高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修3 统计 第二章 2 2用样本估计总体 第二章 2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课标展示1 掌握众数 中位数 平均数 标准差 方差的定义和特征 2 会求众数 中位数 平均数 标准差 方差 并能用来解决有关问题 温故知新旧知再现1 在初中 我们已经学过平均数描述了数据的 平均水平 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平 我们也知道可以用样本的平均数去估计总体的平均水平 而样本数据的方差 标准差则反映了数据的离散程度 方差或标准差越 小 数据越集中 总体越均衡 方差或标准差越 大 数据越分散 总体越不均衡 而中位数则是指样本数据按从小到大 或从大到小 的顺序排列后 处于 中间位置的一个量 当样本数据个数为奇数时 中间一个数据就是中位数 它是样本数据 当样本数据个数为偶数时 中位数则是中间两个数据的 平均数 当这两个数据相等时 中位数是样本数据 否则它不是样本数据 众数则是指在样本数据中出现次数 最多的数据 众数不一定 唯一 2 2012 陕西卷 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计 得到样本的茎叶图 如图所示 则该样本的中位数 众数 极差分别是 a 46 45 56b 46 45 53c 47 45 56d 45 47 53 答案 a 解析 本题考查样本数据的中位数 众数及极差 根据茎叶图可知样本总共有30个数据 中位数为46 出现次数最多的是45 最大数与最小数的差为68 12 56 故选a 新知导学1 众数 1 定义 一组数据中出现次数 最多的数称为这组数据的众数 2 特征 一组数据中的众数可能 不止一个 也可能没有 反映了该组数据的 集中趋势 破疑点 众数体现了样本数据的最大集中点 但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征 2 中位数 1 定义 一组数据按从小到大的顺序排成一列 处于 中间位置的数称为这组数据的中位数 2 特征 一组数据中的中位数是 唯一的 反映了该组数据的 集中趋势 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积 相等 破疑点 中位数不受少数几个极端值的影响 这在某些情况下是优点 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 2 特征 平均数对数据有 取齐 的作用 代表该组数据的 任何一个数据的改变都会引起平均数的变化 这是众数和中位数都不具有的性质 所以与众数 中位数比较起来 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的 但平均数受数据中 的影响较大 使平均数在估计总体时可靠性降低 平均水平 信息 极端值 4 标准差 1 定义 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 通常用以下公式来计算s 可以用计算器或计算机计算标准差 2 特征 标准差描述一组数据围绕 波动的大小 反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小 标准差较大 数据的离散程度较 标准差较小 数据的离散程度较 平均数 大 小 5 方差 1 定义 标准差的平方 即s2 2 特征 与 的作用相同 描述一组数据围绕平均数波动程度的大小 3 取值范围 标准差 0 6 用样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往很多 总体的平均数 众数 中位数 标准差 方差是不知道的 因此 通常用 的平均数 众数 中位数 标准差 方差来估计 这与上一节用 的频率分布来近似地代替总体分布是类似的 只要样本的代表性好 这样做就是合理的 也是可以接受的 样本 样本 规律总结 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类 用样本平均数估计总体平均数 用样本标准差估计总体标准差 样本容量越大 估计就越精确 自我检测1 下列刻画一组数据离散程度的是 a 平均数b 方差c 中位数d 众数 答案 b 2 下列判断正确的是 a 样本平均数一定小于总体平均数b 样本平均数一定大于总体平均数c 样本平均数一定等于总体平均数d 样本容量越大 样本平均数越接近总体平均数 答案 d 3 在某次考试中 10名同学得分如下 84 77 84 83 68 78 70 85 79 95 则这一组数据的众数和中位数分别为 a 84 68b 84 78c 84 81d 78 81 答案 c 4 在某项体育比赛中 七位裁判为一选手打出的分数如下 90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均数和方差分别为 a 92 2b 92 2 8c 93 2d 93 2 8 答案 b 中位数 众数 平均数的应用 典例探究 1 求该公司的职工月工资的平均数 中位数 众数 2 假设副董事长的工资从5000元提升到20000元 董事长的工资从5500元提升到30000元 那么新的平均数 中位数 众数又是什么 精确到1元 3 你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法 分析 利用平均数 中位数 众数的定义求解即可 规律总结 关于众数 中位数 平均数的几个问题 1 一组数据中的众数可能不止一个 如果两个数据出现的次数相同 并且比其他数据出现的次数都多 那么这两个数据都是这组数据的众数 2 一组数据中的中位数是唯一的 求中位数时 必须先将这组数据按从小到大 或从大到小 的顺序排列 3 由于平均数与每一个样本的数据有关 所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 这是众数 中位数都不具备的性质 某小区广场上有甲 乙两群市民正在进行晨练 两群市民的年龄如下 单位 岁 甲群13 13 14 15 15 15 16 17 17 乙群54 3 4 4 5 5 6 6 6 57 1 甲群市民年龄的平均数 中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征 2 乙群市民年龄的平均数 中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征 标准差 方差的应用 规律总结 用样本估计总体时 样本的平均数 标准差只是总体的平均数 标准差的近似 实际应用中 当所得数据的平均数不相等时 需先分析平均水平 再计算标准差 方差 分析稳定情况 1 2013 湖北高考 某学员在一次射击测试中射靶10次 命中环数如下 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4则 平均命中环数为 命中环数的标准差为 2 从甲 乙两种玉米的苗中各抽10株 分别测它们的株高如下 单位 cm 甲 25414037221419392142乙 27164427441640401640问 哪种玉米的苗长得高 哪种玉米的苗长得齐 分析 1 求方差的第一步求什么 其公式是什么 2 什么是标准差 如何求 3 判断数据波动大小的特征数是什么 如何判断 答案 1 7 2 2 乙种玉米的苗长得高 甲种玉米的苗长得齐 频率分布直方图与数字特征的综合应用 a 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数b 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数c 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差d 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 2 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生 其数学成绩 均为整数 的频率分布直方图如图所示 求这次测试数学成绩的众数 求这次测试数学成绩的中位数 求这次测试数学成绩的平均分 分析 1 如何利用条形图求众数 中位数 平均数 2 如何利用频率分布直方图求众数 中位数 平均数 答案 1 c 规律总结 众数 中位数 平均数与频率分布表 频率分布直方图的关系 1 众数 众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来有示 即在样本数据的频率分布直方图中 最高矩形的底边中点的横坐标 2 中位数 在频率分布表中 中位数是累计频率 样本数据小于某一数值的频率叫作该数值点的累计频率 为0 5时所对应的样本数据的值 而在样本中有50 的个体小于或等于中位数 也有50 的个体大于或等于中位数 因此 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 某中学举行电脑知识竞赛 现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图 已知图中从左到右的第一 二 三 四 五小组的频率分别是0 30 0 40 0 15 0 10 0 05 求 1 高一参赛学生的成绩的众数 中位数 2 高一参赛学生的平均成绩 解析 1 用叔率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值 得众数为65 又因为第一个小矩形的面积为0 3 所以设第二个小矩形底边的一部分长为x 则x 0 04 0 2 得x 5 所以中位数为60 5 65 2 依题意 平均成绩为55 0 3 65 0 4 75 0 15 85 0 1 95 0 05 67 所以平均成绩约为67 错因分析 这种评价是不合理的 尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征 但任何一个数据的改变都会引起民它的变化 而中位数则不受某些极端值的影响 本题中的5个成绩从小到大排列为 45 93 95 96 98 中位数是95 较为合理地反映了小明的数学水平 因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩 正解 小明5次考试成绩 从小到大排列为45 93 95 96 98 中位数是95 应评定为 优秀 2013 2014 天津高一检测 一次数学知识竞赛中 两组学生成绩如下表 已经算得两个组的平均分都是80分 请根据你所学过的统计知识 进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次 并说明理由 3 甲 乙两组成绩的中位数 平均数都是80分 其中甲组成绩在80分以上 含80分 的有33人 乙组成绩在80分以上 含80分 的有26人 从这一角度看 甲组成绩总体较好 4 从成绩统计表看 甲组成绩大于或等于90分的人数为20人 乙组成绩大于或等于90分的人数为24人 所以乙组成绩在高分阶段的人数多 同时 乙组得满分的比甲组得满分的多6人 从这一角度看 乙组成绩较好 1 甲 乙两中学生在一年里学科平均分相等 但他们的方差不相等 正确评价他们的学习情况是 a 因为他们平均分相等 所以学习水平一样b 成绩平均分虽然一样 方差较大的 说明潜力大 学习态度端正c 表面上看这两个学生平均成绩一样 但方差小的成绩稳定d 平均分相等 方差不等 说明学习不一样 方差较小的同学 学习成绩不稳定 忽高忽低 答案 c 2 在某次测量中得到的a样本数据如下 82 84 84 86 86 86 88 88 88 88 若样本b数据恰好是样本a都加上2后所得数据 则a b两样本的下列数字特征对应相同的是 a 众数b 平均数c 中位数d 标准差 答案 d 解析 b样本数据恰好是a样本数据加上2后所得的众数 中位数 平均数比原来的都多2 而标准差不变 3 如图 是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图 则得分的中位数与众数分别为 a 3与3b 23与3c 3与23d 23与23 答案 d 解析 中位数是指一组数据按从小到大 或从大到小 的顺序依次排列 处在中间位置的一个数 或最中间两个数据的平均数 从茎叶图中可知中位数为23 众数是指一组数据中出现次数最多的数 从茎叶图中可知23出现了3次 次数最多 因此众数也是23 所以选d 4 2013 2014 沈阳铁路实验中学期末考试 已知样本9 10 11 x y的平均数是10 方差是2 则xy a 98b 88c 76d 9