高中数学 第2章 §1 1.1圆锥曲线与方程课件 北师大版选修11.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修1 1 圆锥曲线与方程 第二章 情景导学北京时间2003年10月15日9时9分50秒 我国自行研制的 神舟 5号载人飞船 在酒泉卫星发射基地发射升空后 准确进入预定轨道 中国首位航天员被顺利送上太空 神舟 5号飞船运行的轨道面和地球的赤道面之间成43 的夹角 在太空绕地球飞行14圈 历时约21小时 于16日6时准确返回 这标志着我国成为世界上第三个把人类送上太空的国家 你知道 神舟 5号飞船运行的轨道是什么图形吗 学法探究1 要重视圆锥曲线的定义 椭圆 抛物线 双曲线的定义揭示了它们的几何属性 根据定义可以导出它们的标准方程 进而研究其几何性质 要深刻理解圆锥曲线的定义 2 要掌握运用坐标法研究曲线的几何性质 学习本章 不仅要掌握圆锥曲线的定义 方程和性质 还要通过对它们的研究 进一步学习如何用代数方法研究几何问题 即坐标法 在坐标系中 将曲线的几何特征用数或式表达出来 就得到了其方程 反之 通过对曲线方程的研究 也可以确定曲线的几何性质 在学习中 要注意加强进行这种 数 与 形 之间的转化训练 3 要做到 数 与 形 的统一 由于几何研究的对象是图形 而图形的直观性会帮助我们发现问题 启发我们的思路 找出解决问题的有效方法 所以在解决本章的问题时 最好先根据已知条件画出草图 通过观察 分析图形的特征 将数和形结合起来 4 要掌握一些常见的求曲线方程的方法 曲线是符合某种条件的点的轨迹 求动点的轨迹方程是解析几何的主要问题之一 常见的方法有直接法 定义法 待定系数法 相关点法 参数法等 5 要掌握解决实际问题的方法 圆锥曲线在生产和日常生活中有许多重要的应用 为了解决与圆锥曲线有关的实际问题 首先要把实际问题转化为数学问题 着重思考如何对实际问题进行数学抽象 如何通过选择适当的坐标系使问题变得简单 1椭圆 第二章 1 了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程 2 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 会用待定系数法求椭圆的标准方程 重点 椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点 椭圆标准方程的建立和推导 思维导航在生活中 我们对椭圆并不陌生 油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线 天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆 灯光斜照在圆形桌面上 地面上形成的影子也是椭圆形的 那么椭圆是怎样定义的 怎样才能画出椭圆呢 给你两个图钉 一根无弹性的细绳 一张纸板 能画出椭圆吗 椭圆的定义 新知导学1 我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为 也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形 那么平面内到两定点距离的和 或差 等于常数的点的轨迹是什么呢 2 平面内与两个定点f1 f2的距离的 等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹 或集合 叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的 间的距离叫做椭圆的焦距 当常数等于 f1f2 时轨迹为 当常数小于 f1f2 时 轨迹 连结这两点的线段的垂直平分线 焦点 两焦点 线段 f1f2 不存在 和 牛刀小试1 已知f1 f2是两点 f1f2 8 1 动点m满足 mf1 mf2 10 则点m的轨迹是 2 动点m满足 mf1 mf2 8 则点m的轨迹是 答案 以f1 f2为焦点 焦距为8的椭圆线段f1f2 解析 1 因为 f1f2 8且动点m满足 mf1 mf2 10 8 f1f2 由椭圆定义知 动点m的轨迹是以f1 f2为焦点 焦距为8的椭圆 2 因为 mf1 mf2 8 f1f2 所以动点m的轨迹是线段f1f2 思维导航1 如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单 求椭圆的方程 首先要建立直角坐标系 由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同 曲线的方程也不同 为了使方程简单 必须注意坐标系的选择 一般情况下 应使已知点的坐标和直线 或曲线 的方程尽可能简单 在求椭圆的标准方程时 选择x轴经过两个定点f1 f2 并且使坐标原点为线段f1f2的中点 这样两个定点的坐标比较简单 便于推导方程 椭圆的标准方程 2 在推导椭圆方程时 为何要设 f1f2 2c 常数为2a 为何令a2 c2 b2 在求方程时 设椭圆的焦距为2c c 0 椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a a 0 这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单 令a2 c2 b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆 3 推导椭圆方程时 需化简无理式 应注意什么 1 方程中只有一个根式时 需将它单独留在方程的一侧 把其他项移到另一侧 2 方程中有两个根式时 需将它们放在方程的两侧 并使其中一侧只有一个根式 然后两边平方 答案 b 解析 169 144 焦点在y轴上 又 c2 a2 b2 169 144 25 c 5 焦点坐标为 0 5 3 2014 山西曲沃中学期中 对于常数m n mn 0 是 方程mx2 ny2 1的曲线是椭圆 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 答案 d 解析 设椭圆的左 右焦点分别为f1 f2 由椭圆的定义得 pf1 pf2 2a 10 pf2 10 pf1 10 4 6 答案 5或3 解析 若焦点在x轴上 则m 4 1 m 5 若焦点在y轴上 则4 m 1 m 3 椭圆的标准方程 方法规律总结 1 利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤 1 定位 确定焦点在哪个轴上 2 定量 依据条件及a2 b2 c2确定a b c的值 3 写出标准方程 2 当焦点位置不确定时 可设方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 且a b 这样可以避免讨论 椭圆的焦点三角形 解析 由椭圆的定义 有 pf1 pf2 2a 而在 f1pf2中 由余弦定理有 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos f1f2 2 4c2 方法规律总结 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成的三角形pf1f2我们通常称其为焦点三角形 在这个三角形中 既可运用椭圆定义 又可运用正 余弦定理 有时还运用整体思想求 pf1 pf2 等 椭圆定义的应用 解析 以过b c两点的直线为x轴 线段bc的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系xoy 如图所示 由 bc 8 可知点b 4 0 c 4 0 c 4 方法规律总结 如果在条件中有两定点 涉及动点到两定点的距离 可考虑能否运用椭圆定义求解 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程 应先根据动点具有的条件 验证是否符合椭圆的定义 即动点到两定点距离之和是否是一常数 且该常数 定值 大于两点的距离 若符合 则动点的轨迹为椭圆 然后确定椭圆的方程 解析 1 由椭圆定义知 af1 af2 bf1 bf2 2a 8 故 abf2的周长为 ab af2 bf2 af1 bf1 af2 bf2 16 2 如图所示 设动圆圆心为m x y 半径为r 由题意得动圆m和内切于圆c1 mc1 13 r 圆m外切于圆c2 mc2 3 r 辨析 错解1只注意了焦点在y轴上 而没有考虑到m2 0且 m 1 2 0 这是经常出现的一种错误 一定要避免 错解2中 由a2 m 1 2及b2 m2 应得a m 1 及b m m 1与m