高中数学 3.3 第1课时 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 圆锥曲线与方程 第三章 3 3双曲线 第三章 第1课时双曲线及其标准方程 1 了解双曲线的定义 并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系 建立及推导双曲线的标准方程 2 通过与椭圆的类比 对照 了解双曲线的标准方程 并培养学生分析 归纳 推理等能力 3 掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的a b c 能根据条件确定双曲线的标准方程 本节重点 双曲线的定义及其标准方程 本节难点 双曲线标准方程的推导 1 在平面内到两个定点f1 f2距离之差的绝对值等于定值2a 大于0且小于 f1f2 的点的轨迹叫作 这两个定点叫作双曲线的 两焦点之间的距离叫作双曲线的 2 在双曲线的定义中 条件0 f1f2 则动点的轨迹 双曲线 焦点 焦距 两条射线 不存在 3 双曲线定义中应注意关键词 若去掉定义中 三个字 动点轨迹只能是 4 焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 5 在双曲线的标准方程中a b c的关系为 绝对值 绝对值 双曲线一支 a2 b2 c2 1 对于双曲线定义的理解 要抓住双曲线上的点所要满足的条件 即双曲线上点的几何性质 可以类比椭圆的定义来理解 1 在双曲线定义中 常数要大于0且小于 f1f2 这一限制条件十分重要 不可去掉 2 如果定义中常数改为 f1f2 此时动点轨迹是以f1 f2为端点的两条射线 包括端点 3 如果定义中常数为0 此时动点轨迹为线段f1f2的垂直平分线 4 如果定义中常数改为大于 f1f2 此时动点轨迹不存在 5 若把定义中 差的绝对值 中的 绝对值 去掉 点的轨迹就成为双曲线的一支 2 类比椭圆标准方程的推导方法 建立适当坐标系 推导出双曲线的标准方程 但要注意在椭圆标准方程推导中 是令b2 a2 c2 而在双曲线标准方程的推导过程中 是令b2 c2 a2 当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时 可直接求出a b 写出对应的方程 而无须由距离公式写出推导过程 4 已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题 往往利用正弦定理 余弦定理以及双曲线的定义列出关系式 当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时 要注意应用数形结合的思想方法 双曲线的标准方程 已知双曲线通过m 1 1 n 2 5 两点 求双曲线的标准方程 分析 因为所求双曲线的焦点的位置不确定 故必须对双曲线的焦点的位置进行讨论 本题也可把双曲线方程设为ax2 by2 1 用待定系数法求解 点评 求双曲线的标准方程时 可以根据其焦点的位置设出标准方程的形式 然后用待定系数法求出a b的值 若双曲线的焦点的位置难以确定 可设出双曲线方程的一般式 利用条件 通过待定系数法求出系数的值 从而可写出双曲线的标准方程 分析 解决本题可结合双曲线的定义及图形寻求 最值 的解决 双曲线定义的应用 解析 设双曲线的右焦点为f0 由双曲线的定义知 pf 2a pf0 4 pf0 pf pa 4 pf0 pa 当 pf pa 最小时需满足 pf0 pa 最小 由双曲线的图像可知当点a p f0共线时 pf0 pa 最小 易求得 af0 5 pf pa 的最小值为5 4 9 点评 注意到本例中a点在外面 p点在双曲线的右支上 且双曲线的右焦点为f0 4 0 于是 pf pf0 2a 4 pf pa pa pf0 4 af0 4 当且仅当a p f0三点共线时等号成立 分析 充分利用双曲线的定义及切线段相等的性质逐步展开 求出 nf2 即可 解析 当点p在双曲线的左支上时 如图所示 pf1f2的内切圆与pf1 pf2 f1f2切于点q m n 由已知 得a 4 b 3 c 5 根据圆的切线长定理及双曲线的定义 可得 nf2 mf2 pm pq qf1 f1n nf2 mf2 pf2 f1f2 pm f1n 点评 在圆锥曲线中 圆锥曲线的定义非常重要 正确运用定义可以巧妙地解决看似非常困难的题目 再者当我们已知某点在圆锥曲线上时应想到 此点满足圆锥曲线的定义 此点坐标满足圆锥曲线方程 分析 对特殊情况 为0 45 90 180 时进行讨论 并与圆锥曲线方程的标准形式进行类比 得出结论 判断曲线类型 解析 方程ax2 by2 1表示的轨迹是参数a b相关的 因此要确定轨迹 需对参数a b进行讨论 1 当 0 时 方程为x2 1 它表示两条平行直线x 1 解析 当双曲线焦点在x轴上时 2 m 0且m 1 0 m 1 当双曲线焦点在y轴上时m 1 1或m 2 双曲线的实际应用 求 1 河流沿岸pq所在的曲线方程 2 修建这两条公路的总费用的最小值 解析 1 如图 以ab所在直线为x轴 以ab的中点为坐标原点 建立平面直角坐标系 则a 2 0 b 2 0 如图所示 某村在p处有一堆肥 今要把此堆肥料沿道路pa或pb送到成矩形的一块田abcd中去 已知pa 100m bp 150m bc 60m apb 60 能否在田中确定一条界线 使位于界线一侧的点沿道路pa送肥较近而另一侧的点则沿pb送肥较近 如果能 请说出这条界线是什么曲线 并求出它的方程 解析 设双曲线的左焦点为f1 右焦点为f2 如图所示 由双曲线的定义知 pf1 pf2 2a 在 f1pf2中 由余弦定理 得 双曲线的焦点三角形问题 答案 a m 误解一 双曲线的实轴长为8 由 pf1 pf2 8 即9 pf2 8 所以 pf2 1 误解二 双曲线的实轴长为8 由双曲线的定义得 pf1 pf2 8 所以 9 pf2 8 所以 pf2 1或17 正解 双曲线的实轴长为8 由双曲线的定义得 pf1 pf2 8 所以 9 pf2 8 所以 pf2 1或17 因为 f1f2 12 当 pf2 1时 pf1 pf2 10 f1f2 不符合公理 两点之间线段最短 应舍去 所以 pf2 17 点评 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够 是概念性的错误 错解二没有验证两解是否符合题意 这里用到双曲线的一个隐含条件 双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a 到一个焦点的距离是c a 到另一个焦点的距离是a c 本题是2或10 pf2 1小于2 不合题意 答案 k 3或k 3 一 选择题1 已知f1 8 3 f2 2 3 动点p满足 pf1 pf2 10 则p点的轨迹是 a 双曲线b 双曲线的一支c 直线d 一条射线 答案 d 解析 f1 f2是两定点 f1f2 10 所以满足条件 pf1 pf2 10的点p的轨迹应为一条射线 答案 b 解析 由条件知c 6 焦点在y轴上 排除a d 又双曲线经过点a 5 6 排除c 答案 b 答案 4或16 解析 由双曲线方程 得a 3 b 4 c 5 当点p在双曲线的左支上时 由双曲线定义 得 pf2 pf1 6 所以 pf2 pf1 6 10 6 16 当点p在双曲线的右支上时 由双曲线定义 得 pf1 p