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复旦大学博士后出站报告 关于非初等小伸缩商拟共形群离散性的若干问题 摘要 自从1 8 5 5 年，m s b i u s 首先引入了平面m s b i u s 变换的概念至今，m 6 b i u s 变换群 理论的发展已经有一百多年的历史，在复解析动力系统、t e i c h m i i u e r 空间和s o b o l e v 空间、偏微分方程、微分几何与拓扑、物理和工程技术等领域都有m s b i u s 变换群 理论的重要应用。因为一百多年来许许多多数学工作者孜孜不倦的工作，无论是 平面，还是高维，乃至r i e m a n n 流形上的m b b i u s 变换群理论，都一直在蓬勃发展， 并不断取得新的重要进展。有关m s b i u s 变换群的离散准则、代数和几何收敛定理 及其几何与拓扑性质的研究，一直是研究的热点本文的研究也与这些热点研究 问题有密切关系，我们将在蠢n 和p i n c h e dh a d a m a r d 流形上研究和推广有关m s b i u s 变换群的一些经典结果 我们知道，拟共形群是介于m s b i u s 群和收敛群之间的，粗略地说，小伸缩商 拟共形群接近于m s b i u s 群，而大伸缩商拟共形群接近于收敛群。在文献 2 4 】中， b o n f e r t t a y l o r 和m a r t i n 认为去研究一些有关m s b i u s 群的经典结果对拟共形群是否 成立是令人感兴趣的本文在对m s b i u s 变换群离散性进行研究的基础上，进一步 研究了非初等小伸缩商拟共形群的离散性 胛上m 6 b i u s 变换群的b e a r d o n 非初等子群g 有一个非常重要的经典结果： g 中存在无穷多个斜驶元素，且他们两两没有公共不动点这一经典结果在离散准 则、代数收敛定理等相关问题的研究中起着很重要的作用但是，对本文研究的非 初等群，这一经典结果不再成立，这是本文遇到的主要困难之一，我们通过对群的 不动点、极限集及其元素的深入研究，克服了这些困难 我们尝试在三个方面进行探讨，共分如下三章 在第一章中，我们研究了单位球伊上小伸缩商拟共形群的离散性质我们不 再仅仅考虑无绕情形，而是对单位球伊上小伸缩商拟共形群的椭圆元进行了细致 研究，从而在适当条件下，建立了j c r g e n s e n 型不等式，进而得到了离散准则并且 给出了代数收敛定理 在第二章中，我们研究了p i n c h e dh a d a m a r d 流形上等距群i s o m ( x ) 的非初等子 群首先，我们建立了非初等群的离散准则。其次，我们对i s o m ( x ) 的等距子群中 斜驶元及其不动点进行了细致研究，注意到任意一个斜驶元存在一个仅仅含有斜 驶元的邻域，从而证明了p i n c h e dh a d a m a r d 流形上等距群l s o m ( x ) 的非初等子群的 中文摘要 代数收敛定理，而且，我们不需要任何附加条件，大大改进了m a r t i n 的相关结论。 最后，我们对l s o m ( x ) 的一般等距群，建立了离散准则。 在第三章中，我们研究如上一类特殊非初等群。首先，我们对非初等群性质 进行了研究其次，我们对这种非初等群的不动点、极限集及其元素进行详细研 究，建立了这种非初等群的离散准则和代数收敛定理。 关键词：小伸缩商拟共形群，m s b i u s 群，非初等群，h a d a m a r d 流形，极限集 i i 复旦大学博士后出站报告 s o m ep r o b l e m so nt h ed i s c r _ e t e n e s so f n o n e l e m e n t a r yq u a s i c o n f o r m a lg r o u p s 、7 l t hs m a l l d i la t a t i o n s m s b i u sg r o u pt h e o r yh a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nc o m p l e xa n a l y t i c d y n a m i c s ，t e i c h m i i l l e rs p a c e sa n ds o b o - l e vs p a c e s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， g e o m e t r ya n dt o p o l o g y , p h y s i c sa n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ys i n c ei tw a sf o u n d e d i n 1 8 8 5 ，r e s p e c t i v e l y , t h e yh a v eb e e no n eo ft h em o s tf l o u r i s hb r a n c ho fc o m p l e xa n a l y s i s t h et h e o r yo fm s b i n sg r o u p sn o to n l yi np l a n e ，b u ta l s oi nh i g h e r d i m e n s i o n ，e v e ni nr i e m a n n i a nm a n i f o l d sa r ed e v e l o p i n gq u i c k l y ag r e a td e a l 0 fa d v a n c e sh a v eb e e no b t a i n e d ，f o re x a m p l e ，i n1 9 7 6 ，j c r g e n s e no b t a i n e ds e v e r a lf a m o u sd i s c r e t ec r i t e r i aa n d a l g e b r a i cl i m i tt h e o r e m sf o rs u b g r o u p so fm ( 帮) j g i l m a n ，r o s e n b e r g e ra n di s a c h e n k os t r e n g t h e n e dj c r g e n s e n sr e s u l t s a b i k o f f , h a a s ，m a r t i n ，w a t e r m a na n dm a r t i ng e n e r a l i z e dt h e s ec l a s s i cr e s u l t s t 0s u b g r o u p s o fm ( j p ) 2 ) a n dp i n c h e dh a d a m a r dm a n i f o l d s i n2 0 0 0 ，f a n ga n dn a ii n - t r o d u e e dc o n d i t i o nat ow e a k e nt h ec o n d i t i o no fu n i f o r m l yb o u n d e dt o r s i o na n d o b t a i n e df u r t h e rt h e s ed i s c r e t ec r i t e r i aa n da l g e b r a i cl i m i tt h e o r e m sf o rs u b g r o u p s o fn - d i m e n s i o n a lm s b i n st r a n s f o r m a t i o n g r o u pm ( f p ) u n d e r c o n d i t i o na i n2 0 0 0 ， b a r i b e a na n dr a n s r i b e a uo b t a i n e ds e v e r a lt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sf o rs e t so fs u b - g r o u p so fm ( 舒) a n dt h e s et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sh a v ec l o s er e l a t i o n sw i t ht h e a b o v ed i s c r e t ec r i t e r i aa n da l g e b r a i cl i m i tt h e o r e m s s ow ec a ns e et h a tt h e r eh a s b e e ns t r o n ga c t i v i t yi nt h ea r e ao fm o b i u st r a n s f o r m a t i o n si ns e v e r a ld i m e n s i o n i nr e c e n t y e a r s i n t h i st h e s i s ，w em a i n l y s t u d y t h e p r o b l e m s o nt h en o n e l e m e m t a r y s u b g r o u p sa n dd i s c r e t e n e s sf o rs u b g r o u p so fm s b i u st r a n s f o r m a t i o ng r o u pm ( r ，i ) a n dw ea l s og e n e r a l i z es e v e r a lc l a s s i cr e s u l t so fm s b i u st r a n s f o r m a t i o ns u b g r o u p s t op i n c h e dh a d a m a r dm a n i f o l 凼 q u a s i c o n f o r m a lg r o u p sl i eb e t w e e nm s b i u st r a n s f o r m a t i o ng r o u p sa n d c o n v e r - i i i a b s t r a g t g e n c eg r o u p s r o u g h l yo n em i g h ts a yt h a tf o rs m a l ld i l a t a t i o nt h e ya r ec l o s e rt o m 6 b i u st r a n s f o r m a t i o ng r o u p s ，w h i l ef o rl a r g ed i l a t a t i o nt h e ya r ec l o s e rt oc o n - v e r g e n c eg r o u p s i ti st h e r e f o r eo fi n t e r e s tt od e c i d et ow h a te x t e n tg e o m e t r i c c o n s t r a i n t s ，w h i c hh o l df o rm s b i u st r a n s f o r m a t i o ng r o u p sa n df a i lf o rc o n v e r g e n c e g r o u p s ，h o l df o rq u a s i c o n f o r m a lg r o u p s w ek n o wt h a te v e r yn o n e l e m e n t a r ys u b g r o u po fm ( m ) c o n t a i n si n f i n i t e l y m a n yl o x o d r o m i ce l e m e n t s ，n ot w oo fw h i c hh a v eac o m m o nf i x e dp o i n ta n dt h i s p r o p e r t yo fn o n e l e m e n t a r ys u b g r o u pi sv e r yi m p o r t a n tf o rt h es t u d yo fd i s c r e t e c r i t e r i aa n d a l g e b r a i cl i m i tt h e o r e m sf o rs u b g r o u p so fm ( 萨) h o w e v e r ，t h i s c l a s s i c r e s u l ti sn o tt r u ef o rt h en o n e l e m e n t a r y s u b g r o u p sw h i c h w ed i s c u s si nt h i st h e s i s a n di ti sad i f f i c u l tp r o b l e mt h a tw eh a v et of a c e t h u so u rm e t h o d so fp r o o f so f t h i st h e s i sa r ed i f f e r e n tf r o mt h o s eo fm a r t i n ，f a n ga n dn a i i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h ed i s c r e t e n e s so fn o n e l e m e n t a r yq u a s i c o n f o r m a l g r o u p sw i t hs m a l ld i l a t a t i o n s w eo b t a i ns e v e r a lj c r g e n s e nt y p ei n e q u a l i t i e s ，d i s - c r e t ec r i t e r i aa n da l g e b r a i cl i m i tt h e o r e m s i nc h a p t e r 2 ，w e f i r s ts t u d yt h e p r o p e r t i e so f n o n e l e m e n t a r yg r o u p so f l s o m ( x ) w e g i v es e v e r a lr e s u l t sa b o u tl i m i ts e t sa n do b t a i ns e v e r a lp r o p e r t i e so fm a r t i n n o n e l e m e n t a r yg r o u pa n d n e x t ，w eo b t a i ns e v e r a ld i s c r e t ec r i t e r i aa n da l g e b r a i c l i m i tt h e o r e m sf o rm a r t i nn o n e l e m e n t a r y s u b g r o u p s o f i s o m ( x ) t h i r d l y ，w es t u d y t h ed i s c r e t ec r i t e r i af o ra n ys u b g r o u po fi s o m ( x ) w eo b t a i nt h ed i s c r e t ec r i t e r i o n f o rt h eg e n e r a ln o n e l e m e n t a r yg r o u po fi s o m ( x ) u n d e rac o n d i t i o n i nc h a p t e r3 w es t u d yas p e c i a ln o n e l e m e n t a r ys u b g r o u po f 彤a l t h o u 【g h t h e r ea r em a n yt y p e so fn o n e l e m e n t a r ys u b g r o u p s ，t h e s et y p e so fn o n e l e m e n t a r y s u b g r o u p sa r ea l le q u i v a l e n tu n d e rt h ed i s c r e t ec o n d i t i o n h o w e v e rt h i ss p e c i a l n o n e l e m e n t a r ys u b g r o u po fr “i sao n l ye x c e p t i o n i no u rs t u d y , w en o t et h a t t h ef i x e dp o i n t so fm 6 b i u st r a n s f o r m a t i o n so fm ( j p ) a r em o r ec o m p l e xt h a nt h e p l a n e rc a s e t h u sw e f i s ts t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h em s b i u st r a n s f o r m a t i o n so f m ( 彤) a n d i t sf i x e dp o i n t sc a r e f u l l y t h e nw eg i v es e v e r a li m p o r t a n tp r o p e r t i e so f t h i ss p e c i a ln o n e l e m e n t a r ys u b g r o u po f 舒w ea l s oe s t a b l i s ht h ed i s c r e t ec r i t e r i a i v 复旦大学博士后出站报告 a n da l g e b r a i cl i m i tt h e o r e m sf o rt h i ss p e c i a ln o n e l e m e n t a r ys u b g r o u po f 矗“ k e y w o r d s lq u a s i c o n f o r m a l g r o u p sw i t hs m a l ld i l a t a t i o n ，m 5 b i u sg r o u p s ， n o n e l e m e n t a r yg r o u p s ，p i n c h e dh a d a m a r dm a n i f o l d s ，l i m i ts e t s v 复旦大学博士后出站报告 符号说明 n 维e u c l i d 空间 r ，u 。) r “中的单位球体 r “中的单位球面 m 维m 6 b i u s 群 c l i f f o r d 代数 a 。的中心 c l i f f o r d 群 c l i f f o r d 矩阵群 n + 1 维双曲空间 m 维双曲空间的边界，即励 一维复双曲空间 n 一维复双曲空间上的酉变换群 n 。阶一般线性群 复数域g 上的范数代数 p i n c h e dh a d a m a r d 流形 p i n c h e dh a d a m a r d 流形x 的曲率 p i n c h e dh a d a m a r d 流形x 的边界点 x c = x u x i 【，翻= ，g 厂1 9 1 ( ，g ) = ，9 ，9 - 1 ，和g 生成的群 元素g 的不动点 群g 的不动点集 ，的阶 ，的范数 矩阵a 的范数 群g 的极限集 极限集l ( c ) 的元素个数 ， 。 一q ，o， 瞰黔矽眇凡一删一磁啡聍x弛鼍删嘶删艄圳鹚删 第零章绪论 o 1 研究背景和意义 m s b i u s 交换群理论已经有一百多年的历史，早在1 8 5 5 年，m s b i u s s 。l 首先引入 了平面m s b i u s 变换的概念，到1 8 6 8 年，b e l t r a m i 引入了上半空间模型的概念，进 而，高维m s b i u s 变换也被引进和研究，1 8 7 2 和1 8 7 3 年，k l e i n 证明了n 维空间的 m s b i u s 变换群与n + 1 维双曲空间的等距变换群同构，1 8 8 1 年，p o i n c a r 6 得到；复 平面上的m s b i u s 群的可以被扩张到三维非欧几何模型的上半空间上，而且，一般 高维m g b i u s 变换群m ( f 1 n ) 也可扩张到n + 1 维双盐空间上，因此我们可以把m ( 静) 作为双曲空间日”，的一个等距映射子群来研究。 离散m s b i u s 群的研究与r i e m a n n 曲面和流形的理论有紧密联系( 参看文献f 1 ， 1 0 ，1 4 ，5 7 ，8 8 ，1 0 3 ，1 1 1 ，1 1 5 ) ，1 9 6 0 年，a h l f o r s 和b e r s 1 证明在每一个2 维r i e m a n n 流形中可以导入一个最标准的复结构，成为一个r i e m a n n 曲面。而且，由r i e m a n n 面的单值化定理 t o l ，我们知道除去几种个别情况之外，所有的r i e m a n n 曲面都共 形等价于9 r 形式的曲面，其中r 是一个保持圆盘d 不变的无挠离散m s b i u s 群， 如果r 是离散群，那么日。r 是个轨形( o r b i f o l d ) 。这些理论在复动力系统中有重要 的应用价值，此后离散m s b i u s 群的研究得到了很大的发展，得到许多重要结果( 参 看文献 4 ，1 4 ，1 8 ，2 5 ，5 2 ，5 3 ，5 7 ，6 1 ，6 7 ，6 9 ，8 8 ，1 0 3 1 ) p o i n c a r 扩张的发现、f u c h s 群 和自同构函数的进展提供了通向高维的阶梯，加之a h l f o r s 的一系列文章以及有关 双曲流形的研究进展 3 ，5 ，6 ，1 1 1 ，使得高维m s b i u s 群的研究非常活跃著名数学 家丘成桐、孙理察 n s 】将r i e m a n n 曲面上的保角结构推广到高维r i e m a n n 流形上的 局部保角平坦结构，找到一类局部保角平坦流形m ，使其嵌入球面s n ，类似于 r i e m a n n 曲面，有高维k l e i n 群r ，同构于m 的基本群”( m ) ，并使m 型a r ，其 中n 是k l e i n 群f 的不连续域。因此对高维离散群的研究引起了很多数学家的兴趣 ( 参看文献2 ，8 ，9 ，4 6 ，5 7 ，8 4 ，9 7 ，1 0 3 ，1 1 1 ，1 1 3 ，1 1 5 】) 。 我们称一个完备的，单连通的且其截面曲率为非正的r i e m a n n 流形为h a d a m a r d 流形，如果一个h a d a m a r d 流形满足p i n c h e d 负截面曲率，即所有截面曲率k 满足t 0 2 2 ) ，情形要远比平面复杂，m a r t i n 8 4 1 证明了，增加一致有界绕条件后，上叙结果也成立。 由此可见，有关m s b i u s 变换群的离散准则，以及群列和其代数极限之间的关 系问题的研究仍然是一个热点研究工作 我们注意到，拟共形群是介于m 6 b i u s 群和收敛群之间的，粗略地说，小伸缩商 拟共形群接近于m s b i u s 群，而大伸缩商拟共形群接近于收敛群在文献 2 4 】中， b o n f e r t t a y l o r 和m a r t i n 认为去研究一些有关m 6 b i u s 群的经典结果对拟共形群是否 成立是令人感兴趣的。本文在对m s b i u s 变换群离散性进行研究的基础上，进一步 研究了非初等小伸缩商拟共形群的离散性我们的问题是： 1 。对单位球口n 上小伸缩商拟共形群是否可以建立离散准则、得到代数收敛 定理及其他相关结论? 近二十年来，许多数学工作者都在研究与j c r g e n s e n 不等式相关或更一般的离 散群不等式，并且取得了相当好的研究成果。 在平面情形( 可参看文献 1 7 12 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ，1 0 0 ，l o c i ) ，许多数学工作 者得到了有关离散群的重要不等式，特别是g e h r i n g 和m a r t i n ，他们研究了更为广 泛的关于二维m s b i u s 变换的迹，弦范数，矩阵范数的不等式，并且应用这些不等 2 第零章：绪论 式，对三维完备双曲流形进行研究，在求双曲流形体积的最小下界方面得到了目 前最好的结果。 有关一般高维m s b i u s 群以及双曲空间，复双曲空间，h a d a m a r d 流形上的等距群 的离散群不等式的研究，可参看文献 3 1 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，6 2 ，7 2 ，7 4 ，7 5 ，8 4 ，8 5 ，8 6 ，9 4 ，9 6 ，1 0 8 】。 由于在一般高维m s b i u s 群情形以及双曲空间，复双曲空间，h a d a m a r d 流形的情形 远比平面情形复杂，要取得很好的研究成果非常困难，至今，在较强的限制条件 下，才能推广j o r g e n s e n 不等式。h e r o n s k y 6 2 1 对高维m s b i u s 群m ( 加) 的双瞌元得 到了j 0 r g e n s e n 不等式，m a r t i n s 4 1 得到了范数形式的j 0 r g e n s e n 不等式，方爱农等人 【3 9 】和w a t e r m a n 1 0 s 得到了一些非常重要的关于c l i f f o r d 矩阵形式的j c r g e n s e n 不等 式，k a m i y a z 2 和p a r k e r 【“1 将范数形式的j o r g e n s e n 不等式推广到复双曲空间上， m a r t i n s s 得到了p i n c h e dh a d a m a r d 流形上的范数形式的j 0 r g e n s e n 不等式。 所有这些工作也进一步说明了对离散群不等式的研究是很有意义的，正如g i l m a n ” 所说，对高维非初等m s b i u s 群建立j o r g e n s e n 型不等式是十分重要且很有意义的工 作我们的问题是： 2 。对单位球b n 上小伸缩商拟共形群是否可以建立j 口r g e n s e n 型不等式? 我们记x 是p i n c h e dh a d a m a r d 流形，d ( ，) 为其上的r i e m a n n 度量，x 的所有 等距映射构成的等距群表示为i s o m ( x ) 我们知道，非初等群是一个非常基本的概 念，在复变函数理论、离散群几何、m s b i u s 群理论，黎曼流形等数学领域有很重要 的作用，许多数学工作者都对非初等群进行了研究。然而，由于对高维m s b i u s 变换 群以及更广泛的p i n c h e dh a d a m a r d 流形上的等距群来说，不动点的情况同平面情形 相比要复杂的多，于是，对非初等群这个最基本的概念，数学工作者们分别在e 、 办和h a d a m a r d 流形x 上给出了不同的定义( 参看文献【1 4 ，1 9 ，3 9 ，4 6 ，4 8 ，8 4 ，8 5 ，1 1 7 ) ， 而且，这些定义显然不等价。蒋月评 6 6 1 最早发现这一现象，对办上m s b i u s 群的 各种定义的非初等群之间的关系进行了研究本文进一步研究更广泛的h a d a m a r d 流形x 上的各种类型非初等群，我们的问题就是： 3 。p i n c h e d h a d n m a r d 流形上等距群i s o m ( x ) 的各种类型非初等子群之间的关系 如何? 能否对各种类型非初等群建立离散准则? 如何建立m s b i u s 变换群的离散准则是一个非常重要的基本问题j o r g e n s e n ”】 得到了一个关于二维m s b i u s 群的经典离散性判别准则：m ( f t 2 ) 的菲初等子群g 离 散的充分必要条件是g 的任两个元素生成的子群是离散的；j g i l m a z l 5 2 1 在s l ( 2 ，r ) 中加强了j o r g e n s e n 离散准则；r o s e n b e r g e r ”1 和l a c h e n k o 6 4 1 分别将g i l m a n 的定理扩 3 复旦大学博士后出站报告 展到s l ( 2 ，c ) ：s l ( 2 ，c ) 的非初等子群g 是离散的充分必要条件是g 的任两个斜 驶元素生成的子群是离散的。对高维情形，a b i k o f f 和h a a s 。】在双曲空间的维数大 于3 时构造了i s o m ( h n ) 的一个非初等非离散子群r ，使得r 的每一个有限生成的子 群都是离散的因此在研究高维离散判别准则时，对g 的元素附加某些条件是必 要的。1 9 8 9 年和1 9 9 3 年，m a r t i n 8 4 l 和w a t e r m a n ”8 1 分别在g 是m ( b n ) 和m ( r n ) 的 有限生成非初等子群时，将j 0 r g e n s e n 离散准则推广到了高维m s b i u s 群情形；1 9 9 3 年，m a r t i n i s 4 在一致有界挠的条件下进一步将j c r g e n s e n 离散准则推广到了p i n c h e d h a d a m a r d 流形上；目前最新的结果是方爱农教授和乃兵在研究高维m s b i u s 群的这 个问题以及群列的收敛性问题时引入了条件a ，使其减弱了一致有界挠的限制( 参 见文献 4 1 1 ) ，将j 0 r g e n s e n 离散准贝0 推广到了高维m s b i u s 群情形。 我舸将尝试研究更加广泛的情形，注意到上叙研究都是限制在对非初等群进 行研究，于是我们自然要问 4 。能否对p i n c h e d h a d a m a r d 流形上等距群的任意子群r 或者说更广泛的非初等 群) 建立离散准则? 在数学工作者定义的各种类型的非初等群中，有一种特殊类型的非初等群群弓 起了我们的特别注意，即是周青f n q 引进的如下非初等群的定义 定义0 2 1 设g 是m ( a n ) 的子群时，如果g 在宜n + 1 中有一个不动占、，我们 称g 是初等的；否则，g 是非初等的。 这是一个关于非初等群的重要定义，周、王【“t ，t t r 和蒋月评 8 6 1 在离散情形研 究了这种非初等群，得到了一些关于这种非初等群的重要结果但是我们发现， 这是一种非常特别的非初等群，因为我们知道尽管初等群有很多种类的定义，但 是即使对p i n c h e dh a d a m a r d 流形上等距群来说，在离散条件下，各种定义都是等价 的，而唯一例外的就是上叙非初等群，即使在离散条件下，它与我们通常定义的非 初等群都是不等价的。于是，我们问 5 。定义0 2 1 意义下的非初等群与一般的非初等群有什么本质区别，能否对这 种特殊非初等群建立j o r g e n s e n 型不等式、离散准则、代数收敛定理? 本文将主要研究上述五个问题。 4 第零章：绪论 o 3主要结果 本文主要研究与非初等m 6 b i u s 群及其离散性相关的若干问题，我们对r 7 。上的 m 6 b i u s 变换群，对单位球矿上小伸缩商拟共形群以及p i n c h e dh a d a m a r d 流形上等 距群i s o m ( x ) 都进行了研究。 第1 章研究了上一节所提到的问题1 。和2 。，在该章中，先给出了关于单位球 驴上小伸缩商拟共形群的j o r g e n s e n 型不等式： 定理0 3 1 设，g 生成一个毋上的离散非初等k 拟共形群并且存在常数 k o ( n ) 1 ( 凰( n ) 仅与n 有关) 使得k 凰( n ) ，如果c a r d ( f i x ( f ) ) 茎n ( o r d ( f ) ) 且9 是非椭圆元，那么，存在一个仅依赖于n 的常数南= 碧赫便褥； m a x d ( ，f ) ，d ( g f g 一1 ，j ) ，d ( 9 2 f g - 2 ，) ，d ( g “，9 一“，i ) ) 巩 推论0 3 2 假设 9 生成一个毋上的离散非初等k 拟共形群并且存在常数 ( 1 ( ( n ) 仅与n 有关) 使得ks 硒( n ) ，如果c a r d ( f i x ( f ) ) 曼2 ( ”d ( ，) 2 ) 且 g 是非椭圆元，那么，存在一个仅依赖于n 的常数南= 曩需篙使得： m a x d ( f ，j ) ，d ( g f g ，) ，d ( 9 2 乃- 2j ) 三南 应用上面j o r g e n s e r - 型不等式，给出了关于单位球b “上小伸缩商拟共形群的离 散准则： 定理0 3 3 设g 为痧上k 。拟共彤同胚映射构成的群并且存在常数g o ( n ) 1 ( k o ( ，t ) 仅与n 有关) 使得ksk o ( n ) ，如果g 是满足条件a 的非初等群，那么， g 是离散群的充分必要条件是g 的任意二个元生成的子群是离散的 推论0 3 4 设g 为口；上k 拟共形同胚映射构成的非初等群并且存在常数 k o ( t t ) ) 1 ( 硒( n ) 仅与n 有关) 使得ksk o ( n ) ，那么，g 是离散群的充分必要条 件是： ( i ) g 满足条件a ； ( ：；) g 的任意二个元生成的子群是离散的。 推论0 3 5 设g 为露上k 、拟共形同胚映射构成的非初等群，那么，g 是离 散群的充分必要条件是g 的任意二个元生成的子群是离散的。 5 复旦大学博士后出站报告 进而我们可以得到 定理0 3 6 设g 为廓上k 拟共形同胚映射构成的非初等群，并且存在常数 g o ( n ) 1 ( f 0 ( n ) 仅与n 有关) ，使得k g o ( n ) ，如果g 含有无穷序列 9 。) ，满 足c a r d ( i i z ( v , ) ) 1 ( 硒( n ) 仅与n 有关) 使得。! 硒( n ) ，令映射 妒。：g - g 。是g 到g 。上的同构，进一步假设序列 妒。) 代数收敛于钆。：g - g o 。 和 g 。) 满足条件a ，那么，妒。是一个同构并且g 。是咖上离散非初等k 拟共 形群。 推论0 3 9 设g o 是一个离散非初等硒一拟共形群，g 。( m = 1 ，2 ，) 是咖上 的离散。一拟共形群并且存在常数娲( n ) 1 ( 凰( n ) 仅与n 有关) 使得，； 凰( n ) ，对任意m en ，令妒。是g o 到离散群g 。上的同构，对任一筋g o ， 妒( 跏) 2i 粤妒m ( 9 0 ) 设g = g = 母( 9 0 ) ：g o a o ， g 。) 满足条件j 4 ，那么，g 是离散非初等k 一拟共 形群并且妒是g o 到g 上的同构 推论0 3 1 0 设g 。陋= 0 ，1 ，2 ，) 是廖上的离散蜀，拟共形群，且g o 是一个 非初等群，对任意m n ，令妒。是g o 到离散群g 。上的同构，对任一9 0 g o ， 妒( 卯) 2i 粤b 妒m ( 卯) 设g = 9 = 母) ：9 0 g o ) ，那么，g 是离散非初等k 一拟共形群并且币是g o 到 g 上的同构。 上面的结论改进了b o n f e r t t a y l o r 和m a r t i n 的相应结果。 以上结果中相关概念见第1 1 节、第1 2 节和第1 3 节。 6 第零章：绪论 本文第2 章主要研究问题3 。和4 。，在该章中，我们研究了p i n c h e dh a d a m a r d 流 形上的非初等群，给出了一些基本性质。 引理0 3 1 1 假设g 是i s a r a ( x ) 的离散子群，那么，下面条件是等价的 川g 是初等群； 俐g 在x 。中有有限轨道； 俐g 的任意两个非椭圆元有公共不动点； “jc a r d ( l ( g ) ) 2 设g 是1 , 5 0 m ( x ) 的任意子群，我们令 g = ng l l 。( ，】 ，e h ( g ) 其中 ( g ) 是g 的所有非椭圆元索所组成的集合，g ，b ( ，) = 9 g ：，缸( ，) c ，i z ( g ) ) 如果g 是纯椭圆群，令g + = g 我们得到了p i n c h e dh a d m n a r d 流形上的非初等群的 离散准则： 定理0 3 1 2 设g 是i s o m ( x ) 的非初等群，那么，g 离散的充分必要条件是 r g 。是有限群； 俐g 的任意两个元素生成的子群是离散的。 推论0 3 1 3 设g 是i s o m ( x ) 的非初等群，那么，g 离散的充分必要条件是 ， g 满足一致有界绕条件； 俐g 的任意两个元素生成的子群是离散的 我们改进了m a r t i n 代数收敛定理，不需一致有界绕条件我们就可以得到下面 的代数收敛定理； 定理0 3 1 4 设g o 是1 s o r e ( x ) 的离散非初等群，对每一个m n ，妒。是g o 到 离散群g 。r g 。ci s o m ( x ) ) 上的同构，对每- - + g o g o ， 妒( 9 0 ) = l 鎏k 妒m ( 目o ) 令g = 伯= 妒( 9 0 ) ：g o g o ) c1 s o r e ( x ) ，那么g 是离散群并且妒是g o 到g 的同构。 对i s a m ( x ) 的任意子群，我们也可以得到离散准则 7 复旦大学博士后出站报告 定理0 3 1 5 设g 是i s o m ( x ) 的任意子群，那么，g 离散的充分必要条件是 川g + 离散； 俐g 的任意两个元素生成的子群是离散的。 进而，我们得到代数收敛定理 定理0 3 1 6 设 g 。 是i s o r n ( x ) 的子群构成的序列，g 是 g 。) 的代数极限， 如果g 。和g 是离散群，那么，g 是离散群。 推论0 3 1 7 设g 是i s r n n ( x ) 的任意子群，g 是离散群，妒。( m = 1 ，2 ，) 是从 g 到，s m ) 的映射，使得，对任意m = 1 ，2 ，群妒。( g ) 是离散的如果对任意 g g ，有： 妒。( 9 ) _ + g ( m - c o ) ， 那么，g 是离散群 以上结果中相关概念见第2 3 ，l 节和第2 4 1 节， 本文第3 章研究了问题5 。，在该章中， 群进行了研究，给出了这种群的基本性质， 下面列出几个结果 我们对彤上定义0 2 1 意义下非初等 给出了离散准则以及代数收敛定理， 定理0 3 1 8 设g 是m ( r ”) 的任意子群，那么，g 离散的充分必要条件是 ， 离散； 例g 的任意两个元素生成的子群是离散的。 推论0 3 1 9 设g 是埘( 髟) 的任意子群并且是定义3 1 3 意义下的非初等群，