高中数学 2.2 第2课时演绎推理课件 新人教B版选修22.ppt

路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教b版 选修2 2 成才之路 数学 推理与证明 第二章 2 2直接证明与间接证明第2课时反证法 第二章 甲 乙 丙三人坐成一列 甲在前 丙在后 乙在中间 有3红2黑5顶帽子 现在随机抽取3顶分别戴在甲 乙 丙三人头上 只有坐在后面的人才可以看见前面的人头上帽子的颜色 让这三人各自猜自己头上帽子的颜色 结果丙先说不知道 然后乙也说不知道 最后甲猜出自己头上帽子的颜色是红色的 你知道甲是怎么推理的吗 1 知识与技能理解反证法的概念 掌握反证法证题的步骤 2 过程与方法通过反证法的学习 体会直接证明与间接证明之间的辩证关系 体现对立与统一的思想观点和方法 3 情感态度与价值观通过反证法的学习 培养审慎思维的习惯 开拓数学视野 认识数学的科学价值和人文价值 本节重点 反证法概念的理解以及反证法的证题步骤 本节难点 应用反证法解决问题 1 反证法 一般地 由证明p q转向证明 q r t t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判断 为假 推出 为真的方法叫做反证法 2 在反证法中 经过正确的推理后 得出矛盾 所得矛盾主要是指与 矛盾 与 或与 矛盾 与 矛盾 3 反证法的一般步骤 q q 假设 数学公理 定理 公式 定义 已被证明了的结论 公认的简单事实 否定结论 推理论证 导出矛盾 肯定结论 用反证法证明存在性命题 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b b c c a 0 a b c与已知矛盾 所以三个图象至少有一个与x轴有两个交点 说明 1 反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的 在使用反证法时 必须在假设中罗列出与原命题相异的结论 缺少任何一种可能 反证法都是不完全的 2 对于否定性命题或结论中出现 至多 至少 不可能 等字样时 常用反证法 3 常见的 结论词 与 反设词 如下 用反证法证明唯一性命题 证明 已知 点p在直线a外 求证 过点p与直线a平行的直线有且只有一条 证明 点p在直线a外 点p和直线a确定一个平面 设该平面为 在平面 内 过点p作直线b 使得b a 则过点p有一条直线与a平行 假设过点p还有一条直线c与a平行 a b a c b c 这与b c相交于点p矛盾 故假设不成立 说明 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于导出矛盾 所以用反证法证其唯一性较简单明了 证明方程2x 3有且只有一个实根 证明 2x 3 x log23 这说明方程有一个根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3有两个根b1 b2 b1 b2 则2b1 3 2b2 3 两式相除得 2b1 b2 1 如果b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 如果b1 b2 0 则2b1 b2 1 这也与2b1 b2 1相矛盾 因此b1 b2 0 则b1 b2 这就同b1 b2相矛盾 如果方程的根多于两个 同样可推出矛盾 故2x 3有且只有一个实根 用反证法证明否定命题 分析 解答本题的关键在于通过假设 根据平行四边形对边所在直线的斜率相等 推出结论与已知条件相矛盾 从而肯定原命题正确 a c点重合 b d点重合 这与a b c d为抛物线上任意四点矛盾 故假设不成立 四边形abcd不可能是平行四边形 说明 当结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题时 此类问题的反面比较具体 适于应用反证法 例如证明异面直线 可以假设共面 再把假设作为已知条件推导出矛盾 解得a 1 这与已知条件a 1矛盾 故假设不成立 原命题成立 即经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴 反证法思想的应用 说明 本题用到了反证法 还用到了 判别式法 补集法 全集r 也可从正面直接求解 即分别求出三个方程有实根 0 时a的取值范围 再将三个范围并起来 即求集合的并集 这两种解法 要求对不等式解集的交 并 补集概念和运算理解透彻 答案 a 辨析 至多只有一个实根的反面是 至少有两个实根 而不是 有两个实根 正解 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f f 这与假设f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多只有一个实根 用反证法证明问题 一般由证明p q 转向证明 q r t t与假设矛盾或与某个真命题矛盾 从而到判断 q为假 得出q为真 反证法 不是从已知条件去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上进行演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 应用反证法证明数学命题的一般步骤 1 分清命题的条件与结论 2 做出与命题结论相矛盾的假设 3 由假设出发应用正确的推理