab 该证明用的方法是 3 角a b为 abc内角 a b是sina sinb的条件 填 充分 必要 充要 或 既不充分又不必要 解析 1 由于f x 为偶函数 所以f x f x 所以ax2 bx c ax2 bx c 所以 bx bx 所以b 0 答案 0 2 由因导果 易知该证法为综合法 答案 综合法 3 角a b为 abc内角且a b 所以sina sinb 由sina sinb a b均为 abc的内角 知a b 答案 充要 要点探究 知识点综合法1 综合法的基本思路综合法的基本思路是 由因导果 由已知走向求证 即从数学题的已知条件出发 经过逐步的逻辑推理 最后导出待证结论或需求的问题 2 综合法的两个特点 1 用综合法证明不等式 证明步骤严谨 逐层递进 步步为营 条理清晰 形式简洁 宜于表达推理的思维轨迹 2 因用综合法证明命题 若a则d 的思考过程可表示为 故要从a推理到d 由a推演出的中间结论未必唯一 如b b1 b2等 可由b b1 b2进一步推演出的中间结论则可能更多 如c c1 c2 c3 c4等等 所以如何找到 切入点 和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的 瓶颈 知识拓展 综合法证明不等式时常用的不等式 1 a2 b2 2ab 当且仅当a b时取等号 2 a b r 当且仅当a b时取等号 3 a2 0 a 0 a b 2 0 4 2 a b同号 2 a b异号 5 a b r a2 b2 a b 2 6 不等式的性质定理1对称性 a b bc 定理3加法性质 a c b c 推论 a c b d 定理4乘法性质 ac bc 推论1 ac bd 推论2 an bn 定理5开方性质 微思考 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理 提示 综合法的推理过程是演绎推理 它的每一步推理都是严密的逻辑推理 得到的结论是正确的 即时练 1 2014 福州高二检测 下面的四个不等式 a2 b2 3 ab a b a 1 a 2 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 其中恒成立的有 2 求证 a2 b2 c2 ab ac bc 解析 1 因为a2 b2 2ab a2 3 2a b2 3 2b 相加得2 a2 b2 3 2ab 2 a b 所以a2 b2 3 ab a b 所以 正确 由于a 1 a a2 a 0 所以 正确 a2 b2 c2 d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 ac bd 2 所以 正确 而 2 因为a b的符号不确定 所以不一定成立 答案 2 因为a2 b2 2ab a2 c2 2ac b2 c2 2bc 将此三式相加可得2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 所以a2 b2 c2 ab ac bc 所以原式成立 题型示范 类型一用综合法证明三角问题 典例1 1 2014 马鞍山高二检测 在 abc中 已知cosacosb sinasinb 则 abc的形状一定是 2 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 求证 a的大小为60 若sinb sinc 证明 abc为等边三角形 解题探究 1 题 1 中 abc的形状可从哪些角度判断 2 题 2 中 a的大小怎样与已知条件联系起来 中怎样说明 abc为等边三角形 探究提示 1 可以从边的角度或角的角度判断 abc的形状 结合已知条件应从角的角度判断 2 中可利用正弦定理将角与边互化然后利用余弦定理求a 中由sinb sinc 及隐含条件a 60 可求b c 说明 abc的形状 自主解答 1 因为cosacosb sinasinb 所以cosacosb sinasinb cos a b 0 因为0 a b 所以0 a b 又c a b 所以c 即 abc为钝角三角形 答案 钝角三角形 2 由2asina 2b c sinb 2c b sinc 得2a2 2b c b 2c b c 即bc b2 c2 a2 所以cosa 所以a 60 由a b c 180 得b c 120 由sinb sinc 得sinb sin 120 b sinb sin120 cosb cos120 sinb sinb cosb 即sin b 30 1 因为0 b 120 所以30 b 30 150 所以b 30 90 即b 60 所以a b c 60 即 abc为等边三角形 方法技巧 1 综合法处理问题的三个步骤 2 证明三角等式的主要依据 1 三角函数的定义 诱导公式及同角基本关系式 2 和 差 倍角的三角函数公式 3 三角形中的三角函数及三角形内角和定理 4 正弦定理 余弦定理和三角形的面积公式 变式训练 已知a b c为 abc的三边 x r 求证 方程a2x2 b2 a2 c2 x c2 0没有实数根 证明 已知a b c为 abc的三边 x r 和方程a2x2 b2 a2 c2 x c2 0 根据根的判别式可知 b2 a2 c2 2 4a2c2 b2 a2 c2 2ac b2 a2 c2 2ac b a c b a c b a c b a c 又因为a b c是 abc的三边 故b a c 0 b a c 0 b a c0 所以 b a c b a c b a c b a c 0 故方程a2x2 b2 a2 c2 x c2 0没有实数根 补偿训练 求证 sin3 3sin 4sin3 解析 左边 sin 2 sin2 cos cos2 sin 2sin cos2 1 2sin2 sin 2sin 1 sin2 sin 2sin3 2sin 2sin3 sin 2sin3 3sin 4sin3 右边 所以sin3 3sin 4sin3 类型二综合法在数列中的应用 典例2 1 2014 温州高二检测 已知方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0的四个根组成一个首项为的等比数列 则 m n 2 设数列 an 的前n项和为sn 满足 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 且m 3 m 0 求证 an 是等比数列 若数列 an 的公比q f m 数列 bn 满足b1 a1 bn f bn 1 n n n 2 求证 为等差数列 解题探究 1 题 1 中m n的值怎样求解 2 题 2 中证明等比数列的关键是什么 中怎样说明为 等差数列 探究提示 1 利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求m n 2 中关键是利用an 1与sn和sn 1之间的关系结合等比数列的定义 中利用定义说明 即常数 n 2 自主解答 1 方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0 x2 mx 2 0 或x2 nx 2 0 设方程 两根为x1 x4 方程 两根为x2 x3 则x1 x4 2 x1 x4 m x2 x3 2 x2 x3 n 因为方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0的四个根组成一个首项为的等比数列 所以x1 x2 x3 x4分别为此数列的前四项且x1 x4 4 公比为2 所以x2 1 x3 2 所以m x1 x4 4 n x2 x3 1 2 3 故 m n 答案 2 由 3 m sn 2man m 3 得 3 m sn 1 2man 1 m 3 两式相减得 3 m an 1 2man 因为m 0且m 3 所以所以 an 是等比数列 因为b1 a1 1 q f m 所以n n 且n 2时 所以 是以1为首项 为公差的等差数列 延伸探究 题 2 中若m 1试求 an 的前n项和 解析 若m 1则由已知得 3 1 s1 2a1 4 所以a1 1 即数列 an 是以1为首项为公比的等比数列 2 21 n 方法技巧 综合法证明数列问题的依据 变式训练 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 求证数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 解题指南 用综合法证明有关数列的问题 同时要注意理解等差数列的含义 解析 1 因为an 1 2an 2n 所以因为bn 所以bn 1 bn 1 所以数列 bn 是等差数列 其中b1 1 公差为1 所以bn n an n 2n 1 2 因为sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 1 所以2sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n 两式相减得sn n 2n 1 20 1 21 1 2n 1 n 2n 2n 1 2n n 1 1 补偿训练 在等比数列 an 中 首项a1 1 公比q 0 n n 且n 1 求证lgan 1lgan 1 lgan 2 证明 因为 an 为等比数列 所以 an 1 an 1 n 1 又因为a1 1 公比q 0 n n 且n 1 所以lgan 1lgan 1 所以lgan 1lgan 1 lgan 2 规范解答 综合法在几何证明中的应用 典例 12分 如图 在四棱锥o abcd中 底面abcd为菱形 oa 平面abcd e为oa的中点 f为bc的中点 求证 1 平面bdo 平面aco 2 ef 平面ocd 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 证明时忽略 处条件的运用导致无法证明面面垂直 考试时最多得2分 失分点2 证明时不能正确地构造出平行四边形 从而无法得到线线平行如本题中 则会导致第 2 问无法证出 实际考试中最多得8分 悟题 提措施 导方向1 关注题中的条件证明时要注意应用题中的条件 注意隐含条件的挖掘 如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明 如本例中abcd为菱形的条件 2 注重定理的应用几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理 注意各个定理的应用格式 掌握常见的辅助线的作法 寻找好定理所需的条件 如本例中构造平行四边形说明线线平行 类题试解 如图 正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直 ce ac ef ac ab ce ef 1 1 求证 af 平面bde 2 求证 cf 平面bde 证明 1 设ac与bd的交