高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 2 4用向量讨论垂直与平行 第二章 1 理解直线的方向向量 平面的法向量 2 能够利用直线的方向向量和平面的法向量处理线面的位置关系 3 熟记判定直线平行或垂直的条件 4 建立立体几何与空间向量的相互联系 把立体几何问题转化为向量问题 本节重点 利用向量来表示空间中的平行关系和垂直关系 本节难点 如何实现线面位置关系与向量运算的联系 1 垂直问题 1 直线与直线垂直 只要两直线的 垂直 两直线必垂直 2 直线与平面垂直 直线的 若与平面的 平行 则直线与平面垂直 反之亦成立 3 平面与平面垂直 平面与平面垂直的充要条件是 方向向量 方向向量 法向量 两平面的法向量互相垂直 2 平行问题 1 直线与直线平行 只要两条直线的 2 直线与平面平行 直线的 若与平面的 垂直 直线不在平面内 则直线与平面平行 3 平面与平面平行 当两平面的 两平面不重合 时两平面平行 方向向量平行且 这两条直线不共线即可 方向向量 法向量 法向量平行 3 三垂线定理 1 三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的 则这两条直线垂直 2 三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线 则这条直线也垂直于直线在该平面内的 投影 投影 1 确定直线的方向向量在直线上取有向线段表示的向量 或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量 均为直线的方向向量 在解立体几何题时 直线的方向向量一般不再叙述而直接应用 可以参与向量运算或向量的坐标运算 在给出的几何体比较特殊能够建立空间直角坐标系时 坐标运算更为简单 2 确定平面的法向量平面的法向量就是平面法线的方向向量 因此可以先确定平面的法线 再取它的方向向量 也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直 而得到平面的法向量 确定平面的法向量通常有两种方法 1 几何体中已经给出有向线段 只需证明线面垂直 2 几何体中没有具体的直线 此时可以采用待定系数法求解平面的法向量 3 利用向量知识判断直线 平面的平行问题平行关系包括 线线平行 线面平行和面面平行 用向量知识判断时 主要是研究直线的方向向量 平面的法向量之间的关系 通常情况下 构建空间直角坐标系 用坐标运算进行 两直线 不重合 的方向向量共线时 两直线平行 一直线与一平面的法向量垂直时 若直线不在平面内 则直线与平面平行 两平面 不重合 的法向量共线时 两平面平行 一般地 用向量共线的充要条件或向量数量积的计算公式求解 4 利用向量知识判断直线 平面垂直垂直问题包括 直线与直线垂直 常用两直线的方向向量的数量积为0来判断 直线与平面垂直 常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断 平面与平面垂直 常用法向量垂直来判断 用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似 主要研究向量的共线或垂直 可以用向量的基本运算进行 当几何体比较特殊时 构建空间直角坐标系解题更为简单 5 利用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 线面平行 分析 用向量证明面面平行有两个途径 利用面面平行的判定定理 即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面 证明两个平面的法向量平行 面面平行 点评 证明面面平行的向量方法有两种 第一种是分别求出两平面的法向量 再证明两法向量平行 第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面 转化为线面平行的问题 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别为c1d1 b1c1 cc1的中点 求证 平面a1db 平面efg 证明 以d为原点 直线da dc dd1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 分析 可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明 线面垂直 解析 证法一 如图 取a1b1的中点g 连接eg fg a1b 则fg a1d1 eg a1b a1d1 平面a1b fg 平面a1b a1b ab1 eg ab1 由三垂线定理 得ef ab1 同理ef b1c 又ab1 b1c b1 ef 平面b1ac 证法三 设正方体的棱长为2 建立如下图所示的空间直角坐标系 则a 2 0 0 c 0 2 0 b1 2 2 2 e 2 2 1 f 1 1 2 点评 1 证法一 用传统的几何法证明 利用三垂线定理 需添加辅助线 证法二 选基底 将相关向量用基底表示出来 然后利用向量的计算来证明 证法三 建立空间直角坐标系 利用向量 且将向量的运算转化为实数 坐标 的运算 以达到证明的目的 2 几何的综合推理有时技巧性较强 而向量代数运算属程序化操作 规律性较强 但有时运算量大 两种处理方法各有优点 不能偏废 如图 正方形abcd和四边形acef所在平面互相垂直 ce ac ef ac ab ce ef 1 1 求证 af 平面bde 2 求证 cf 平面bde 点评 证明直线与平面垂直的方法有两种 一种是求平面的法向量 然后证明直线与法向量平行 另一种是证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直 其实就是转化为线线垂直问题 求证 平面gef 平面pbc 面面垂直 证明 证法1 如图 以三棱锥的顶点p为原点 以pa pb pc所在直线分别作为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 令pa pb pc 3 则a 3 0 0 b 0 3 0 c 0 0 3 e 0 2 1 f 0 1 0 g 1 1 0 p 0 0 0 点评 证明面面垂直通常有两种方法 一是利用面面垂直的判定定理 转化为线面垂直 线线垂直去证明 二是证明两个平面的法向量互相垂直 证明 如图 建立空间直角坐标系 点a为坐标原点 设ab 1 例5 如图 在棱长ab ad 2 aa1 3的长方体ac1中 点e是平面bcc1b1上的一个动点 点f是cd的中点 试确定点e的位置 使d1e 平面ab1f 探索性问题 误解二 因为pa a 所以ab为pb在平面 内的投影 又因为ab b 利用三垂线定理 所以pb b 答案 d 2 在如图所示的坐标系中 abcd a1b1c1d1为正方体 给出下列结论 直线dd1的一个方向向量为 0 0 1 直线bc1的一个方向向量为 0 1 1 平面