高中数学 2.5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修4 平面向量 第二章 5从力做的功到向量的数量积 第二章 水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动 会让人感觉自己在水上漂动 异常轻松刺激 要用物理原理来分析的话 这说明飞机的拉力对人做了功 这种现象在现实生活中还有很多 在数学中两个向量也有类似的运算应用 那么它们遵循什么规律呢 请看本节学习的内容 夹角 0 180 0 180 90 垂直 a b cos a b a b cos b cos a cos 3 向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义 我们可得到如下性质 1 若e是单位向量 则e a 2 若a b 则 反之 若 则a b 通常记作a b 3 a 4 cos a b 0 5 对任意两个向量a b 有 a b a b 当且仅当 时等号成立 a e a cos a b 0 a b 0 a b 0 a b 4 向量数量积的运算律给定向量a b c和实数 有以下结果 a b a b a b c b a a b a b a b a c 1 已知a与b是相反向量 且 a 2 则a b a 2b 2c 4d 4 答案 d 解析 由已知a b a b a a a2 a 2 4 答案 c 答案 a 4 2013 新课标 理 13 已知两个单位向量a b的夹角为60 c ta 1 t b 若b c 0 则t 答案 2 思路分析 已知向量a b的模及其夹角 求a b及a在b上的射影 解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可 向量数量积的定义及几何意义 1 在题设不变的情况下 求b在a上的射影 2 把 a与b的夹角 120 换成 a b 求a b 思路分析 先由已知条件分析出a b c的位置关系 找准它们之间的夹角 再用数量积的定义计算 也可用整体处理法解决 平面向量数量积的运算 规律总结 向量数量积的有关运算 要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题 注意下述结论 a2 a 2 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2a b b2 已知 a 3 b 4 120 为a与b的夹角 试求 1 a b 2 a b a b 3 a b a b 4 a 2b 3a b 分析 将所给问题转化为数量积 并代入公式a b a b cos 求 解析 1 原式 a b cos 12 cos120 6 2 原式 a2 b2 a 2 b 2 9 16 7 3 原式 a2 2a b b2 a 2 b 2 2 a b cos 9 16 2 6 13 4 原式 3a2 5a b 2b2 3 a 2 2 b 2 5 a b cos 27 32 5 6 25 点评 1 考查向量数量积定义 2 相当于平方差公式 3 相当于完全平方公式 4 用到数量积的运算及数乘向量的运算 向量的夹角 规律总结 本题主要考查利用向量数量积求夹角的问题 求解时可直接利用向量数量积的性质求解 也可利用数形结合的方法 借助图形直接求得 已知 a 2 b 1 a与b的夹角为60 求向量m 2a b与向量n a 4b的夹角 的余弦值 解析 a b 2 1 cos60 1 m 2 2a b 2 4 a 2 4a b b 2 4 22 4 1 1 21 n 2 a 4b 2 a 2 8a b 16 b 2 22 8 1 16 1 12 求向量的模 答案 b 思路分析 1 将a tb的模表示为t的函数 问题转化为求函数的最值问题 2 要证b a tb 只需证b a tb 0 用向量数量积解决垂直问题 规律总结 本题是一道平面向量与函数交汇的题 旨在考查平面向量的模 向量垂直及二次函数的最值等知识 1 中求解时利用向量数量积的运算 将a tb的模的平方表示为t的二次函数 借助于二次函数有最小值时 求t的值 2 中只需证出b a tb 0 求解时利用a与b共线且同向的条件 确定t的值 本题主要考查转化与化归的思想方法 已知 a 5 b 4 且a与b的夹角为120 则当k为何值时 向量ka b与a 2b垂直 分析 利用c d c d 0 构造关于k的方程组求解 辨析 错误的原因在于认为a与b的夹角为 c 其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所