高中数学 第三章 指数函数和对数函数本章归纳总结课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 指数函数和对数函数 第三章 本章归纳总结 第三章 知识结构 知识梳理 专题探究 即时巩固 指数函数 对数函数是重要的基本初等函数 是高中数学函数部分的主体内容 是历届高考的重点 本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上 引入了分数指数幂的概念 然后将分数指数幂推广到实数指数幂 进而研究指数运算 指数函数的概念及图像性质 对数运算 对数函数的概念及其图像和性质 另外 函数的实际应用是新课标增添的内容 但它的研究思想方法 一直是高中数学的重点及难点之一 也是高考中常见题型 2 指数函数的概念与性质 1 指数函数的定义一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫作指数函数 2 y ax a 0 a 1 的图像 3 指数函数y ax a 0且a 1 底数越大时 函数的图像在y轴右侧部分越远离x轴 这一性质可通过x 1时的函数值大小去理解 如a b 1 c时 见函数图像 如图所示 3 对数的概念及相关性质 1 对数的定义如果a a 0 a 0 的b次幂等于n 就是ab n 那么数b叫作以a为底n的对数 记作logan b 其中a叫作对数的底数 n叫作真数 2 指数式与对数式的关系 3 对数的性质根据对数的定义 可以证明 loga1 0 logaa 1 a 0 a 1 即1的对数为零 底的对数等于1 对数恒等式alogan n a 0 a 1 n 0 4 常用对数和自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数 为了简便 n的常用对数log10n简记为lgn 在科学技术中常常使用无理数e 2 71828 为底的对数 以e为底的对数叫作自然对数 为了简便 n的自然对数logen简记作lnn 7 对数函数的图像及性质 在学习本章时 要注意运用由特殊到一般 运用对比的方法 搞清几个意义相近概念的内涵 利用数形结合的思想方法来说明比较抽象的概念及性质 在知识的发生 发展过程中提高运用知识解决问题的能力 1 有关指数 对数的运算问题指数与指数运算 对数与对数运算是两个重要的知识点 不仅是本章考查的重要问题类型 也是高考的必考内容 指数式的运算首先注意化简顺序 一般负指数先转化成正指数 根式化为指数运算 其次 若出现分式 则要注意分子 分母因式分解 以达到约分的目的 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化 前后要等价 熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式 换底公式是对数计算 化简 证明常用的技巧 基本题型归纳 2 函数图像与性质的应用指数函数 对数函数 幂函数是中学数学中重要的函数 它们的图像和性质是考查的重点 应熟练掌握图像的画法及形状 记熟性质 特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时 对图像和性质的影响 解析 如图所示 当a 1时 如图 要使在 1 2 上 f1 x x 1 2的图像在f2 x logax的下方 只需f1 2 f2 2 即 2 1 2 loga2 loga2 1 1 a 2 故选c 答案 c 3 数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数 对数函数和幂函数的重要应用 最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值 然后利用该类函数的单调性进行比较 答案 c 4 考查函数的定义域函数的定义域是历年高考中均考查的知识点 其难度不大 属中低档题 但在求解时易漏掉部分约束条件造成错解 因而也是易错题 答案 b 5 考查函数的值域函数的值域或最值问题往往与单调性相关 而对数函数的单调性及应用是历年高考的重点 答案 d 点评 本题考查的知识点较多 如求f x g x 的解析式 求函数定义域和函数值 求反函数等 在解题过程中还要用到指数函数与对数函数的性质 解方程和不等式等 只要掌握好每一个知识点 按题目要求一步一步地进行求解 就可以顺利完成 1 数形结合思想的应用函数的解析式与函数图像是函数的两种不同表现形式 因此在解决数学问题时 可以通过数与形的相互转化达到 以形助数 以数解形 的目的 数形结合的思想可以将复杂问题简单化 抽象问题直观化 此类问题通常是解的个数的判断和解的范围的确定等 数学思想方法归纳 例7 求不等式x 1 log6 x 3 的所有整数解 解析 设y1 x 1 y2 log6 x 3 在同一坐标系中作出它们的图像如图所示 两图像有两个交点 一交点的横坐标显然在 3和 2之间 另一个交点设为p 因为x 1时 log6 1 3 1 1 0 x 2时 log6 2 3 2 1 0 所以1 xp 2 综上 原不等式的所有整数解为 2 1 0 1 2 分类讨论思想在解不等式中的应用解指数不等式与对数不等式是本章常见题型 其解法主要是 同底法 通过等价转化 将指数 对数不等式 或方程 转化为一次或二次不等式 或方程 若是含有参数的不等式 结合函数的单调性 一般需利用分类讨论的思想方法判断 3 换元思想换元法的作用是利用整体代换 将问题转化为常见问题 本章中 常设u logax或u ax 然后将问题转化为一元二次方程 二次函数等问题 特别要注意换元后u的取值范围 4 转化与化归思想所谓转化与化归思想 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段 将问题通过变换使之转化 归结为在已有的知识范围内可以解决的一种方法 一般总是将复杂的问题通过变换 转化为简单的问题 将较难的问题通过变换 转化为容易求解的问题 将未解决的问题变换 转化为已解决的问题 可以说数学解题就是转化问题 每一个数学问题无一不是在不断转化中获得解决的 即使是数形结合思想 函数方程思想 分类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式 例10 解方程2 4x 4 x 7 2x 2 x 10 0 分析 通过换元 将方程化为关于t的二次方程并求解 一 选择题1 2014 江西理 2 函数f x ln x2 x 的定义域为 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 答案 c 解析 由x2 x 0 得x 1或x 0 故选c 2 2013 新课标 设a log36 b log510 c log714 则 a c b ab b c ac a c bd a b c 答案 d 解析 a