高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修21 .ppt

3 1 2空间向量的数乘运算 1 向量的数乘运算 1 数乘运算 相同 相反 倍 向量 2 运算律 分配律 a b 结合律 a a b a 2 平行 共线 向量 互相平行或重合 相同或相反 平面 a b 惟一 p xa yb 方向向量 1 判一判 正确的打 错误的打 1 实数与向量之间可进行加法 减法运算 2 若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线 则这两个向量不是共面向量 3 如果则p a b共线 4 空间中任意三个向量一定是共面向量 解析 1 错误 实数与向量相加没有意义 如3 a不能确定该式子是实数还是向量 2 错误 由共面向量的定义知空间中任意两个向量都是共面向量 故此种说法错误 3 正确 能判定p a b共线 因为原式可化为 由共线向量的充要条件可知 p a b共线 4 错误 空间中的任意三个向量不一定是共面向量 例如 对于空间四边形abcd 这三个向量就不是共面向量 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若 a 5 b与a的方向相反 且 b 7 则a b 2 已知b 5a a 2 向量b的长度为 向量b的方向与向量a的方向 3 已知正方体abcd a1b1c1d1中 若则x y 解析 1 b与a的方向相反 所以a b且实数 0 由 a b 所以故 答案 2 因为 a 2 又b 5a 所以向量b的长度为10 又因为 5 0 故向量b与a的方向相反 答案 10相反 3 所以x 1 y 答案 1 要点探究 知识点1空间向量的数乘运算1 数乘运算的三个关注点 1 与实数运算的区别 数乘向量与数与数的乘法是有区别的 前者结果是一个向量 后者结果是一个实数 2 与加法 减法运算的关系 空间向量的数乘运算 实质是空间向量的加减运算 3 特殊情况 当 0或a 0时 向量 a 0 2 对 a的三点说明 1 含义 a是实数 与向量a间的运算 2 的作用 的正负影响着向量 a的方向 的大小影响着向量 a的长度 3 a的作用 向量 a与向量a一定是共线向量 知识拓展 非零向量的单位化已知非零向量a和它的单位向量a 显然向量 a a 与向量a等长且同向 所以有a a a 或a 由此可知 一个非零向量a除以它的模就可以得到它的单位向量 从向量a求向量a 的过程就称为向量a的单位化 微思考 1 向量 a的模与向量a的模比较何时扩大 何时缩小 提示 向量a的模可以扩大 当 1时 也可以缩小 当 0时 也可以改变 当 0时 即时练 化简 a 2b 3c 3 a 2b c 解析 原式 3a 6b 3c答案 知识点2共线向量1 对空间共线向量的两点说明 1 类比理解 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样 平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立 2 共线的理解 共线 这个概念具有自反性 也具有对称性 即若a b 则b a 2 共线向量充要条件的三个关注点 1 区别 共线向量与直线平行的区别 直线平行不包括两直线重合的情况 而我们说的两个共线向量a b 表示向量a b的有向线段所在直线既可以是同一直线 也可以是两条平行直线 2 零向量 共线向量的充要条件及其推论是证明共线 平行 问题的重要依据 条件b 0不可遗漏 3 方向向量的个数 直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量 一条直线的方向向量有无限多个 它们的方向相同或相反 3 三点p a b共线的三种充要条件 1 存在实数t 使得即 2 存在实数t 使得 3 存在有序实数对 x y 使得 其中x y 1 知识拓展 共线向量定理推论的证明推论 如果l为经过已知点a 且平行于已知向量a的直线 那么对空间任一点o 点p在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式 证明 因为l a 所以对于l上任意一点p 存在惟一的实数t 使得 ta 又因为对于空间任意一点o 有所以 若在l上取ab a 则有 又因为所以 当t 时 注 其中向量a叫做直线l的方向向量 和 都叫空间直线的向量表示式 是线段ab的中点向量公式 微思考 1 若空间中两向量共线 则它们的方向有什么关系 提示 两向量共线 则它们的方向相同或相反 2 在两向量共线的充要条件中 为什么要求b 0 提示 由于我们已经规定了0与任意向量平行 所以当b 0时 a与b是共线向量 可如果a 0 就不可能存在实数 使a b成立 即时练 给出下列几个命题 若a与b共线 b与c共线 则a与c共线 零向量的方向是任意的 若a b 则存在惟一的实数 使a b 其中真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 错误 若b 0 则a b共线 b c共线 但a c未必共线 正确 这是关于零向量的方向的规定 错误 若b 0 则有无数多个 使之成立 知识点3共面向量1 对共面向量的两点说明 1 共面的理解 共面向量是指与同一个平面平行的向量 可将共面向量平移到同一个平面内 2 向量的 自由性 空间任意的两向量都是共面的 只要方向相同 大小相等的向量就是同一向量 只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量 2 对共面向量充要条件的两点说明 1 表示式 共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式 说明空间中任意一个平面都可以由两个不共线的平面向量表示出来 2 正反两角度 空间一点p位于平面mab内的充分必要条件是存在有序实数对 x y 使满足这个关系式的点p都在平面mab内 反之 平面mab内的任一点p都满足这个关系式 微思考 1 共面向量与直线与平面平行的定义是否一样 提示 共面向量是指表示向量的有向线段所在的直线与平面平行或表示向量的有向线段所在的直线在平面内 它与直线和平面平行是不同的 2 在三个向量共面的充要条件中 若两向量a b共线 那么结论是否还成立 提示 不成立 因为当p与a b都共线时 存在不惟一的实数对 x y 使p xa yb成立 当p与a b不共线时 不存在实数对 x y 使p xa yb成立 即时练 以下命题 若a b所在直线是异面直线 则a与b一定不共面 若a b c三向量两两共面 则a b c三向量一定也共面 若a b c三向量共面 则由a b所在直线确定的平面与由b c所在直线确定的平面一定平行或重合 其中正确命题的个数为 a 0个b 1个c 2个d 3个 解析 选a 错 由于向量是可以自由平移的 所以空间任意两个向量一定共面 错 从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量 虽然是两两共面 但这三个向量不共面 三个向量共面时 它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行 错 首先a b所在直线不一定能确定平面 其次在平行六面体abcd a1b1c1d1中 三向量共面 然而平面abcd与平面abb1a1相交 题型示范 类型一空间向量的数乘运算 典例1 1 2014 上海高二检测 已知正方体abcd a b c d 中 点e是a c 的中点 点f是ae的三等分点 且af ef 则等于 2 已知abcd为正方形 p是abcd所在平面外一点 p在平面abcd上的射影恰好是正方形abcd的中心o q是cd的中点 若求式中x y的值 解题探究 1 题 1 中向量如何用向量与向量表示 与关系如何 2 题 2 中你能确定哪些与向量有关的三角形 探究提示 1 利用平行四边形法则与可利用线段间的长度比例关系建立联系2 解答本题需准确画图 有关的三角形是 poq 可得对于 pac可得 自主解答 1 选d 由条件af ef得ef 2af 所以ae af ef 3af 所以 2 如图 因为所以x y 延伸探究 在题 2 条件不变的情况下 若求x y的值 解析 因为o为ac的中点 q为cd的中点 所以所以从而有所以x 2 y 2 方法技巧 利用数乘运算进行向量表示的技巧 1 数形结合 利用数乘运算解题时 要结合具体图形 利用三角形法则 平行四边形法则 将目标向量转化为已知向量 2 明确目标 在化简过程中要有目标意识 巧妙逆用中点坐标公式 变式训练 已知矩形abcd p为平面abcd外一点 m n分别为bc pd的中点 求满足的实数x y z的值 解析 所以x 1 y 0 z 补偿训练 2014 石家庄高二检测 已知点g是 abc的重心 o是空间任意一点 若求 的值 解题指南 构造与向量有关的三角形 平行四边形 利用向量加法 减法的运算法则及数乘运算求解 解析 连接cg并延长交ab于d 则d为ab中点 且cg 2gd 连接ag bg 所以所以 3 类型二共线向量 典例2 1 2014 广州高二检测 已知空间向量a b且 a 2b 5a 6b 7a 2b 则一定共线的三点是 a a b db a b cc b c dd a c d 2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e在a1d1上 且f在对角线a1c上 且求证 e f b三点共线 解题探究 1 题 1 中用向量a b如何表示 2 题 2 中的向量与分别用向量表示 其结果是什么样的 探究提示 1 2a 4b 自主解答 1 选a 5a 6b 7a 2b 2a 4b 所以a b d三点共线 2 设因为所以所以 所以又所以所以e f b三点共线 方法技巧 1 判断向量共线的策略 1 熟记共线向量充要条件 a b b 0 则存在惟一实数 使a b 若存在惟一实数 使a b 则a b 2 判断向量共线的关键 找到实数 2 三点共线与直线平行的判断 1 线线平行 证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a b平行 还要证明直线上有一点不在另一条直线上 2 三点共线 证明三点a b c共线 只需证明存在实数 使或即可 变式训练 如图所示 已知四边形abcd abef都是平行四边形且不共面 m n分别是ac bf的中点 判断与是否共线 解析 因为m n分别是ac bf的中点 四边形abcd abef都是平行四边形 所以所以即与共线 补偿训练 已知a b c三点共线 则对空间任一点o 存在三个不为0的实数 m n 使 0 那么 m n的值为 解析 因为a b c三点共线 所以存在惟一实数k使即所以 k 1 0 又令 k 1 m 1 n k 则 m n 0 答案 0 类型三共面向量 典例3 1 已知a b c三点不共线 o是平面abc外任一点 若由确定的一点p与a b c三点共面 则 2 在长方体abcd a1b1c1d1中 m为dd1的中点 n在ac上 且an nc 2 1 求证 与共面 解题探究 1 空间一点p在平面abc内的充要条件是存在有序实数组 x y z 使得其中x y z的结果是多少 2 题 2 中要证明与共面 这三个向量需建立的关系式是什么样的 探究提示 1 结果为1 2 要证明与共面 需用其中两个向量表示另一个向量 自主解答 1 由p与a b c三点共面 所以 1 解得 答案 所以所以与共面 方法技巧 1 四点共面的证明及应用 1 利用共面向量的充要条件 空间一点p位于平面mab内的充分必要条件是存在有序实数对 x y 使满足这个关系式的点p都在平面mab内 反之 平面mab内的任一点p都满足这个关系式 这个充要条件常用以证明四点共面 2 求参数 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量 对于向量共面的充要条件 不仅会正用 也要能够逆用它求参数的值 2 证明空间向量共面的两种方法 1 向量表示 设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合 即若p xa yb 则向量p a b共面 2 用平面 寻找一个平面 设法证明这些向量与该平面平行 变式训练 对于空间任一点o和不共线的三点a b c 有则x y z 1是p a b c四点共面的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解题指南 先确定哪一部分是条件 哪一部分是结论 再从两个方面证明看是否成立 解析 选b 若x y z 1 则即由共面向量充要条件可知向量共面 所以p a b c四点共面 反之 若p a b c四点共面 当o与四个点中的一个 比如a点 重合时 0 x可取任意值 不一定有x y z 1 补偿训练 a b c不共线 对空间任意一点o 若则p a b c四点 a 不共面b 共面c 不一定共面d 无法判断是否共面 解析 选b 所以所以由共面的充要条件知p a b c四点共面 巧思妙解 巧用共面向量的充要条件证明共面 线面平行 典例 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 证明e f g h四点共面 2 证明bd 平面efgh 教你审题 常规解法 1 又所以所以四点e f g h共面 2 因为所以eh bd 又eh 平面efgh bd 平面efgh 所以bd 平面efgh 巧妙解法 连接eg bg 1 因为由向量共面的充要条件知 e f g h四点共面 2 因为又不共线 所以与共面 又bd 平面efgh 所以bd 平面efgh 方法对比 常规解法切入点简单 但步骤较多 稍有疏忽 则会导致错误 巧妙解法则是直接利用共面向量的充要条件 减少了步骤 思路清晰 教你一招 p a b c四点共面的四种充要条件 1 存在有序实数对 x y 使得 2 对于空间任意一定点o 有 3 空间一点p在平面abc内的充要条件是存在有