高中数学 1.2 充分条件与必要条件课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 常用逻辑用语 第一章 1 2充分条件与必要条件 第一章 1 理解充分条件 必要条件 充要条件的意义 2 会判断所给条件是充分条件 必要条件 充要条件 本节重点 充分条件 必要条件 充要条件的判定 本节难点 判定所给条件是充分条件 必要条件 还是充要条件 1 当命题 如果p 则q 经过推理证明断定是真命题时 我们就说由p成立可推出q成立 记作 读作 2 如果p q 则p叫作q的 条件 3 如果q p 则p叫作q的 条件 4 如果既有p q成立 又有q p成立 记作 则p叫作q的 条件 p q p推出q 充分 必要 p q 充要 1 从逻辑关系上 关于充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件的判定 2 从集合的观点上 关于充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件的判定 首先建立与p q相应的集合 即p a x p x q b x q x 3 判断充分条件与必要条件的基本思路 1 首先分清楚条件是什么 结论是什么 2 然后尝试用条件推结论 或用结论推条件 举反例说明其不成立是常用的推理方法 3 最后再指出条件是结论的什么条件 事实上 p是q的充分条件 就是条件p足以能保证结论q成立 这种情况下 也可以理解为 条件p成立 必有q成立 说明对p来说 q是必要的 所以q是p的必要条件 由此可见 判断充分条件或者必要条件实质上就是要判断命题 若p 则q 或者其逆命题 的真假 即判断条件a能否推出b 或者条件b能否推出a 4 要证明命题的条件是充要的 就是既要证明原命题成立 又要证明它的逆命题成立 证明原命题成立即证明条件的充分性 证明逆命题成立即证明条件的必要性 在解题时常常遇到与充要条件同义的词语 如 当且仅当 必须且只需 等价于 反过来也成立 准确地理解和使用数学语言 对理解和把握数学知识是十分重要的 充要条件是揭示命题的条件和结论之间的因果关系的重要数学概念 因此在学习充分条件 必要条件和充要条件的同时 应注意与命题相结合 一般地 关于充要条件的判断主要有以下几种方法 1 定义法 直接利用定义进行判断 2 等价法 p q 表示p等价于q 等价命题可以进行转换 当我们要证明p成立时 就可以去证明q成立 这里要注意 原命题 逆否命题 否命题 逆命题 只是等价形式之一 对于条件或结论是不等式关系 否定式 的命题一般应用等价法 3 利用集合间的包含关系进行判断 如果条件p和结论q都是集合 那么若p q 则p是q的充分条件 若p q 则p是q的必要条件 若p q 则p是q的充要条件 充分条件 必要条件 充要条件的判定 分析 先判定 若p则q 若q则p 的真假 再得两者之间关系即可 也可从集合的角度入手 解析 1 x 2 0 x 2 x 3 0 而 x 2 x 3 0 x 2 0 当x 3时 不成立 所以 x 2 0 是 x 2 x 3 0 的充分但不必要条件 2 法一 t2 4 t 2 t 2 t2 4 当t 2时 t2 4 t 2 是 t2 4 的必要不充分条件 法二 原命题的逆否命题为若t2 4 则t 2 t 2 t2 4 t2 4 t 2 当t 2时 不成立 故 t2 4 是 t 2 的必要不充分条件 由互为逆否命题同真同假得 t 2 是 t2 4 的必要不充分条件 点评 1 判断p是q的什么条件其实质是判断 若p则q 及其逆命题 若q则p 是真是假 原命题为真而逆命题为假 则p是q的充分不必要条件 原命题为假而逆命题为真 则p是q的必要不充分条件 原命题 逆命题均为假 则p是q的既不充分也不必要条件 2 判断p是q的什么条件 应掌握几种常用的判断方法 1 定义法 2 集合法 3 等价转化法 4 传递法 有时借助数轴 韦恩图 集合等知识形象 直观的特点或举反例 赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果 1 x0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 2 2014 浙江文 设四边形abcd的两条对角线为ac bd 则 四边形abcd为菱形 是 ac bd 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 3 2011 天津文 设集合a x r x 2 0 b x r x0 则 x a b 是 x c 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 1 a 2 a 3 c 解析 1 本题主要考查充要条件的判定 由 x0 但 x2 1 0 时 x 1或x0 的充分而不必要条件 选a 2 该题考查充要条件的判断与菱形的几何性质 菱形的对角线互相垂直 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 3 本题考查了集合的运算与逻辑语言的充分必要条件的运用 a x r x 2 0 b x r x2 c x x x 2 0 x x2 a b c x a b是x c的充要条件 分析 第一步 审题 分清条件与结论 p是q的充要条件 中p是条件 q是结论 p的充要条件是q 中 p是结论 q是条件 本题中条件是 a b c 0 结论是 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1 充要条件的证明 第二步 建联系确定解题步骤 分别证明 充分性 与 必要性 先证充分性 条件 结论 再证必要性 结论 条件 第三步 规范解答 解析 必要性 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1 x 1满足方程ax2 bx c 0 a 12 b 1 c 0 即a b c 0 充分性 a b c 0 c a b 代入方程ax2 bx c 0中可得ax2 bx a b 0 即 x 1 ax a b 0 因此 方程有一个根为x 1 故关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 点评 充要条件的证明证明p是q的充要条件 既要证明命题 p q 为真 又要证明命题 q p 为真 前者证明的是充分性 后者证明的是必要性 证明一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 点评 证明充要条件 即证明原命题和逆命题都成立 证明充要性时一定要注意分类讨论 要搞清它的叙述格式 避免在论证时将充分性错当必要性证 而又将必要性错当充分性证 条件传递问题 点评 将已知r p q s的关系作一个 图 如图所示 这在解决较多个条件的问题时经常用到 要细心体会 已知条件p a x x2 a 1 x a 0 条件q b x x2 3x 2 0 当a为何值时 1 p是q的充分不必要条件 2 p是q的必要不充分条件 3 p是q的充要条件 分析 用条件的充分性 必要性确定范围 一般转化为集合之间的包含关系 解析 由p a x x 1 x a 0 由q b 1 2 1 p是q的充分不必要条件 a b且a b 当a 1 时 a 1 当a 1 a 时 12 a 2 3 p是q的充要条件 a b a 2 点评 当命题的形式是集合时 其充分条件和必要条件的判定 就是集合包含关系的判定 例5 x 5 的一个必要不充分条件是 a x 6b x 3c x 6d x 3 误解 a 例6 已知方程x2 2 m 2 x m2 1 0有两个大于2的根 试求实数m的取值范围 一 选择题1 2014 北京文 设a b是实数 则 a b 是 a2 b2 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 d 2 a 1 是 函数f x x a 在区间 1 上为增函数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 解析 a 1能够使y x 1 在 1 上是增函数 但f x x a 在 1 上是增函数 a可以小于1 3 若集合a 1 m2 b 2 4 则 m 2 是 a b 4 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 二 填空题4 已知数列 an 那么 对任意的n n 点pn n an 都在直线y 2x 1上 是 an 为等差数列 的 条件 答案 充分不必要 解析 点pn n an 都在直线y 2x 1上 即an 2n 1 an 为等差数列 但是 an 是等差数列却不一定就是an 2n 1 5 下列说法不正确的是 x2 1是x 1的必要条件 x 5是x 4的充分不必要条件 xy 0是x 0且y 0的充要条件 x2 4是x 2的充分不必要条件 答案 解析 若x2 1 则x 1 的逆否命题为 若x 1 则x2 1 易知x 1是x2 1的充分不必要条件 故 不正确 中由xy 0不能推出x 0且y 0 则 不正确 正确 三 解答题6 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为 1的充要条件是a b c 0 分析 本题要求证 ax2 bx c 0有一个根为 1